Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
24
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
43.52 Кб
Скачать

Введение понятия площади поверхности призмы Цель: Углубление и расширение понятий площади поверхности на наглядно интуитивной основе. Оборудование: модели призм. Каждый ученик выбирает модель над которой будет выполнять следующие упражнения, которое позволит выяснить степень усвоения понятия развертки призмы. Упражнение 1: Постройте развертку выбранной призмы. Выясните, есть ли равные многогранники в развертке, если есть то зарисуйте их. Проблема 1: Как вычислить площадь поверхности развертки призмы? Используя знания приобретенные ранее учащиеся убеждаются, что развертка призмы является объединением всех его граней, причем некоторые из граней равны друг другу. Проблема 2: Как вычислить полную площадь поверхности призмы? Соглашение 1: Площадью полной поверхности призмы называют сумму площадей всех граней призмы (Sп). Соглашение 2: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней (Sб) Sп = Sб + 2 Sосн Sб = S1 + S2 + ... Упражнение 2: Поменяйте себе модель призмы, и вычислите боковую и полную ее поверхность. Итог: Обобщим с помощью учащихся сведения о полной поверхности призмы и боковой поверхности призмы. Введение понятия объема призмы Цель: Углубить у учащихся интуитивно-наглядное понятие объема пространственных фигур. Оборудование: модели призм. Разрежьте (пластилиновую модель призмы, плоскостью проходящей через диагональ основания. Какие получили фигуры? В результате выполнения этого упражнения ученики получили две призмы с равными основаниями (основанием является прямоугольный треугольник), а все остальные соответствующие элементы призмы равны. Упражнение 2: Как вычислить объем каждой из полученных призм? Вывод: Каждая из полученных призм имеет объем равный половине объема данного параллелепипеда. (Объем параллелепипеда умеют вычислять в пятом классе). Упражнение 3: Дана призма, в основании которой треугольник. Как вычислить объем этой призмы? Учащиеся умеют вычислять объем призмы основанием которой является прямоугольный треугольник.  Важно, чтобы учащиеся увидели в этом упражнении предыдущее. Объем данной призмы есть сумма объемов двух призм, основаниями которых являются прямоугольные треугольники. Затем предлагается вычислить объем призмы основание которой трапеция, или любой другой произвольной формы. V = Sосн h

Основная цель уроков – ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.  Для введения понятия объема учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо повторить, а именно: понятие многоугольника, его площадь, свойства площадей, знание формул для нахождения площадей некоторых многоугольников, понятие многогранника, их виды, свойства.  Необходимо напомнить известные учащимся понятия призмы и прямоугольного параллелепипеда. Подчеркнуть, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело и отделяет его от остальной части пространства. Если следовать строго дедуктивному пути изложения школьного курса стереометрии по учебнику [7], надо определить такие понятия как «геометрическое тело», «ограниченность тела», «простое тело», которые лежат в основе определения объема многогранника. Однако на любом этапе обучения в средней школе следует руководствоваться принципом педагогической целесообразности при введении понятия. В данном случае, как понятие геометрического тела, так и понятие ограниченности тела, педагогически целесообразно считать интуитивно ясным для учащихся из их опыта и не давать им формально-логических определений, которые окажутся недоступными для всех учащихся. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.  Считаем, что полезно перед изучением определения «Объем» провести с учениками беседу по теме «Многогранники и его элементы».  1.           Объясните, что такое:     а) многогранник;     б) поверхность многогранника.  2.                    Дан выпуклый многогранник. Что называют его гранью, ребром, вершиной?  3.               Назовите известные вам многогранники. Выпуклым или невыпуклым является каждый из них? Сколько граней, ребер, вершин у каждого из них?  4.                             Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер, граней имеет полученный многогранник?  5.                Какие фигуры можно получить в сечении куба плоскостью, проходящей через:  а) одно из ребер;  б) одну из диагоналей;  в) одну из его вершин?  6.                              Приведите пример, показывающий, что объединение выпуклых фигур может не быть выпуклой фигурой.  7.                             Является ли пространственный крест (фигура из семи равных кубов) правильным многогранником? Сколько квадратов его ограничивает? Сколько у него вершин и ребер?  8.                             Обязательно ли является многогранник правильным, если все его ребра и многогранные углы равны? [17]  После введения понятия объемов многогранников необходимо решение задач на нахождение объемов, на свойства объемов многогранников. У учителя есть выбор: или он сам подбирает необходимые задачи, или он берет задачи из учебника.  Для формирования понятия объема тела авторами учебника [7] предлагается использовать следующие типы задач:  1.    нахождение объемов тел с помощью формул;  2.    нахождение элементов тел по их объему;  3.    вычисление объемов многогранников, используя свойство аддитивности.  Используя модели многогранников (куб, тетраэдр, параллелепипед, призма и др.) необходимо назвать его элементы: вершины, грани, диагонали граней, диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировку задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. Также эти знания понадобятся в дальнейшем при выводе формул для нахождения объемов тел.  В настоящее время в школьных программах по геометрии все чаще используют учебные пособия [7] и [8]. Доказательства теорем в данных учебниках представлены в приложениях 5 и 6, выделим положительные и отрицательные стороны изложения материала.  Доказательство теоремы в учебнике [7] разбито на два случая:  1) измерения a, b, c - конечные десятичные дроби,  2) хотя бы одно из измерений a, b, c - бесконечная десятичная дробь. При этом автор делает ссылку, что доказательство этой теоремы не является обязательным для изучения. В первом случае (a, b, c - бесконечная десятичная дробь), автор предлагает разбить каждое ребро параллелепипеда на равные части длины 1/10n, а затем через эти точки провести плоскости, перпендикулярные данному ребру. После находят объем каждого такого куба (с опорой на понятие объема), а затем по свойствам объема находят объем данного тела, то есть прямоугольного параллелепипеда.  Следствием теоремы являются обобщение полученной формулы для прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, как произведения площади основания на высоту.  По учебнику [8] при выводе данной формулы вначале доказывают утверждение о том, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. При доказательстве этого утверждения автор также предлагает разбить ребро одного из параллелепипедов на большое число n равных частей, а ребро другого параллелепипеда на m равных частей. Затем через точки деления проводит плоскости, параллельные основанию. Находит для каждого из них объемы, рассматривает промежутки, в которых они находятся. А так как число n можно брать сколь угодно большим, то следовательно доказывается условие данного утверждения. Затем автор берет куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а,1,1; а,b,1; a,b,c. Обозначил их объемы и по доказанному утверждению вывел формулу.  Преимущество учебника [7] в том, что после каждого пункта идет список вопросов и задач, в то время, как в учебнике [8] практическая часть представлена небольшим количеством задач. Но основная тематика задач двух учебников похожа друг на друга. Далее порядок изучения тем расходится. В учебнике [8] предлагается рассмотреть объем наклонного параллелепипеда, причем доказательство сводится к добавлению и отсечению треугольной призмы. Тогда доказательство будет опираться на формулу прямоугольного параллелепипеда.  Используя следствие теоремы и свойства объемов, доказывается формула объема прямой призмы, также в два этапа. Сначала для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник, а затем более общий случай – для произвольной призмы. При доказательстве авторский коллектив учебника [7] опирается на выведенную формулу объема прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник. Поэтому на втором этапе учащиеся легко могут доказать формулу для произвольной прямой призмы, разбив основание на треугольники. 

Пирамида

На первом уроке следует рассмотреть доказательство теоремы об объеме пирамиды. Основная цель данного урока – вывести формулу для нахождения объема пирамиды, показать применение теории к решению задач.  Для этого необходимо предложить ученикам задачи на нахождение площади поверхности пирамиды, вспомнить основные элементы, свойства. Предложить учащимся задачи на нахождение площади основания и т.д. 

Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенных из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 7). Какие многоугольники могут быть основанием таких пирамид?  На третьем уроке выводится формула объема усеченной пирамиды как следствие теоремы об объеме пирамиды. В учебнике [7] предлагается вывести эту формулу самостоятельно. 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Новая папка