Новая папка / № 27 (1)

методика разноуровневого изучения правильных многогранников.

Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, все грани которого правильные многоугольники с одинаковым числом сторон; и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Общеобразовательный уровень: ввести определения правильного многогранника, рассмотреть 5 видов, иллюстрировать их, построить куб.

Технологический уровень: ввести определение правильного многогранника, рассмотреть 5 видов, проиллюстрировать их, построить куб, тетраэдр, октаэдр, рассмотреть симметрию этих многогранников.

Углубленное изучение: кроме того, что рассматривается в предыдущем уровне, нужно доказать теорему, что любой плоский угол 3-хгранного угла меньше суммы двух других; опираясь на это доказать, что сумма двух плоских углов 3-хгранного угла меньше 360.доказать теорему:”Различных видов правильных многогранников существует ровно пять”.

План доказательства теоремы:

Рассматриваются случаи когда гранями правильного многогранника являются следующие фигуры:1)правильный треугольник,2)квадрат,3)правильный пятиугольник,4)правильный шестиугольник.

Доказательство: (по Шарыгину)

Пусть гранями правильного многогранника будет правильный многоугольник. N- число ребер, сходящихся в одной вершине , nN, n3.Рассмотрим правильный треугольник, угол = 60. По теореме о сумме плоских углов: 60n< 360:

1) n=3- тетраэдр 2)n =4- октаэдр 3) n=5- икосаэдр (при n=6- неравенство не выполняется)

Далее пусть грани-квадраты:90n<360

4) n=3- правильный гексаэдр-куб

Пусть грани- пятиугольники- 108 n <3

5)n=3- додекаэдр

Пусть грань- правильный 6-угольник: 120n<360(при n=3 неравенство уже не выполняется), т.е. неравенство не выполняется ни при каких n.

Если грань- правильный 7-угольник, то плоский угол будет больше 360, что противоречит теореме о сумме плоских углов.

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр

Куб