Разрешимые множества.

Теорема 1: Множество X разрешимо его характеристическая функция f(n)=(if nX then 1 else 0) вычислима.

Пусть X разрешимо некоторым алгоритмом А. Покажем, что характеристическая функция множества Х вычислима. В самом деле, алгоритм её вычисления таков: получив на вход число n, выполнить алгоритм А. если nX выдать на выход 1, иначе выдать на выход 0. Закончить работу. Т. о. приведённый алгоритм вычисляет характеристическую функцию множества Х.

Пусть Х есть область определения некоторой функции f, равной 1 на элементах Х и 0 вне Х, вычисляемой некоторым алгоритмом В. Тогда Х разрешается таким алгоритмом А: подать на вход n. Запустить алгоритм В. Если результат работы алгоритма В равен 1, то nX, иначе nX.

Перечислимые множества.

Теорема 2: Множество перечислимо оно является областью определения вычислимой функции.

Пусть множество Р перечислимо, тогда по определению существует алгоритм А, который выводит все элементы этого множества и никакие другие. Пусть некий алгоритм С подаёт на входе n и запускает по шагам алгоритм А. как только n печатается алгоритмом А, С печатает, н-р, 0, иначе С ничего не выводит. Тогда этот алгоритм вычисляет функцию f(n)=0, при nP, а множество Р есть область определения этой функции.

Пусть дана некоторая вычислимая функция f, а А – алгоритм её вычисляющий. Р – область определения данной функции. Рассмотрим алгоритм С, который перебирает все натуральные числа и для каждого запускает алгоритм А, если печатается значение f(n), то С печатает само n. Т. о. алгоритм С перечисляет область определения Р вычислимой функции f.

Теорема 3: Множество перечислимо оно является областью значений вычислимой функции.

Теорема 4: Множество Х перечислимо его «полухарактеристическая» функция, определённая на элементах Х и не определённая вне Х, вычислима.

Полухарактеристической может быть, н-р, функция, равная 0 на элементах Х и неопределённая вне Х.

Теорема 5: Множество натуральных чисел перечислимо, если оно либо пусто, либо есть множество значений всюду определённой вычислимой функции (другими словами, его элементы можно расположить в вычислимую последовательность).

Перечислимость и вычислимость.

Теорема 6: Функция f с натуральными аргументами и значениями вычислима тогда и только тогда, когда её график F={(x,y) | f(x) определено и f(x)=y} является перечислимым множеством пар натуральных чисел.

□: Пусть f вычислима. Тогда существует алгоритм А, перечисляющий её область определения, т. е., печатающий все x, на которых f определена (Т. 2), и алгоритм В, вычисляющий f(x). Рассмотрим алгоритм С, который выполняет по шагам алгоритм А и после печати очередного значения x выполняет алгоритм В, вычисляя f(x) и печатая результат. Получим алгоритм, перечисляющий множество F.

Если имеется алгоритм А, перечисляющий F, то функция f вычисляется таким алгоритмом В: имея на входе n, запускаем А и ждём появления в F пары, первый элемент которой равен n; как только такая пара появилась, печатаем её второй элемент и заканчиваем работу. ■

Алгоритм – это точное и полное предписание о последовательности выполнения конечного числа некоторых действий, необходимых для решения любой задачи данного типа.

Исполнитель алгоритма - это человек или автомат (в частности, им может быть процессор ЭВМ), умеющий выполнять некоторый, вполне определенный набор действий.