Идея метода:
Уравнение
вида f(x)=0
(1) с непрерывной функцией f(x)
заменяется эквивалентным уравнением
вида
(2). Выбирается начальное приближение
и затем строится послед-сть
по формуле
(3). Сходимость посл-ти обеспечивается
выбором ф-ции
и начального приближения
.
Выбирая различными способами ф-цию
(зависящую
от f(x)),
можно получить различные итерационные
методы. Если последо-сть (3) сходится, а
функция
непрерывна, то
явл-я решением ур-я (2), и, след-но, ур-ия
(1). Достаточные условия, обеспечивающие
сходимость итерационного процесса (3),
представлены в виде следующей теоремы:
Теорема:
Пусть уравнение (2) имеет корень х*
и в некоторой окрестности R
корня х*:
R=
функция
удовлетворяет условию Липшица с
константой q<1
Тогда
корень х*
в R
будет един-м и м.б. получен как предел
итерационной послед-ти (3)
.
Формула (3) определяет численный метод решения данного ур-ия, который обычно называют методом простой итерации.