Интерполяционный полином Лагранжа

Для произ-но заданных узлов интерполирования пользуются интерпол. фор­мул Лагранжа. Пусть на [а,b] даны n+1 различных значения ф-ций в точках: Требуется построить полином степени не выше n и , i=0,1..n. Полином имеет вид: Степень полинома не выше n и в силу усл:

Имеем Итак, пост. в, получим:

– это интерпол-ная фор-ла Лагранжа. При n=1 имеем 2 узла интерполирования, тогда Произведение i-ой строки таблицы без элемента, стоящего в этой строке на главнойдиагонали, есть

Произведение всех элементов, стоящих на главной диагонали, без элемента расположенного в i-ой строке, есть

Итак, для получения i-го слагаемого многочлена Лагранжа нужно:

разделить на

Оценка погрешности интер-нной формулы Лагранжа.

Для функ. Y=f(x) построил. , приним. задан. значения в точках х₀, х₁, .., х_n

Как близко описывает свойства данной функции, как велик остат. член?

Наложим на f(x) условия. Пусть f(x) дифференцируема n+1 раз: и ограничена на [a,b]. Составим функцию (1),где Функция U(x) имеет n+1 корней. Подберем k так, чтобы функция U(x) имела n+2- корень в любой, но фиксир. точке , не совпадающ. С узлами интерполирования. Для этого достаточ. Положить ,т.e Т.к. , то . (2) При этом k функ. U имеет n+2 корня на [a,b] и обращ. в нуль на концах отрезков:

Функция U(x) непрерывна, дифференцируема и на концах отрезков равна 0, то по теореме Ролля существует точка, в которой производная равна 0. в n+1 точках (n+1 корень). в n точках (n корень). в n-1 точках (n-1 корень) … в 4 точках (4 корня). в 3 точках (3 корня). в 2 точках (2 корня). в 1 точках (1 корень). Пусть х=,тогда . Т.к. _{,тоОтсюда} 3) Срав-я (2)и(3),

Т.к. – любая точка, лежащая между и

Тогда

ЧМ(3). Численное интегрирование

Задача численного интегрирования заключ-ся в вычислении значения опред-го интеграла на основании ряда значений подынтег-ной функции. Для решения этой задачи подынтег-ную ф-цию заменяют интерполирующей функцией и тогда приближенно пишут

Функция должна быть такой, чтобы вычислялся.

Формула прямоугольников:

Пусть функция

интегрируема на

и

дифферен-ема

до второго порядка включительно. Заменим подынтегральную функцию на интерп-ым многочленом Лагранжа нулевой степени , совпадающим со значением функции в точке . Проинтегрировав, получим малую формулу прямоугольников (1).

Формула трапеций.

Пусть ф-ция интегрируема на и дифференцируема до второго порядка включительно. Заменим на отрезке , где , интерпол-ым полиномом Лагранжа первой степени , совпадающим со значениями функции в точках и : _Тогда

Обозначим, x₁-x₀=h. Получим

- малая формула трапеций.

Погрешность: оценим разность:

Разность R₁ является функцией от h. Исследуем поведение R₁(h) предполагая, что у f две непрерывные на [x₀;x₁] производные. Для этого выразим R₁(h) через остаточный член многочлена Лагранжа:

К последнему интегралу можно применить теорему о среднем, т.к. на [x₀;x₁] f’(x) непрерывна, а

Не меняет своего знака. Поэтому

Если же для отрезка интегрирования точность недостаточна, то отрезок разбивают на более мелкие отрезки. Затем к каждому отрезку применяют формулу трапеций. Окончательный вид формулы трапеций:

Т.к f’’ непрерывна на[a,b] можно считать, что

Формула Симпсона

Пусть ф-ция f(x) интегрируема на [x₀,x₀+2h]. Заменим подынтегр-ю ф-ю f(x) интерпол-ным многочленом второй степени, φ₂(x), совпадающим со значением функции f(x) в точках x₀, x₁₌x₀+h, x₂₌x₀+2h:

Проинтегрировав, получим малую формулу Симпсона:

ЧМ(4). Теория погрешностей

{Д-дельта, х’-х с чертой, б-сигма}

Опр. Значащая цифра приближенного числа в десятичной записи- это любая его цифра, начиная с первой слева, отличной от нуля.

Опр. Цифра  в десятичной записи приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому принадлежит цифра .

Опр.Погрешностью приближённого числа называется разность между точным и приближённым числами: х – х’.

Опр.Величина Дх = \ х – х’\ называется абсолютной погрешностью числа х’.

Опр.Число Д_х, наименьшее по возможности, для которого справедливо неравенство | х – х’ | < Д_д называется предельной абсолютной погрешностью.

Опр. Относительной погрешностью величины х’ называется отношение её абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины х’: б=Д / \х’\.

Опр. Предельной относительной погрешностью величины х’ называется число

бх >0, такое, что б<=бх и бх=Дх / \ х’\

В практике вычислений часто встречаются числа, которые содержат в записи очень большое количество значащих цифр. Часть цифр иногда лучше отбрасывать, заменяя их если это нужно для сохранения разрядности, нулями. Такая операция называется округлением чисел.

Теорема 1 (суммы): Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых: a+b = a + b

Док-во: a+b = = = a + b ч.т.д.

Теорема: = ; = .

Теорема 2 (разности): Аналогично теореме суммы.

Теорема 3 (произведения): Предельная относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел отличных от нуля равна сумме предельных относительных погрешностей множителей = : a >0, b >0, a, b

Док-во:, , Предположили два неравенства. Вычтем из всех частей последнего нер-ва произведение и разделим на все части нер-ва. ч.т.д.

Теорема: =

Теорема 4(частного): Предельная относительная погрешность частного от деления двух приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя:=.

Теорема: = .

Теорема 5(степени): Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произведению показателя степени на основания:= m

Теорема: = m.

Теорема 6(корня): =

Теорема: =