Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ГОС информатика / численные методы.doc
Скачиваний:
42
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
536.06 Кб
Скачать

ЧМ(1). Реш сис лин.ур

Метод итерации. Пусть дана след. сист. лин-х ур-й (1), где ,. Предполагая, что разрешим ее отн-но (2), где , , при , , при . Сис. (2) можно записать + (2’), Т+-можно расс-ть как отображение Φ, переводящее элемент n - го прост-ва в того же прост-ва. При этом . Вопрос о решении системы (2’) сводится к отысканию неподвижной точки отобр-ия Ф, опред-ого формулой . Если отображение сжимающее в смысле какой либо метрики n - го векторного прост-ва, то решение у-я + может быть получено методом послед-ных приближений. Послед-ные приближения ищутся по формуле: +,, k =1, 2,…(3), начиная с произвольного. При каких же условиях отображение Ф будет сжимающим?

Опр: Мно-во М элементов произвольной природы наз-ся мет. пр-ом, если каждой упоряд-ой паре (x; y) из М поставлено в соответствие , которое уд. следующим св-ам:

1) <=> x = y; 2);

3) .

Опр: Пусть M – метрическое простр-во. Отображение А прост-ва M в себя наз-т сжимающим, если сущ. такое , что справедливо: .

Опр. Послед-ть точек метрического прост-ва М наз-ся фундаментальной, если она удов-ет критерию Коши: Опр. Если в метрическом прост-ве М всякая фундаментальная пос-сть сходится к точ. , то пр-во М наз-ют полным.

Ответ зависит не только от самого отображения, но и от выбора метрики в n - ом прост-тве. Рассмотрим 3 варианта:

1) Пусть метрика введена след. образом: (4). Как известно, n - ое векторное пространство полно в смысле метрики (4). Рассмотрим = = Если элементы матрицы Т удов-ют усл., то отображение п-мерного вектор. прост-ва в себя, опред-го оператором Ф+ явл-ся сжимающим в смысле метрики (4). Т.к. n-мерное вектор. про-во с метрикой (4) – полное, то в силу принципа сжимающих отображ., отображ-е Ф имеет единст-ую неподвижн.точку. След. Сис. (2) имеет един. .реш-е, которое м. быть получено как предел последовательности (3).

2)

3)

Мет Зейделя.

Идея: вычисление (к+1)-го приближения неизвестной хi учитывает уже вычисленные ранее (к+1)-е приближения неизвестных (х1, х2…х i-1)/

Пусть дана система . Сведм эту систему к + . можно выбрать произвольные начальные приближения корней.

Предполагая что к-е приближение известно, будем искать (к+1)-е по формулам:

Мет. Гаусса Идея этого метода заключается в том, чтобы исходную систему лин. у-й (1) с произвольной матрицей А свести некоторыми экв-ми преобр-ями к сис. вида (2), где - треугольная матрица. Алгоритм решения сис-мы (2) след-й: из последнего у-я находится , затем из предыдущего - и т. д. Пример: Дана сис. Из 4 урав-й с четырьмя неизвестн (1) Матрица А

невырожденная. Пусть а11 ≠0 (ведущий элемент). Разделив коэфф. 1 уравнен. сис.(1) на а11, получим (2), где . Из каждого из остальных урав. вычитается 1, умножен. на соответ-й коэфф. ai1.В результ х1 оказывается исключенным из всех урав-й, кроме первого (аналогично исключ. х2, . . ., хn). Процесс сведения сис.(1) к системе с треуг. матрицей наз-ся прямым ходом метода Гаусса. Находим реш-е получившейся сис. обратным ходом метода Гаусса.

Чм(2)Численное интерполирование

Функция f(x) задана таблицей, те. yi=f(xi), где i=1..n. Нужно построить аналитическую функцию, описыв-ую св-ва заданной функция. Решим задачу построением интерполяционного полинома. Для этого выберем класс линейно независимых функций вида:1(x), 2(x), n (x). Составим линейную комбинацию с постоянными коэффициентами, где сi -постоянная. Потребуем, чтобы Rn(xi) = f(xi)(1). Система (1) n-уравнений с n-неизвестными сi, имеет единственное решение, т.к. опреде­литель, составленный из коэффиц-ов при неизвестных не равен нулю. Значит, можно построить единств-ый интерполяционный полином, пе­редающий свойства заданной функции f. Rn(x)  f(x). Точки x1,…,xn наз-ся узлами интерполяции. Будем предполагать, что x1< x2<…<xn. Многочлен Rn(x) будем наз интерполирующим. Процесс построения интерполяционного полинома наз-ся интерполяцией. Геометр-ки интерполирование означает: найти кривую у = Rn(x) определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi).

Выбор в качестве интерпо-щей функции полинома основан на свойствах многочленов в классе непрерывных функций:

1Свойство полноты: если функция f непрерывна на конечном замкнутом промежутке [а, b], то  > 0 можно указать такой многочлен Rn(x), что f(x) - Rn(x)  <  для x[а, b].

2° Свойство простой природы: значение многочлена можно вычислить за конечное число шагов.

Конечные разности

Пусть функция f(x) задана в точках xi = x0 + xih, где xi - узлы интерполяции, h - шаг интерполяции. Составим разности значений функции:

у1 – у0 = f(x0+h)-f(x0)=Δf(x0)= Δy0……………..

yn-yn-1=f(xn-1+h)-

f(xn-1)=Δf(xn-1)= Δyn-1.

Конечными разностями первого порядка наз-т приращение функции при переходе от одного узла интерполяции к следующему.

Δy0- Δy1= Δ2 y0

Δyn-1- Δyn-2= Δ2 yn-2

Конечными разностями второго порядка наз-ют приращение конечных разностей первого порядка при переходе от одного узла интерполяции к следующему.

Аналогично конечными разностями n-го порядка наз-т приращение конечных разностей n-го порядка при переходе от одного узла интерполяций к следующему. Простейшие св-ва конечных разностей:

1f – const, то Δf = 0

2Δ(сf)=cΔf

3Δ(f1 + f2)=Δf1 + Δf2

4Δmnf)=Δm+nf

5° конечная разность n-го порядка от многочлена степени n есть пост. величина. Сле­д-но, конечные разности порядка выше n равны нулю.

Первая интерполяционная формула Ньютона. Пусть функция задана таблично yi = f(xi ) xi = x0 + ih, где h – шаг интерполяции. Требуется построить полипом Pn(x) такой, чтобы Pn(xi) = yi (1) и степень его была бы не выше n. Условие (1) эквивалентно ΔmPn(x) = Δmy0 (2). Полином будем искать в виде: Pn(x)=a0+a1(x-x0)1+…+

an(x-x0)[n](3). Задача состоит в отыскании коэффициентов a0, a1,…, an.Пусть x = x0. Тогда, a0 = Pn(x0) = y0, чтобы найти послед. коэффициенты будем находить конечные разности полинома Pn(x):

ΔPn(x) = a1h + 2 a2h(x-x0)1+…+nanh(x-x0)[n-1]

При x = x0,

ΔPn(x0)=a1h, ΔPn(x0)= Δy0a1= Δy0/h.

Δ2Pn(x) =1*2*a2h2 + 3*2a3h2(x-x0)[1]+.+n(n-1)* an* h2(x-x0)[n-2].

Полагая х=х0:

Δ2Pn(x0) = 2!a2h2a2 = Δ2y0/2!h2 и т.д. ak = Δky0/k!hk. Подставим в (3), получим:Pn(x) = y0+(x-x0)[1]Δy0/h+(x-x0)[2]Δ2y0/2!h2+…+(x-x0)[n]Δny0/n!hn

Полином полностью удовл-ет треб-ям поставленной задачи. Для практич использования положим q=(x-x0)/h, тогда Pn(x)=y0+qΔy0+(q(q-1)Δ2y0)/2!+ +…+(q(q-1)…(q-(n-1))*Δny0)/n! (4) - это окончательный вид первой интерпол-ной формулы Ньютона. Формулу (4) выгодно использовать для интерполирования функции

у=f(x) в окрестности начального значения x0. Если таблица значений функции конечна, то число n ограничено, а именно: n не может быть больше числа значений функции у, уменьшенного на единицу Если дана неограниченная таблица значений функций у, то n выбирают так, чтобыnyi< . где - заданная погрешность интерполирования. Если дана таблица значений некоторой функции с шагом h и нужно найти значение функ­ции для некоторого значения х, наход-гося м|у хi и хi+h, то за x0 принимаем число xi.

Оценка погрешности для 1-ой интерпол-ной формулы Ньютона:

Rn(x)  q(q-1)(q-2)…(q-n+1)Δn+1y0/(n+1)!

Вторая интерп-ная формула Ньютона Pn(x)= yn+qΔyn-1+ +q(q+1)Δ2yn-2/2!+ ...+q(q+1)…(q+n-1)* Δny0/n!

Оценка погрешности для второй интерполяционной формулы Ньютона

Rn(x)q(q+1)(q+2)(q+n)*Δn+1yт/(n+1)!

Соседние файлы в папке ГОС информатика