Метод Ньютона, касат-ых

В этом методе дуга кривой заменяется касательной, проведенной к графику функции в одной из точек (a,f(a)) или (b,f(b)). Эту точку следует выбирать так, чтобы точка пересечения касательной с ОХ не вышла за пределы отрезка [a, b]. Касательную следует проводить в том конце дуги, где знак f ’’ (x) и знак ф-ции в точке совпадает. Для случая

f ‘ (x)>0 и f ‘’ (x)>0 – это будет точка (b, f(b)) см. рис.

Абсцисса точки пересеч-я касательной с ОХ принимается за приближенное значение корня ζ. Такое значение корня ζ оказывается заключенным между а и . Выполнив описанные действия с промежутком [a,], получим точку и т.д. В результате может быть получена послед-сть , монотонно сходящаяся к корню ζ. Покажем это, запишем уравнение касат-ой

y-f(b)=f ‘ (b)*(x-b);

0-f(b)=f ’(b)*(b₁-b) =>,

b₁-приближен-е значение корня и лежит с той стороны от корня, что и b.

….

В рез-те имеем b>b₁>b₂>…>ζ>a –монотонно убывающ. Огран-ую снизу послед-ть, а значит она имеет предел. Формула для общего случая:

Перейдем к пределу в (4):

Формула для оценки точности приближения:

, a<x<b, |ζ-x_n|≤| x_n - x_n-1 |

Как только | x_n - x_n-1 |<ε => | x_n - ζ |<ε.

Комбинированный метод

Идея: соединяя метод хорд с методом Ньютона получаем метод, на каждом шаге которого находим приближ. значения корня ζ по недостатку и по избытку , т.е. < ζ <, причем: .

Для случая f ‘ (x)>0 и f ‘’ (x)>0 при х € [a,b] получаем формулу:

Вычисления можно прекратить, как только окажется, что |-x_n|< ε, где ε-заданная точность вычислений. В качестве приближ значения корня можно взять середину промежутка [x_n,],т.е.

с=( x_n+)/2.

Пример: Отделить корни ур-ия графически и комбин-ным методом вычислить один из корней с точностью 0,001.

2х³-х²-11х+11=0, [-10; 10], a=-10, b=10

y’=6x²-2x-11

y’’=12x-2

y’(a)=609>0

y’’(a)=-122<0

y’∙y’’<0 → слева приближаемся методом касательных, справа – методом хорд.

a₁=a-f(a)/f’(a), b₁=b-f(b)(a-b)/(f(a)-f(b))

Процесс заканчивается тогда, когда |a-b|<e

Метод итерации: Метод итераций (метод послед-ых приближений) основан на принципе сжимающих отображений. Этот принцип широко применяется как при доказат-ве теорем сущест-я и единствен-ти решения уравнений и систем уравнений различных типов.

1. Мно-во М элементов произвольной природы называется мет. пр-ом, если каждой упоряд-ой паре (x; y) из М поставлено в соответствие , которое уд. следующим св-ам:

1) <=> x = y; 2);

3) .

2.Говорят, что послед-сть точек метрического пространства сходится в точке x того же пространства, если .

3. Послед-сть точек мет-ого простр-ва M наз-ся фундаментальной или сходящейся в себе, если она удовлетворяет критерию Коши: 4. Если в метрическом прос-тве M всякая фундам-ная последов-сть сходится к точке , то пространство M называется полным. }

Опр: Пусть R – метрическое простр-во. Отображение Ф прост-ва R в себя называют сжимающим, если сущ. такое , что справедливо:.

Опр: Точка х наз-ся неподвижной точкой отображ-я Ф, если отображ-е переводит ее саму в себя: Фх=х.