CHM / lab5

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

(1)

в квадрате с краевыми условиями

, (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

. (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

, (4)

или более подробно

, (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

. (6)

В пространстве определим оператор

. (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

, (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора равны

,

(9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

, (10)

где , -заданное число итераций,

. (11)

Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

1. Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.

2. По формулам (9), (11) вычисляем , .

3. Вычисляем и по формулам (11).

4. Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .

5. Пункт 4 повторяем, полагая

6. Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка	Точное значение функции	Значение после 40 итераций	Значение после 50 итераций
(0.1, 0.1)	0.0081	0.0080999	0.0081
(0.1, 0.2)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.1, 0.3)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.1, 0.4)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.1, 0.5)	0.0225	0.0225	0.0225
(0.1, 0.6)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.1, 0.7)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.1, 0.8)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.1, 0.9)	0.0081	0.0080999	0.0081
(0.2, 0.1)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.2, 0.2)	0.0256	0.0256	0.0256
(0.2, 0.3)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.2, 0.4)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.2, 0.5)	0.04	0.039999	0.04
(0.2, 0.6)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.2, 0.7)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.2, 0.8)	0.0256	0.0256	0.0256
(0.2, 0.9)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.3, 0.1)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.3, 0.2)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.3, 0.3)	0.0441	0.044099	0.0441
(0.3, 0.4)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.3, 0.5)	0.0525	0.052499	0.0525
(0.3, 0.6)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.3, 0.7)	0.0441	0.044099	0.0441
(0.3, 0.8)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.3, 0.9)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.4, 0.1)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.4, 0.2)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.4, 0.3)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.4, 0.4)	0.0576	0.057599	0.0576
(0.4, 0.5)	0.06	0.059999	0.06
(0.4, 0.6)	0.0576	0.057599	0.0576
(0.4, 0.7)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.4, 0.8)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.4, 0.9)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.5, 0.1)	0.0225	0.0225	0.0225
(0.5, 0.2)	0.04	0.039999	0.04
(0.5, 0.3)	0.0525	0.052499	0.0525
(0.5, 0.4)	0.06	0.059999	0.06
(0.5, 0.5)	0.0625	0.062499	0.0625
(0.5, 0.6)	0.06	0.059999	0.06
(0.5, 0.7)	0.0525	0.052499	0.0525
(0.5, 0.8)	0.04	0.039999	0.04
(0.5, 0.9)	0.0225	0.0225	0.0225
(0.6, 0.1)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.6, 0.2)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.6, 0.3)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.6, 0.4)	0.0576	0.057599	0.0576
(0.6, 0.5)	0.06	0.059999	0.06
(0.6, 0.6)	0.0576	0.057599	0.0576
(0.6, 0.7)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.6, 0.8)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.6, 0.9)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.7, 0.1)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.7, 0.2)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.7, 0.3)	0.0441	0.044099	0.0441
(0.7, 0.4)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.7, 0.5)	0.0525	0.052499	0.0525
(0.7, 0.6)	0.0504	0.050399	0.0504
(0.7, 0.7)	0.0441	0.044099	0.0441
(0.7, 0.8)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.7, 0.9)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.8, 0.1)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.8, 0.2)	0.0256	0.0256	0.0256
(0.8, 0.3)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.8, 0.4)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.8, 0.5)	0.04	0.039999	0.04
(0.8, 0.6)	0.0384	0.038399	0.0384
(0.8, 0.7)	0.0336	0.033599	0.0336
(0.8, 0.8)	0.0256	0.0256	0.0256
(0.8, 0.9)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.9, 0.1)	0.0081	0.0080999	0.0081
(0.9, 0.2)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.9, 0.3)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.9, 0.4)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.9, 0.5)	0.0225	0.0225	0.0225
(0.9, 0.6)	0.0216	0.0216	0.0216
(0.9, 0.7)	0.0189	0.0189	0.0189
(0.9, 0.8)	0.0144	0.0144	0.0144
(0.9, 0.9)	0.0081	0.0080999	0.0081