Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

1. метод Эйлера

2. метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

(1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

. (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

(1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .

Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x	y1	y2
0.1	0.033	0.329934
0.2	0.065993	0.326502
0.3	0.098644	0.319707
0.4	0.130614	0.309587
0.5	0.161573	0.296216
0.6	0.191195	0.279703
0.7	0.219165	0.260192
0.8	0.245184	0.237859
0.9	0.26897	0.212913
1.0	0.290261	0.18559
1.1	0.30882	0.156155
1.2	0.324436	0.124899
1.3	0.336925	0.09213
1.4	0.346139	0.05818
1.5	0.351956	0.233913
1.6	0.354296	-0.011879
1.7	0.353108	-0.047268
1.8	0.348381	-0.082409
1.9	0.34014	-0.116934
2.0	0.328447	-0.15048
2.1	0.313399	-0.182693
2.2	0.295129	-0.213229
2.3	0.273806	-0.241761
2.4	0.24963	-0.267981
2.5	0.222832	-0.291604
2.6	0.193672	-0.312371
2.7	0.162435	-0.330051
2.8	0.12943	-0.344447
2.9	0.094985	-0.355392
3.0	0.059446	-0.362758