CHM / lab1
.docxФедеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лабораторная работа№1
по дисциплине «Численные методы»
На тему: «Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева»
Выполнил:
Студент группы ПМ-335
Ямилев И.М.
Проверил:
Голичев И.И.
Уфа
2012
Отчёт по лабораторной работе № 1.
Задача:
1. Требуется решить систему уравнений .
где a=3, b=4.
2. Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений:
1)методом простых итераций;
2)методом Чебышева.
3. Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.
Теория:
1)Метод простых итераций
Требуется решить систему уравнений
, (1)
где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид
, (2)
где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить
,
.
Из (2) следует, что
(3)
Полагаем начальное приближение
2)Метод Чебышева
Пусть – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий
, (4)
где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.
, ,
Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.
Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем
Результаты:
1.Для метода простых итерации.
Для указанной точности, итерации остановились при n=13.
1) при n=11
2) при n=12
3) при n=13
2.Для метода Чебышева
Для указанной точности число необходимых итераций n=4.
1) при заданном общем числе итераций n=3 получили результат:
2) при заданном общем числе итераций n=4
Вывод:
-
Для метода простых итераций получен результат:
.
2) Для метода Чебышева получен результат:
Таким образом, метод Чебышева дает более точное приближение при меньшем числе итераций, однако число итераций должно быть известно заранее.