CHM / lab3
.docxФедеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Уфимский государственный авиационный технический университет
Лабораторная работа №3
по дисциплине «Численные методы»
На тему: «Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона»
Выполнил:
студент группы ПМ-335
Ямилев И.М.
Проверил:
Голичев И.И.
Уфа
2012
Отчёт по лабораторной работе № 3.
Задача:
1.Требуется найти корни уравнения
Требуется использовать:
-
метод простых итераций
-
метод Ньютона
Теория:
1) Метод простых итераций
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением и построении последовательности , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е.
, , ,
При этом, если на отрезке производная положительна, то
,
если отрицательна, то
.
Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной: если , то корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .
Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения
является абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.
При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .
2) Метод Ньютона
Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.
Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность
,
сходящуюся к единственному на решению уравнения .
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .
Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством
,
где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда
.
Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия
величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .
Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.
Результаты:
По заданию необходимо найти корни функции
1) В точке функция , а в точке функция . В точке функция , а в точке функция . Таким образом, мы локализовали первый корень на промежутке [0.01; 0.2], а другой – на [0.8; 1.5].
Далее получаем функции и :
Из приведенных выражений для и видно, что они удовлетворяют условиям теоремы. Для на отрезке [0.01; 0.2] верна оценка:
Для на отрезке [0.8; 1.5] верна оценка:
Для обоих методов выбираем точность .
За начальное приближение берется
Для метода простых итераций получены результаты для 2 корней:
№ итерации |
Приближенные значения корня |
1 |
0.05352 |
2 |
0.03236 |
3 |
0.03009 |
4 |
0.02985 |
5 |
0.02983 |
№ итерации |
Приближенные значения корня |
1 |
0.98707 |
2 |
1.04824 |
3 |
1.06573 |
4 |
1.07055 |
5 |
1.07186 |
6 |
1.07222 |
7 |
1.07232 |
Посчитаем погрешности полученных результатов, приняв за и точные решения.
На промежутке [0.01; 0.2] , следовательно
На промежутке [0.8; 1.5] , следовательно
2) Аналитически получаем, что на отрезках [0.01; 0.2] и [0.8; 1.5] функция f удовлетворяет условиям сходимости Ньютона.
В точке функция , а в точке функция , следовательно, выполнено:
Производные и сохраняют знак на этом промежутке. Точка удовлетворяет условию
и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.
В точке функция , а в точке функция , следовательно, выполнено:
Производные и сохраняют знак на этом промежутке. Точка удовлетворяет условию
и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.
Получаем значения минимумов и максимумов производных на этих отрезках:
Для метода Ньютона получены результаты:
№ итерации |
Приближенные значения корня |
1 |
0.02061 |
2 |
0.02811 |
3 |
0.02977 |
4 |
0.02982 |
№ итерации |
Приближенные значения корня |
1 |
1.09059 |
2 |
1.07241 |
3 |
1.07235 |
Вывод:
Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.