3.2. Структурные схемы и уравнения исследуемых фильтров
Разностное уравнение ЦФ 1-го порядка представлено в формуле (1):
(33)
Структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка, составленная на основе уравнения (33) представлена на рис.6.
Рис. 6. Структурная схема, соответствующая фильтрам №1-6
Структурная схема исследуемого рекурсивного ЦФ 2-го порядка, составленная на основе разностного уравнения ЦФ 2-го порядка (34), представлена на рис. 7:
(34)
Рис. 7. Структурная схема, соответствующая 7-10 фильтрам
3.3. Выражения для расчета характеристик, исследуемых цф
Исследование рекурсивных цифровых фильтров проводится при помощи амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), импульсной характеристики (ИХ) и переходной характеристики (ПХ).
Формулы для расчета характеристик цифрового фильтра 1-го порядка:
ИХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (13).
ПХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (19).
АЧХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (24).
Формулы для расчёта характеристик цифрового фильтра 2-го порядка:
По определению ИХ:
(35)
Из (34) и (12) последовательно получаем ИХ ЦФ 2-го порядка:
(36)
Находим ПХ ЦФ 2-го порядка используя (18), (34) и (36):
(37)
Находим системную функцию цифрового фильтра 2-го порядка, применив к обеим частям уравнения (34) Z преобразование и воспользовавшись свойствами линейности (4) и смещения (5):
(38)
Из (6) и (37) получаем системную функцию ЦФ 2-го порядка:
(39)
Находим КЧХ цифрового фильтра 2-го порядка, используя формулы (20), (25) и (39):
(40)
Находим
действительную и мнимую части от
:
(41)
Находим амплитудно-частотную характеристику цифрового фильтра 2-го порядка по формулам (24) и (40):
(42)
3.4. Результаты экспериментального исследования
Рис.
ИХ- 1
( |
Рис.
ИХ- 2
( |
Рис.
ИХ- 3
( |
Рис.
ИХ- 4
( |
)
)
)
)
Рис.
ИХ- 5
( |
Рис.
ИХ- 6
( |
|
Рис.
ПХ- 5
( |
Рис.
ПХ- 6
( |
|
|
|
|
Рис.
ИХ- 7
( |
Рис.
ИХ- 8
( |
|
Рис.
ПХ- 7
( |
Рис.
ПХ- 8
( |
|
Рис.
АЧХ- 7
( |
Рис.
АЧХ- 8
( |
|
)
)
)
)
Рис.
АЧХ- 5
(
)
Рис.
АЧХ- 6
(
)
)
)
)
)
)
)
Рис.
ИХ- 9
( |
Рис.
ИХ- 10
( |
Рис.
ПХ- 9
( |
Рис.
ПХ- 10
( |
Рис.
АЧХ- 9
(
|
Рис.
АЧХ- 10
(
|
)
)
)
)
)
)4. Детальные выводы по работе
4.1. Анализ устойчивости
Устойчивость
рекурсивного цифрового фильтра (ЦФ)
определяется расположением полюсов
его системной функции на комплексной
Z-плоскости. Фильтр считается устойчивым,
если модули всех полюсов его системной
функции меньше единицы (полюсы находятся
строго внутри единичного круга): |
|
< 1 Если хотя бы один полюс находится
на единичной окружности (|
|
= 1), фильтр находится на границе
устойчивости (является генератором).
Если модуль полюса больше единицы (|
|
> 1), фильтр неустойчив.
Расчет полюсов для исследованных фильтров:
Для
ЦФ 1-го порядка полюс определяется
формулой
.
Для
ЦФ 2-го порядка (при
)
полюсы являются корнями характеристического
уравнения
.
Фильтр
№1:
Полюс
находится на единичной окружности.
Фильтр находится на границе устойчивости.
Фильтр
№2:
Полюс находится на единичной окружности. Фильтр находится на границе устойчивости.
Фильтр
№3:
Полюс находится за пределами единичной окружности. Фильтр не является устойчивым.
Фильтр
№4:
Полюс находится за пределами единичной окружности. Фильтр не является устойчивым.
Фильтр
№5:
Полюс находится внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Фильтр
№6:
Полюс находится внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Фильтр №7:
Полюсы являются комплексно-сопряженными и находятся внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Фильтр №8:
Полюсы являются комплексно-сопряженными и находятся внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Фильтр №9:
Полюсы являются комплексно-сопряженными и находятся внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Фильтр
№10:
Полюсы являются вещественными и находятся внутри единичной окружности. Фильтр является устойчивым.
Анализ расположения полюсов подтверждает результаты, полученные при построении ИХ и ПХ. Фильтры с полюсами внутри единичной окружности демонстрируют затухающие характеристики, в то время как фильтры с полюсами на или за пределами единичной окружности показывают расходящиеся или незатухающие характеристики.