МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

──────────────────────────────────────

Факультет СиСС

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

№ 26-1

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

на тему:

«Анализ нерекурсивных цифровых фильтров

1-го и 2-го порядка»

Вариант №2

Выполнил: студ. гр.

БСС2303

Вальков Д. В.

Проверил: проф. каф. ОТС

Волчков В. П.

(Осенний семестр)

Москва 2025

1. Цель работы

На персональном компьютере провести экспериментальный анализ нерекурсивных (трансверсальных) фильтров (ЦФ) 1 – го и 2 – го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, а также их взаимосвязь со значениями коэффициентов (параметров) ЦФ.

2. Выполнение домашнего задания

2.1 Исходные данные варианта

Табл. 1. Таблица значений параметров фильтра

Порядок фильтра
1	1	-0,62	8 кГц

2.2 Запись разностного уравнения и системной функции

Разностное уравнение нерекурсивного ЦФ – 1 (первого порядка) имеет вид:

где, b₀, b₁- коэффициенты разностного уравнения и это коэффициенты фильтра, которые определяют его свойства, x_i, x_i-1 - это отсчет входного сигнала в текущий момент времени i и отсчет входного сигнала в предыдущий момент времени (с задержкой на один такт), y_i - это отсчет выходного сигнала в текущий момент времени i

Подставим исходные данные из табл. 1 в формулу (1), получим:

(2)

Пусть задан дискретный сигнал . Тогда его односторонним Z-преобразованием называется:

(3)

Пусть на входе ЦФ действует сигнал {x_i}, а на выходе наблюдается сигнал {y_i}. Тогда системной функцией ЦФ называется отношение, системная функция H(z) является Z-преобразованием импульсной характеристики и представляет собой удобный математический инструмент для анализа фильтра. Она определяется как отношение Z-образа выходного сигнала Y(z) к Z-образу входного сигнала X(z):

(4)

Свойство линейности Z – преобразования:

(5)

Свойство смещения Z – преобразования:

(6)

Системная функция нерекурсивного ЦФ находится с помощью:

(7)

Получаем преобразованную системную функцию нерекурсивного фильтра:

(8)

Подставим исходные данные в формулу 8 и получим системную функцию нерекурсивного ЦФ 1-го порядка в соответствии с вариантом:

(9)

2.3 Построение структурной схемы цф

Структурная схема фильтра, составленная на основе уравнения (2), показана на рис. 1. Структурная схема наглядно изображает алгоритм работы фильтра, составленная на основе уравнения (2). Она состоит из базовых элементов: сумматора, умножителей на коэффициенты и

элемента задержки (z^-1).

Рис. 1. Структурная схема нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( , )

• Входной сигнал x_i поступает на два пути.

• Первый путь: сигнал умножается на коэффициент b₀ = 1 и идет на сумматор.

• Второй путь: сигнал сначала проходит через элемент задержки z^-1 (превращаясь в x_i-1), затем умножается на коэффициент b₁ = -0,62 и также поступает на сумматор.

• Сумматор складывает оба сигнала, формируя выходной сигнал y_i.

2.4. Расчет и построение характеристик цф

Импульсная реакция – это реакция (отклик) ЦФ на очень короткий входной сигнал, называемый единичным импульсом (или дельта-функцией Кронекера):

(10)

Где - единичный импульс Кронекера:

(11)

Используя формулы (1), (11) и начальными условиями получаем импульсную реакцию заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка:

(12)

График импульсной реакции , построенный с использованием математического пакета Matlab, изображен на рис. 2.

Рис. 2. Импульсная реакция нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( , )

Переходная функция – это отклик ЦФ на входной сигнал в виде "ступеньки" (дискретный единичный скачок). Математически она является накопленной суммой импульсной характеристики:

, где (13)

Используя формулы (1) и (14) и начальные условия получаем переходную характеристику заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка:

(14)

График переходной характеристики , построенный с использованием математического пакета Matlab, изображен на рис. 3.

Рис. 3. Переходная характеристика ЦФ 1-го порядка ( , )

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (АЧХ и ФЧХ). Эти характеристики показывают, как фильтр влияет на амплитуду и фазу гармонических сигналов разных частот. Для их нахождения используется комплексный коэффициент передачи. Комплексным коэффициентом передачи ЦФ называется функция частоты :

(15

f_д - частота дискретизации [кГц], T – период дискретизации [c]

(16)

Амплитудно-частотной характеристикой ЦФ называется функция частоты. АЧХ — это модуль комплексного коэффициента передачи:

(17)

Где -оператор взятия модуля комплексного числа. По определению модуля комплексного числа c:

(18)

Находим и :

По формуле Эйлера:

(19)

(20)

Следовательно, АЧХ ЦФ рассчитывается по следующей формуле:

(21)

Произведя замену в формуле (9) , где - круговая частота [рад/c], и также воспользуясь формулой (16), при взятии в модуль получаем АЧХ ЦФ:

(22)

График амплитудно-частотной характеристики , построенный с использованием математического пакета Matlab, изображен на рис. 4.

Рис. 4. АЧХ нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( , )

Этот график показывает, как фильтр усиливает или ослабляет сигналы на разных частотах. Из вида АЧХ видно, что фильтр является фильтром верхних частот (ФВЧ), так как он пропускает частоты в верхней части рабочего диапазона и ослабляет низкие частоты

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ): ФЧХ — это аргумент комплексного коэффициента передачи, который показывает, какой фазовый сдвиг вносит фильтр на разных частотах. Рассчитаем ФЧХ ЦФ, с помощью аргумента :

(23)

График фазо-частотной характеристики , построенный с использованием математического пакета Matlab, изображен на рис. 5

Риc. 5. ФЧХ ЦФ 1-го порядка ( , )