МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
──────────────────────────────────────
Факультет СиСС
Кафедра общей теории связи
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 26-2
по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
на тему:
«Анализ рекурсивных цифровых фильтров
1-го и 2-го порядка»
Вариант №2
Выполнил: студ. гр.
БСС2303
Вальков Д. В.
Проверил: проф. каф. ОТС
Волчков В. П.
(Осенний семестр)
Москва 2025
1. Цель работы
На персональном компьютере провести анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.
2. Выполнение домашнего задания
2.1. Исходные данные для своего варианта ДЗ
В соответствии с вариантом, исходные данные в таблице 1.
Табл. 1. Таблица параметров фильтра для 2 варианта ДЗ
Порядок фильтра |
|
|
|
1 |
1,0 |
-0,67 |
8 кГц |
2.2. Запись разностного уравнения и системной функции
Разностное уравнение рекурсивного ЦФ -1 (первого порядка) имеет вид:
(1)
где:
-
коэффициенты разностного уравнения;
-
входной сигнал с задержкой 0,1,2…;
-
выходной сигнал с задержкой 0,1,2…;
Подставим исходные данные из табл. 1 в формулу (1), получим:
(2)
Пусть
задан дискретный сигнал
(i=0, 1, 2, …), тогда его
односторонним Z –
преобразованием называется:
(3)
Свойства
–
преобразования:
Свойство 1. (линейности):
(4)
Свойство 2. (смещения):
(5)
Пусть
на входе ЦФ действует сигнал
,
а на его выходе наблюдается сигнал
,
тогда системной функцией ЦФ называется
отношение:
(6)
Системная функция рекурсивного ЦФ находится с помощью:
(7)
Приравняем левую и правую части:
(8)
Получаем преобразованную системную функцию рекурсивного фильтра:
(9)
Подставим исходные данные в формулу 8 и получим системную функцию нерекурсивного ЦФ 1-го порядка в соответствии с вариантом:
(10)
2.3. Построение структурной схемы цф
Структурная схема фильтра, составленная на основе уравнения (2), показана на рис. 1
2.4. Расчет и построение характеристик цф
Импульсная реакция – отклик ЦФ на входной единичный импульс:
(11)
где
-
единичный импульс Кронекера:
(12)
Рис.
1. Структурная
схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка (
=
1;
=
-0,67)
В соответствии с формулами (1) и (12) и начальными условиями получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:
(13)
График
импульсной реакции
,
построенный с использованием средств
математического пакета MATLAB
изображен на рис. 2.
Рис.
2.
Импульсная реакция рекурсивного ЦФ
1-го порядка (
=
1;
=
-0,67)
Переходной
функцией называется
цифрового
фильтра называется его отклик на
дискертный единичный скачёк:
(14)
Из (14) следует, что:
(15)
Любой
ЦФ является дискретной линейной системой,
действие которого на входной сигнал
описывается линейным оператором
.
Это
означает, что выходной сигнал
,
а если
(16)
Выражение
(16) описывает свойство линейности (или
суперпозиций). Следовательно, если
,
то из (15) и (16) имеем:
(17)
Делаем
замену переменных
(18)
В соответствии с формулами (1) и (19) и начальными условиями получаем переходную характеристику заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:
(19)
График
переходной характеристики по переходной
функции
,
построенный с использованием средств
математического пакета MATLAB,
изображен на рис. 3.
Комплексным
коэффициентом передачи ЦФ
называется функция частоты
:
,
(20)
где
- частота дискретизации,
[мс] - интервал дискретизации
Свойства комплексных чисел:
Если
то
(21)
(22)
(23)
Рис.
3. Переходная характеристика (ПХ) ЦФ
1-го порядка (
=
1;
= -0,67)
Формулы Эйлера:
(24)
(25)
Находим
используя
(20) и формулы Эйлера (24), (25):
(20)
(21)
(22)
(23)
Следовательно, АЧХ ЦФ рассчитывается по следующей формуле:
(24)
График
амплитудно-частотной характеристики
,
построенный с использованием средств
математического пакета MATLAB,
изображен на рис. 4.
Рис.
4.
АЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (
= 1;
=
-0,67)
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цифрового фильтра называется функция частоты:
(25)
Находим
ФЧХ
по
формуле (25):
(26)
График
фазочастотной характеристики
,построенный
с использованием математического пакета
MATLAB,
изображен на рис. 5
Рис.
5.
ФЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (
= 1;
=
-0,67)
3. Выполнение лабораторной работы
3.1. Исходные параметры исследуемых фильтров
Величина
,
тогда параметры исследуемых фильтров
будут равны:
Табл. 2. Таблица параметров исследуемых фильтров для своего варианта ДЗ
Номер фильтра |
Порядок фильтра |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0.03333 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
1.03333 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
-1.03333 |
0 |
|
5 |
1 |
1 |
0.96666 |
0 |
|
6 |
1 |
1 |
-0.96666 |
0 |
|
7 |
2 |
1 |
-1 |
-0.33333 |
|
8 |
2 |
1 |
1 |
-0.33333 |
|
9 |
2 |
1 |
-0.5 |
-0.73333 |
|
10 |
2 |
1 |
0 |
0.93333 |
