Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики колебаний и волн. Учебное пособие
.pdf
Рис. 1.16
()
,
=⋅
α
m2
τ
,
ee
−−
βτ
= 1
22
22
π
π
ωβ
βω
()
π
()
Верхняя из пунктирных кривых на рис. 1.16 даёт гра-
фик функцииat
, причём величина a0 представляет собой
амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x0 зависит, кроме a
ax a:
00
cos
.
также от начальной фазы
0
Скорость затухания колебаний определяется коэффици-
ентами затухания
плитуда уменьшается в e раз. По определению,
откуда
. Следовательно, коэффициент затухания обра-
r
β
=
. Найдём время
за которое ам-
t
β
=
тен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Период затухающих колебаний равен
1
,
T ==
При незначительном сопротивлении среды
период колебаний практически равен T
Отношение значений амплитуд, соответствующих мо-
ментам времени, отличающимся на период, равно
ω
at
+
at T
()
31
−
0
β
e
=
. (1.66)
2
<<
2
=
0
T
. (1.67)
.
ω
0
2
0
Это отношение называют декрементом затухания, а его
λβ
()
−⋅
T
τ
ee
=
λ
Ne= 1
QN
µ
τ
=
−
β
логарифм – логарифмическим декрементом затухания:
=
at
at T
()
=n
+
. (1.68)
T
Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. Выразив в соответствии с (1.68) β через λ и T, можно закон
убывания амплитуды со временем записать в виде
λ
t
aae
T
=
.
0
За время τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз,
система успевает совершить N
λ
t−⋅
−
T
1
получается, что
=
колебаний. Из условия
e
. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу
колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда
уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы часто упо-
требляется также величина
==
π
λ
, (1.69)
e
называемая добротностью колебательной системы. Как
видно из её определения, добротность пропорциональна
числу колебаний N
за которое амплитуда уменьшается в e раз.
Из (1.14) следует, что полная энергия колеблющейся
системы пропорциональна квадрату амплитуды. В соответствии с этим энергия системы при затухающих колебаниях
убывает со временем по закону
EEe
, совершаемых системой за то время
e
t
2
(1.70)
0
32
,
(
E
t = 0
dt
22
ββ
dt
−=∆ET
β
βω
=
– значение энергии при
0
). Продифференцировав это
выражение по t, получим скорость возрастания энергии системы:
dE
=− =−
t
−
β
2
Ee E
0
.
Изменив знак на обратный, найдём скорость убывания
энергии:
−=
dE
E2
β
. (1.71)
Если энергия мало изменяется за время, равное периоду
колебаний, убыль энергии за период можно найти, умножив
(1.71) на Т:
E2
.
Наконец, приняв во внимание формулы (1.68) и (1.69),
получим:
E
=
∆ 2
EQ−
()
, (1.72)
π
из которого следует, что при слабом затухании колебаний
добротность с точностью до множителя 2π равна отношению энергии, запасённой в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний.
Из формулы (1.66) следует, что с ростом коэффициента
затухания период увеличивается. При
период колеба-
0
ний обращается в бесконечность, т. е. движение перестаёт
быть периодическим.
Теперь рассмотрим электрические затухающие колебания в колебательном контуре. Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R. Энергия, запасённая
в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на
нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают.
33
Запишем закон Ома для цепи 1–3–2,
C
dt
dt
dt
dq
dt
dt LC
ω
L2
dt
dt
20
βω
βω
et
⋅+
()
−
β
ωα
=−
22
ω
=−
изображённой на рис. 1.17:
q
IR
=− − . (1.73)
dI
L
Разделив это уравнение на L и за-
Рис. 1.17
менив I на
2
dqdtRLdq
2
dq
1
dI
, а
0+⋅ +⋅=
q
. (1.74)
на
2
, получим:
2
Приняв во внимание, что величина, обратная LC, равна
квадрату собственной частоты контура
и введя обозначе-
0
ние
R
β
=
(1.75)
(β– коэффициент затухания), уравнению (1.74) можно при-
дать вид:
2
dq
2
dq
++=
2
0
. (1.76)
Последнее уравнение совпадает с дифференциальным
уравнением (1.63) затухающих механических колебаний.
При условии, что
202
< , решение уравнения (1.76)
имеет вид:
qq
=⋅
t
m
0
cos , (1.77)
где
для β, найдём, что
ωωβ
0
. Подставив значение (1. 38) для
34
2
R
. (1.78)
2
4
L
ω
1
LC
2
и (1.75)
0
Таким образом, частота затухающих колебаний ωмень-
ω
U
C
⋅+
()
−−
ββ
ωα
sc
λβ
=
π
βω
()
ωω
Q
λ
ше собственной частоты
.
0
Разделив (1.77) на ёмкость С, получим напряжение на
конденсаторе:
qm
=⋅⋅+
t
0
etUe t
ωα
co
()
=⋅
t
m
0
os . (1.79)
Чтобы найти силу тока, надо
продифференцировать (1.77) по
времени. График функции (1.77)
изображён на рис. 1.18. Графики для напряжения и силы тока
имеют аналогичный вид.
Затухания электромагнит-
Рис. 1.18
ных колебаний, как и механических, характеризуются логарифмическим декрементом затухания:
Подставив в (1.80) (1.75) и заменив на
Если затухание невелико
в (1.81)
==
1
0
. Тогда
LC
T . (1.80)
2
π
, получим:
ω
R
λ
=
. (1.81)
ω
L
2
2
<<
, то можно положить
0
Часто колебательный контур характеризуют его добротностью
λπ
C
= R
. (1.82)
L
π
=
. (1.83)
35
Подставив в (1.83) (1.82), получим, что в случае слабого
Q
L
LC
4
βω
L
LC
4
C
Ft
⋅
ω
<<
Ft
⋅
ω
затухания добротность определяется соотношением
В заключение отметим, что при
202
≥ , вместо колебаний происходит апериодический раз-
=
1
. (1.84)
RLC
2
R
1
≥
2
, т. е. при
ряд конденсатора. Сопротивление, при котором колебательный процесс переходит апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rê опре-
2
деляется условием
R
1
ê
=
R
= 2
ê
, откуда
L
. (1.85)
2
1.8. Вынужденные колебания
Начнём с механических колебаний и рассмотрим их на
примере пружинного маятника. Допустим, что на шарик
массой т, опущенный в сосуд с глицерином, действует
внешняя сила, изменяющаяся по закону
cos
0
, где ω –
частота силы.
Рис. 1.19
36
cos
0
Для установления характера движения шарика запишем
dt
dt
Ft
m
m
dt
dt
m
ω
et
′
()
ωα
=−
22
a
()
ωϕ
dt
22
()
sc
второй закон Ньютона:
2
m
dx
=− −+⋅ cos
2
kx r
dx
ω
0
. (1.86)
Разделим уравнение (1.86) на т и введём обозначения
2β=
r
,
k
2
ω
=
. Тогда получим:
0
2
dx
2
dx
2++=⋅
βω ω
Здесь β – коэффициент затухания;
F
2
0
x
0
t
cos . (1.87)
– собственная ча-
0
стота системы; F0 – амплитуда вынуждающей силы.
Уравнение (1.87) является неоднородным. Общее решение такого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения. Общее решение однородного
уравнения мы уже знаем (см. затухающие колебания). Оно
имеет вид:
t
−
xa
′
где
ωωβ
=⋅ ⋅
, а
β
0
и L – произвольные постоянные.
0
cos , (1.88)
+
Остаётся найти частное. Получим его с помощью векторной диаграммы. Предположим, что частное решение
уравнения (1.87) имеет вид:
xa t=⋅ −
cos
. (1.89)
Тогда
dx
ωωϕω ωϕ
sincos
at at=− ⋅−
dt
2
dx
=− ⋅−
ωωϕω ωϕπ
2
()
at at
co
()
=⋅ −+
37
=⋅ −+
os . (1.91)
π
2
, (1.90)
Подстановка выражений (1.89) – (1.91) в уравнение
ωω
π
sc
sc
m
ωω
at⋅−
()
ω
⋅−
ω
ϕπ
⋅−
()
ω
ω
m
(1.87) приводит к соотношению
2
co
at at
⋅−+
ϕπ βω ωϕ
()
2
+⋅ −+
2
ωωϕ
at
+⋅ −
co
0
()
os
F
0
=⋅
cos.ωt
m
2
+
. (1.92)
Из (1.92) следует, что постоянные a и ϕ должны иметь
F
такие значения, чтобы гармоническая функция
0
⋅ cos
t
ω
была
равна сумме трёх гармонических функций, стоящих в левой
части уравнения. Если изобразить функцию
2
вектором длины
2
βωϕ
at
cos
a
, направленным вправо, то функция
0
π
+
будет выражена вектором длины
2
(рис. 1.20), повёрнутым относительно
стрелки на угол π/2, а функция
длины
2
a
, повёрнутым относительно вектора
2
ωω
at
cos
2
cos
0
2
a
против часовой
+
– вектором
2
a
против ча-
ϕ
2βωa
совой стрелки на угол π. Чтобы уравнение (1.92) было удовлет-
ворено, сумма трёх перечисленных векторов должна совпадать
F
с вектором, изображающим функцию
0
⋅ cos
t
ω
.
Рис. 1.20
38
Из рис. 1.20, а видно, что такое совпадение возможно
+=
F
22
ωω
<
ωω
>
ωω
22
22
ωω
e
лишь при значении амплитуды a, которое определяется условием:
2
F
ωω βω
()
откуда
a
222222
0
aa
4−
0
=
ωω βω
()
m
22
0
2
−
+
4
0
,
m
. (1.93)
Рис. 1.20, а отвечает случаю
чающего случаю
0
, получается такое же значение a.
. Из рис. 1.20, б, отве-
0
Рис. 1.20 позволяет получить также и значение ϕ, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (1.89) от обусловившей его вынужденной силы. Из рисунка следует, что
βω
tg
2
ϕ
=
. (1.94)
−
0
Подставив в (1.89) значения a и ϕ, определяемые формулами (1.93) и (1.94), получим:
F
x
0
m
22222
−
+
ωω βω
()
0
4
t=
cosarctg . (1.95)
⋅−
ω
2
βω
−
0
Функция (1.95) в сумме с (1.88) даёт общее решение
уравнения (1.87), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (1.87) играет заметную
роль только в начальной стадии процесса при установлении
колебаний.
С течением времени из-за экспоненциального множите-
t−
β
ля
роль слагаемого (1.88) всё больше уменьшается, и по
прошествии достаточного времени им можно пренебречь,
сохраняя в решении лишь слагаемое (1.95).
39
Рис. 1.21
ω
ω
ω
()
+=48
Таким образом, функция (1.95) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой
гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (1.93) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для
данной колебательной системы (определённых
и β) ам-
0
плитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы,
причём величина отставания ϕ также зависит от частоты
вынуждающей силы (1.94).
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определённой для данной системы частоте амплитуда
достигает максимального значения. Это явление называется
резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
Чтобы определить резонансную частоту
, нужно
ðåç
найти максимум функции (1.93) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по ω и приравняв к нулю,
мы получим условие, определяющее
−−
22 2
ωωωβω
0
:
ðåç
0
. (1.96)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]