Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики колебаний и волн. Учебное пособие
.pdf
Время между двумя последовательными толчками
v
v
,ì
()
tx
t = 0
v
ω
k
==
−−
02
11
cì
2
ìñ
U
∂
ξπ
t
=
, (3)
где v – скорость движения коляски; – расстояние между
углублениями.
При резонансе
T= ,
отсюда
03
v
= = =
,
T
063
048
,
ñ .
Задача 9. В однородной среде распространяется пло-
ская упругая волна вида
ξ
=⋅ −
002100 2,cos
ì . Найдите
скорость распространения данной волны, максимальную
скорость колебаний частиц среды и изобразите на графиках
зависимости ξ и
∂
от х для момента времени
∂ξt
.
Решение
Волновое число k
=
, отсюда
10
ω
=
. (1)
; k . Подставив в (1), бу-
v
В нашем случае
ω
дем иметь:
v = =
100
50
.
Скорость колебания частиц среды U найдём, взяв произ-
водную по времени от исходного уравнения волны:
2100 22 1002
sincos . (2)
=− ⋅−
t
∂
tx tx=
()
=⋅ −+
111
2
Из сравнения (2) с исходным уравнением волны видно,
∂ξt
⇒=
ìñ
tv
, (3)
расстояние между углублениями.
Tv
,
0,3
0, 48 мс
0,63
vT
.
0,02 cos 100 2 мtx
. Найдите скорость распространения данной
и
t
от х для момента времени
0t
.
Решение
k
v
, отсюда
v
k
. (1)
11
100c ; 2мk
. Подставив в (1), будем иметь:
100
50мс
2
v
.
2 sin 100 2 2 cos 100 2
2
U tx tx
t
. (2)
и
t
должны изображаться косинусоидами, сдвинутыми по
2
(рисунок).
m
2мсU
.
0
Х
Х
=
ξω
=⋅ ⋅
xt
2
Х
0
что на графиках зависимости ξ и
∂
должны изображаться
косинусоидами, сдвинутыми по фазе друг относительно
друга на π/2 (рисунок).
Из (2)
Задача 10. На струне длиной
U
2 .
m
100ñì образовалась
стоячая волна, имеющая четыре узла. Найдите координаты
точек, которые совершают колебания с амплитудой в 2 раза
меньше максимальной Am.
Решение
В рассматриваемом случае уравнение стоячей волны
удобнее записать в виде
Тогда зависимость амплитуды смещения А будет опре-
2Ak
sinsin . (1)
деляться выражением
AA kx=
sin . (2)
m
Отсюда
1
= sin kx . (3)
112
Решение уравнения (3) может быть представлено в виде
π
=
3
x = 52535556585; ;;;;ñì
ν
= 9êÃö
=
=
A
=−
()
r
r
= =33
()
n
±+
x
π
λ
6
k
=±+
216
n=
, (4)
где n
012,, , ...
Чтобы определить λ, нарисуем рассматриваемую стоя-
чую волну. Из рисунка следует:
2
λ
=
.
С учётом этого из (4) получим следующие значения ис-
комых координат:
.
Задача 11. Точечный изотропный источник испускает
звуковые колебания с частотой
r010
A010
ìêì от источника амплитуда смещения частиц среды
ìêì . Найдите расстояние r, на котором амплитуда
смещения частиц среды А в 3 раза меньше
. На расстоянии
и амплитуду
0
колебаний скорости частиц среды на этом расстоянии.
Решение
Процесс распространения звуковых колебаний от источ-
ника описывается сферической волной
Обозначим à =
A
ξωα
A
. Тогда
r
à
0
= =
à
r
0
+
tkxcos . (1)
1
,
3
откуда rr
Амплитуду колебаний скорости частиц найдём, взяв
производную от смещения по времени:
00ì .
∂
ξ
ωω α
=− ⋅−+
∂
t
113
tkràsin
. (2)
Из (2):
ìñ
3
8
UU t=⋅0cos
ω
dt
dt
()
ωω
ìý
22
2122
2
ωω
8
2
2
==
22
πω
==
−
6
⋅
⋅⋅⋅=
2910 019
3
, .
U
10 10
à=
=
ωπ
max
Задача 12. Чему равно отношение энергии магнитного
поля колебательного контура к энергии его электрического
поля для момента времени
T
c ?
Решение
Имеем напряжение на ёмкости
. (1)
Найдём ток:
dCU
I
dq
CU t==
=− ⋅
0
sin . (2)
С учётом (1) и (2) найдём энергию магнитного Eì
и электрического Eэ полей:
2
Å
LI
== ⋅==⋅
2022 2
LC UtE
ωω ω
sin, cos .
CU
2
1
CU t
0
Отсюда
Å
При
Å
tT=
ì
ý
величины
22
LC t
ωω
sin
⋅
2
t
ω
cos
sinωt =
LC t
=
2
и
22
tg=
. (3)
cosωt =
2
того,
2
LC
T
1
.
4
Подставив эти значения в (3), получим:
sin
cos
2
t
ω
1
2
.
t
ω
Å
ì
Å
ý
. Кроме
114
Задача 13. Плоская электромагнитная волна
()
Âì=
= 5ñì
y
X
α
k
=⋅
2
3
2
300ì ñ
ξπ
=⋅
где E
500 , распространяется в вакууме. Найдите
m
EE tkr=⋅ −
cos
m
ω
,
средний за период поток энергии, проходящий через плоскую поверхность площадью S
, расположенную пер-
пендикулярно оси х.
Решение
Средний за период поток энергии определяется соотно-
шением
Φ= ⋅
где
S – усреднённый по времени модуль вектора Пойн-
тинга; α – угол между волновым вектором
SFcos
α
, (1)
и направлени-
ем оси х (рисунок); F – площадь.
2
ε
Подставляя в (1) P
E
m
0
и учитывая, что tg
C
4
α
=
будем иметь:
2
E
ε
0
Φ= ⋅⋅⋅≈
m
CF
8
Äæ ñcos .
α
,
Задача 14. В упругой среде распространяется волна со
скоростью
вид
10 05sin, t ñì . Чему равна максимальная кинетиче-
ская энергия, переносимая волной через среду массой 4 кг?
Чему равна эта энергия в момент максимального смещения
точек среды от положения равновесия?
. Уравнение колебаний источника имеет
115
Решение
2
U
t
∂
ξπ
Ut
U
U
ìñ
,,
ππ
2
2
22
⋅−
ππ
Кинетическую энергию, переносимую волной, вычис-
лим по формуле
2
E
mU
=
, (1)
где U – скорость колебаний точек среды, в которой распро-
страняется волна:
ξ
∂
=
.
В рассматриваемом случае уравнение волны может
быть записано в виде
x
=⋅ −
10 05
sin, t
300
ñì
. (2)
Тогда
x
=⋅ ⋅−
10 05 05
,cos ,
π
ñì ñ . (3)
300
Так как требуется найти максимальную кинетическую
энергию, то вычислим
=⋅ ⋅=
10 05 10 005
max
max
:
−
2
. (4)
Подставляя (4) в (1), получим:
m
E
maxmax
22
U
Ответим на второй вопрос:
2
E
mU m
==
22
Сравнивая (2) и (3), нетрудно видеть, что смещение ко-
леблющихся точек принимает максимальное значение в тех
случаях, когда sin,05
косинуса равно нулю. Значит кинетическая энергия у точек
среды при их максимальном смещении равна нулю.
4
005510
,
π
22
cos, . (5)
25 05
=
1tx−
, но в этот момент значение
300
116
−
Äæ==⋅⋅=⋅
.
x
t
300
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Савельев И. В. Курс физики. – СПб.: Лань, 2006. – Т. 2. –
480 с.
Фриш С. Э. Курс общей физики / С. Э. Фриш, А. В. Тиморева. – СПб.: Лань, 2006. – Т. 2. – 480 с.
Киттель Ч. Механика: пер. с англ. / Ч. Киттель, У. Найт,
М. Руденман. – М.: Наука, 1975. – Т. 1. – 480 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. – М.: Наука, 1975. –
Т. 2. – 551 с.
Суорц Кл.Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений: пер. с англ. – М.: Наука, 1987. – Т. 2. – 384 с.
Яворский Б. М. Основы физики / Б. М. Яворский,
А. А. Пинский. – М.: Наука, 1974. – Т. 2. – 464 с.
Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2003. –
542 с.
Мэрион Дж. Б. Физика и физический мир. – М.: Мир,
1975. – 623 с.
Орир Дж. Физика: пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – Т. 1. –
336 с.
Орир Дж. Физика: пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – Т. 2. –
288 с.
Яворский Б. М. Курс физики / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. – М.: Высш. шк., 1989. – 607 с.
Селиванова Э. Б. Колебания и волны. Волновая оптика: метод. указания к решению задач / Э. Б. Селиванова,
В. Я. Чечуев. – Новосибирск, 2002. – 98 с.
Грабовский Р. И. Курс физики. – СПб.: Лань, 2002. –
608 с.
Касьянов В. А. Физика. 11 класс. – М.: Дрофа, 2004. – 416 с.
Крауфорд Ф. Волны: пер. с англ. – М.: Наука, 1976. –
Т. 3. – 528 с.
117
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ..............................................................................3
1. КОЛЕБАНИЯ ........................................................................4
1.1. Общие сведения о колебаниях ....................................4
1.2. Гармонические колебания ...........................................5
1.3. Гармонический осциллятор ......................................12
1.4. Сложение гармонических колебаний одинакового
направления равных частот .......................................21
1.5. Биения .........................................................................24
1.6. Сложение взаимно-перпендикулярных колеба-
ний ............................................................................26
1.7. Затухающие колебания ..............................................29
1.8. Вынужденные колебания ...........................................36
1.9. Вынужденные электрические колебания .................43
1.10. Переменный ток .......................................................50
2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ ............................................................55
2.1. Распространение волн в упругой среде ....................55
2.2. Уравнение плоской и сферической волн ..................58
2.3. Волновое уравнение ...................................................63
2.4. Скорость упругих волн в твёрдой среде ..................64
2.5. Энергия упругой волны .............................................66
2.6. Звуковые волны ..........................................................70
2.7. Стоячие волны ............................................................75
2.8. Волновой пакет. Групповая скорость .......................80
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ..................................83
3.1. Волновое уравнение для электромагнитного
поля ..............................................................................83
3.2. Плоская электромагнитная волна .............................85
3.3. Экспериментальное исследование электромаг-
нитных волн ................................................................87
118
3.4. Энергия электромагнитных волн и импульс
электромагнитного поля ............................................89
3.5. Излучение диполя ......................................................93
3.6. Эффект Доплера для электромагнитных волн .........96
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ...............................................99
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ..........................................102
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................118
119
Составитель
Чечуев Владимир Яковлевич
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Учебное пособие
Редактор Т. К. Коробкова
Компьютерная верстка В. Н. Зенина
Подписано в печать 11 марта 2014 г. Формат 60 × 84 1/16.
Объем 5,8 уч.-изд. л., 7,5 усл. печ. л.
Тираж 100 экз. Изд. № 125. Заказ № 1028.
Отпечатано в Издательском центре «Золотой колос»
Новосибирского государственного аграрного университета
630039, Новосибирск, ул. Добролюбова, 160, каб. 106
Тел/факс (383) 267–09–10, Е-mail: 2134539@mail.ru
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]