Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы физики колебаний и волн. Учебное пособие
.pdf
24. Напишите уравнение стоячей волны. В каком случае при
отражении волны от преграды возникает пучность, в каком случае узел?
25. Какие длины волн возбуждают с заметной интенсивностью на закреплённой с двух сторон струне длиной ?
26. Какая скорость распространения волн называется групповой? Как она связана с фазовой скоростью?
27. Какие величины колеблются в электромагнитной волне?
Нарисуйте «мгновенную фотографию» плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси х.
В какую сторону направлен вектор Пойнтинга?
28. Как определяется величина давления электромагнитных
волн в случаях, когда тело поглощает падающее на него
излучение и когда полностью отражает?
29. Нарисуйте диаграмму направленности элементарного
диполя.
30. В чём состоят продольный и поперечный эффекты Доплера для электромагнитных волн?
101
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
t
A
0
X
1,0
см
tx= =00
tx210= ,ñì
= ,ñ
0 =⋅A sin
α
2
ωα
()
=+
()
ωα
Задача 1. Тело совершает гармоническое колебательное движение. Во сколько раз время, затраченное на прохождение расстояния, равного первой половине амплитуды,
меньше времени, затраченного на прохождение расстояния,
равного второй половине амплитуды?
Рис. 1
Решение
Предположим, что:
а) в момент времени
б) в момент времени tx
1
в) в момент времени
;
05=,ñì ;
.
Уравнение движения запишем в виде:
tx
10
2
ì . (1)
иметь:
1
Подставляя в (1) начальные условия а), б), в), будем
; (2)
1
sin
t +
01
sin
102
; (3)
t . (4)
02
Из (2)
⇒=α0
ππ
66
tt
ππ
22
tt
00
∆=
()
ωα
ω
ω
gg
∆∆
==⇒=⇒=01
αα
, из (3) ⇒=⇒=
ω
01 1
. (5)
ω
0
Из (4) ⇒=⇒=
ω
02 2
. (6)
ω
2
Из (5) и (6) следует, что соотношение искомых времён
равно
π
π
−
tt
21
t
1
−
ω
26
=
π
ω
6
0
ω
2
=
.
Задача 2. К спиральной пружине подвесили груз, масса
которого 0,1 кг значительно больше массы пружины. При
этом пружина удлинилась на
5ñì . Затем груз оттянули
на 3 см и отпустили. Определите потенциальную энергию
колебаний и соотношение между периодами колебаний груза и потенциальной энергии.
Решение
Из условия задачи следует, что в ней рассматриваются колебания пружинного маятника, которые описываются
уравнением
xA t=⋅ +
cos
0
. (1)
Нам неизвестны
и α. Найдём
0
весия:
mg k
=⇒=⇒=∆
0
Начальную фазу α найдём путём подстановки начальных условий в уравнение (1):
txA
из условия равно-
0
k
m
103
ω
0
0
. (2)
0
0,cos
. (3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
xt
5500=⋅sinñì
xt
=⋅sinñ
tt
sc
∆
ω
ωω
==
−−
01
11
cc
,ì
xt=⋅
π
π
,c
x
g
t=⋅
⋅0030,cos
. (4)
∆
Найдём потенциальную энергию
2
kx mg g
E
==∆⋅⋅
p
⋅
−
2
22
42
910
⋅⋅
cos
,
0198
=
,
25 10
⋅
0
510
,cos
003
,
9
⋅
88
10 14
=⋅
2
−
2
∆
0
22
−
cos
t
⋅=
π
t Äæ.
(5)
Из (5) следует, что период изменения потенциальной
энергии в 2 раза меньше периода колебаний груза, так как
период квадрата косинуса вдвое меньше периода косинуса.
Задача 3. Складываются два колебания
и
5501
2
ì одного направления. Запишите уравне-
1
ние результирующего колебания и определите период изменения его амплитуды.
Решение
Из условия задачи видно, что складываются два гармонических колебания, направленных вдоль одной прямой
с одинаковой амплитудой и близкими частотами. В результате возникают биения, описываемые уравнением
xA
Подставляя в (1)
лучим:
Найдём период
T ===
=⋅ ⋅22co
50
os
ω
. (1)
, ∆ и A=005
01 500,cos ì . (2)
22
ω
∆
1
628
.
104
, по-
Задача 4. Материальная точка участвует в двух взаим-
xt=⋅
yt=⋅
Решение
Y см
X см
0
2
1
В
2
В
1
22
41
+=
=
4
но-перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
2cosωñì ; (1)
1sinωñì . (2)
Определите траекторию и постройте её на чертеже. По-
кажите направление движения точки.
Рис. 1
Решение
Оба колебания совершаются с одинаковыми циклическими частотами во взаимно-перпендикулярных направлениях. Начальная разность фаз колебаний π/2. Для нахождения уравнения траектории разделим уравнение (1) на 2,
а уравнение (2) на единицу. Затем каждое уравнение возведём в квадрат и сложим. В результате получим:
xy
1
. (3)
Уравнение (3) – уравнение эллипса с полуосями 2 см
и 1 см (рис. 1).
Определим, в каком направлении будет двигаться точка
по эллипсу. Для этого, пользуясь уравнениями (1) и (2),
определим положение некоторой точки в следующие друг за
другом моменты времени t
1
105
0
и t
T
= . Подставив в урав-
2
нения (1) и (2)
t10=
x12= ñì
y10= ñì
B
4
T
4
4
2
⋅=
ππ
T
4
42
ππ
ω
=
−
,c
t = 50 c
00
, получим
,
на рис. 1). Подставив в эти же уравнения t
(точка
T
=
, будем иметь:
1
x
2
y
2
2
T
coscos cos
ω
2
T
ω
T
2
2
2
T
1==⋅= =sinsin sin
0=⋅ =⋅ ⋅=
ñì .
ñì ;
Такими координатами обладает точка B2. Следовательно, колеблющаяся точка движется по эллипсу против часовой стрелки.
Задача 5. Тело массой 1 г совершает затухающие колебания с частотой
314
1
. В течение времени
энергия тела уменьшилась в 5 раз. Определите коэффициент затухания β, коэффициент сопротивления среды r и логарифмический коэффициент затухания λ.
Решение
Поскольку полная энергия при гармоническом колебательном движении пропорциональна квадрату амплитуды,
то можно записать:
2
= , (1)
2
A
n
n
откуда
EEA
С другой стороны, амплитуда затухающих колебаний
меняется по закону
откуда
A
0
= = ,
A
n
AAe
=⋅
n
A
A
5224
0
0
=
n
. (2)
t
−
β
,
t
β
. (3)
e
106
С учётом (2) получим:
=
β
−−
t
50
21
−−
m
2
35
,,
22
⋅
−−
22
C
−
Ut
()
()
U
ν
ωβ
212
22
ln 2,24
следовательно,
r
ββ
=⇒== ⋅⋅ =⋅
ln 2,24
β
===⋅
rm
20016210 32 10
λβ
==⇒=TT;
λ
=⋅ ⋅
16 10
,
2314
08
,
π
ω
,
314
,
t ,
,
16 10
ω
32 10
,
π
λβ
=⋅
c
,
êã ñ .
;
.
Задача 6. Колебательный контур состоит из конденсато-
ра ёмкостью
L =⋅−4103Ãí
= 103ïÔ и катушки, индуктивность которой
, а сопротивление
R =⋅−2102Îì
.
Определите частоту собственных колебаний и длину
волны, на которую настроен контур.
При разомкнутой цепи конденсатор зарядился до
210
7
Êë=⋅
, а затем цепь замкнули.
q
m
Запишите уравнение для разности потенциалов на за-
жимах конденсатора
и тока в цепи It
C
.
Вычислите логарифмический декремент затухания контура, а также интервал времени, в конце которого амплитуда
разности потенциалов
уменьшится в 2 раза. Определи-
C
m
те число колебаний, совершённых за это время.
Решение
1. Частоту колебаний можно найти из соотношения
В (1)
ωβ
1
0
LC
ω
== −
ππ
5
510
0
c; c, .
R
2
L
107
. (1)
210
⋅
2410
⋅⋅
2
−
−
3
−
1
25==⋅==
=
Так как
βω
<<
νν
ω
,Ã
π
,ì
R ↑ 0
()
et
⋅+
()
ωα
α
=
t = 0
qq=
α
= 0
et
U
CqC
Ue
−
05
tt
sc
β
01
et
⋅+
π
π
== ==
λ
==== =⋅⋅⋅⋅⋅ =
CT
2.
0
0
π
2
CC
2
ν
, поэтому зависимость qt
, то можно полагать, что
0
1
LC
π
2
2628 310410 10 3760
ω
628410 10
,
CLC
π
1
−−
39
⋅⋅
839
08 10
=⋅
−−
можно записать
5
ö ; ( 2)
в виде
t
−
где
qq
=⋅
0 , так как цепь замыкается в момент
. Учитывая, что
m
0
β
m
0
cos
, (3)
, когда
и в нашем случае колебания
носят квазигармонический характер, перепишем уравнение
для заряда:
t
−
qq
=⋅⋅
== ⋅
C
β
ω
m
0
q
cos ; (4)
0
m
0
cos
t
ω
. (5)
0
Подставляя в (5) численные значения, будем иметь:
t
C
20
25 5,
cos ; (6)
10
Â=⋅ ⋅⋅
.
I
II
Ie t
dq
== ⋅+
ωω
qe
0000
dt
m
t
−
β
co
0
πβ
−
2
ω
os . (7)
ω
В (7) можно пренебречь вторым слагаемым, поскольку
−
6
51
=⋅ <<
ω
0
.
Тогда
−
=⋅
β
m
0
t
ω
cos . (8)
0
2
Подставив в (8) численные значения, получим:
=⋅ ⋅⋅⋅+
01 510
,
,cos
t
−
25 5
108
A . (9)
2
3. По определению
Ut
T
22400
A
==
t
10
λβ
===
β
t
v
,
25
,
⋅
08 10
,
=⋅
31 10
5
5
−
.
Для нахождения интервала времени воспользуемся со-
t
−
отношением AAe
Ue
=⋅⇒
()
Cm
=⋅
n
−
βββ
0
За это время произойдёт N
β
. Согласно этому соотношению
0
U
ttt
m
0
Ut
()
C
eet
=⇒=⇒==
2
t
ln
2
β
t==⋅= ⋅⋅=
ν
0280810
,,
028
, .
c
5
колебаний.
Задача 7. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая
этот груз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания β,
чтобы: 1) колебания прекратились через 10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала
до 1 % от начальной величины); 2) груз возвращался в положение равновесия апериодически.
Решение
1. Для нахождения коэффициента затухания в первом
случае воспользуемся соотношением
AAe
=⋅
n
0
Из него следует:
0
100
A
n
Из уравнения (2) получим:
ln100
β
===
46
,
109
t
−
β
. (1)
t
+
β
. (2)
e
−
1
c
,
046
.
2. Апериодический режим возникает, когда ω =
ω
qq
00
T
2
Hì
T
,,
22
=−=
ω
β
0
0
, т. е.
= β. (3)
0
Из условия равновесия можно найти
:
0
mg k
=⋅ ⇒= ⇒=
∆∆
k
m
ω
. (4)
∆
0
Учтя (3) и подставив численные значения в (4), будем
иметь:
98
β
,
===
0098
,
10010
−
1
.
c
Задача 8. По грунтовой дороге прошёл трактор, оставив
следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии
30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску,
имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см под действием груза в 1 кг. С какой скоростью
катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав
в резонанс, начала сильно раскачиваться? Вес коляски 10 кг.
Решение
Коляска начнёт сильно раскачиваться, если промежуток времени между двумя последовательными толчками на
углублениях будет равен периоду собственных колебаний
коляски. Период собственных колебаний коляски находится
по формуле
У нас m = =
10
5êã – масса, приходящаяся на каждую
= 2
m
π
. (1)
k
рессору; k
в (1), получим:
F
= = =
x
1
0
002
0
,
= =628
400
. Подставив эти данные
5
400
110
c . (2)
063
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]