Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физико-химические методы очистки газов (лабораторный практикум)
.pdf
По справочным данным соответствующее значение критерия
Кохрена G = 0,967. Оно найдено при Р = 0,95; N = 3; f = k–1 = 2–1=1.
В связи с выполнением условия Gp< G можно считать опыты
воспроизводимыми, а данная методика и средства измерений приняты
правильно.
5.2. Уравнение регрессии и регрессионный анализ
Регрессией называется зависимость среднего значения какойлибо величины от некоторой другой величины или нескольких величин. Математическая модель, представленная в виде полинома, связывающего результаты эксперимента с переменными параметрами, носит название уравнение регрессии.
Для случая линейной регрессии от одного параметра уравнение
регрессии имеет вид
0+bi
⋅x.
у = b
Коэффициенты уравнения b0 и bi определяются
n
=
b
0
n
i
1i
1i
n
1i
n
2
i
2
−
∑∑
i
n
⋅−⋅
yxyxy
∑∑∑∑
i
1i
n
xxn
i
==
1i
ii
====
1i
2
n
( )
∑
=
1i
=
b ;
i
n
∑
=
( )
−
i
1i
( )
−−
yyxx
ii
2
xx
при объеме выборки «n».
Следует отметить, что b0 = y – bi ⋅x (2). Это уравнение показывает, что между b0 и bi существует корреляционная зависимость , которая может быть выражена через коэффициент корреляции
2
n
br
=
1
1i
n
1i
n
2
−
i
2
−
i
xxn
∑∑
i
1i
==
2
n
yyn
∑∑
i
1i
==
Рассмотрим вышеприведенные уравнения на примере.
Определить зависимость растворимости BaCl
121
в воде (у) в при-
2
сутствии CaCl2 (x) при температуре 70°С. Объем выборки n = 6. Экс-
2
58
814
6
−
⋅
⋅−⋅
6
⋅
+
периментальные данные процесса следующие:
x, CaCl2, % 0 5 8 10 15 20
y, BaCl2, % 32 25 20 17 11 5
Решение. Определяем коэффициенты уравнения регрессии
y = b0 – bi ⋅ x .
Коэффициент bi рассчитаем по уравнению (1), а bo—по (2). Для
этого экспериментальные данные сведем в табл. 5.2.
Таблица 5.2. – Данные эксперимента
№ x y x
1 0 32 0 1024 0 32 1024
2 5 25 25 625 125 30 900
3 8 20 64 400 160 28 784
4 10 17 100 289 170 27 720
5 15 11 225 121 165 26 676
6 20 5 400 25 100 25 625
E 58 110 814 2484 720 168 4738
На основании данных таблицы 5.2 определяем коэффициенты b
и b
i
y2
x⋅y
x+y (x+y)2
o
b
= , 43,31
1
По уравнению (3) рассчитаем коэффициент корреляции
Полученное значение r очень близко к единице, следовательно
зависимость между x и y практически линейна и уравнение регрессии
имеет вид
После уточнения уравнения регрессии необходимо провести
статистический анализ результатов. Суть анализа состоит в следую-
110587206
2
355,1r −=
−= .
355,1
−=
= 31,43 - 1,355⋅x.
y
122
b
= .
0
33648146
−⋅
1210024846
−⋅
58355,1110
=
99,0
щем: проверяется значимость всех коэффициентов уравнения, оцени-
N
B
N
вается ошибка воспроизводимости и устанавливается адекватность
уравнения. Такой подход носит название регрессионного анализа.
Проведение регрессионного анализа начинается с оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента
tj = |bj| /S
,
bj
где tj – значение критерия Стьюдента;
bj – j –ый коэффициент уравнения регрессии;
Sbj – среднее квадратичное отклонение j–го коэффициента и если
|b| = > Sb ⋅t , то коэффициент значим. В противном случае незна-
чимые коэффициенты исключаются.
Получив уравнение регрессии, его можно проверить на адекватность, т.е. способность достаточно хорошо описывать функцию отклика, по критерию Фишера
2
S
S
ост
2
воспр
где S
2
– остаточная дисперсия;
ост
2
S
– дисперсия воспроизводимости.
воспр
F = ,
Дисперсия воспроизводимости определяется из соотношения
N
2
S
∑
2
S
воспр
= .
i
1i
=
При числе степеней свободы этой дисперсии f=N(m – 1), где m
– число параллельных опытов. Остаточная дисперсия определяется
как
где y
– экспериментальные данные;
i
N
( )
2
S
ост
∑
1i
=
=
−
2
−
yym
ii
,
yi – среднее значение;
N – число опытов;
В – число коэффициентов в уравнении регрессии.
Уравнение регрессии адекватно описывает эксперимент, если
123
для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f= N – B,
расчетное значение F < F
табл
.
5.3. Математическая обработка результатов
градуировки реометра
Целью работы является градуировка дросселирующего устройства (капилляр или диафрагма) для измерения расхода газа, с использованием в качестве образцового расходомера мыльно-пленочного
расходомера, газового счетчика, или установку для измерения объема
вытекающей жидкости с последующей математической обработкой
результатов, включающей оценку случайных погрешностей градуировки, получение параметров регрессионного уравнения, описывающего зависимость расхода газа от показаний реометра и регрессионный анализ полученного уравнения.
Обработка данных проводится вручную с применением калькуляторов.
.3.1. Условные обозначения
5
Н – разность уровней запирающей жидкости в дифманометре
реометра, мм или см;
Q – измеренный расход газа, см3/мин или л/мин;
τ – время опыта, мин или с;
n – число параллельных измерений в серии при близких значениях Н;
N – число серий измерений при разных значениях Н;
Н и Q – средние значений Н и Q в серии измерений;
S2 – дисперсия воспроизводимости в серии измерений;
2
S
– дисперсия воспроизводимости для всей совокупности дан-
B
ных;
2
S
– остаточная дисперсия.
0
5.3.2. Проведение эксперимента и предварительная
обработка экспериментальных данных
Техника экспериментальных измерений описана в соответствующих лабораторных работах. В ходе эксперимента необходимо измерить расход воздуха через реометр при 5-8 значениях Н. При каж-
124
дом значении Н выполняется серия опытов от 4 до 6 параллельных
ij
ij
(Yij–Yi
2
2
измерений. Число измерений во всех сериях должно быть одинаковым. По результатам измерений заполняются первые 6 столбцов таблицы 5.3, рассчитываются для каждой серии Н и Q и строится график
Q = f(H).
Таблица 5.3. – Исходные данные и их предварительная обработка
№ серий № опытов Н
1 1
2
5
Для первой
Н
серии
2 1
2
5
Для второй
Н2 Q2 Y2 (Y2j–Yi)
серии
τ, мин Qij Yij= lgQ
1
Q
1
)
Y
1
(Y1j–Yi)2
5.3.3. Обработка экспериментальных данных
Выбор формы уравнения регрессии. В общем случае зависимость между Q и Н обычно описывается уравнением
Н=С⋅Qk , (5.1)
где С – постоянная реометра;
k – показатель степени, изменяется в интервале от 1 для тонких
капилляров с ламинарным движением газа до 2 для диафрагм.
Для выражения экспериментальных результатов используют зависимость (5.1). При этом имеется в виду, что теоретически обоснованная зависимость (5.1) из-за непостояноства сечения капилляров,
краевых эффектов на входе и выходе из капилляра или диафрагмы
может оказаться не вполне удовлетворительной для описания экспериментальных данных. О степени ее пригодности можно судить по
результатам регрессионного анализа. Затем преобразуют (5.1) с целью
выразить Q в явной форме. Для этого используют обозначения
-1/k
С
=C1 ; (1/k) = m, (5.2)
тогда Q = C1⋅Hm . (5.3)
Чтобы найти коэффициент С1 и показатель m по экспериментальным данным и затем определить С и k, уравнение (5.3) необходи-
125
мо представить в линейной форме, что легко сделать логарифмирова-
(
)
i
Qi
Xi
i
Yi
Xi
2
1
X1
Y1
X1
2
2
X2
Y2
X2
2
3
Q3
X3
Y3
3
2
4
Q4
X4
4
X4
2
5
Q5
X5
Y5
X5
2
нием
lgQ = lgC1+ m⋅lgH. (5.4)
В дальнейшем обозначают X = lgH и Y = lgQ,
тогда
Y= lgC1+ m⋅X, (5.5)
что представляет собой уравнение регрессии.
5.3.3.1.Определение дисперсии воспроизводимости
Дисперсия воспроизводимости серии измерений, характеризующая случайную ошибку опыта, определяется
n
1
2
=
S ,
i
−
∑
1n
( )
=
ij
2
−⋅
YY
iij
где i – номер серии;
j – номер эксперимента в серии.
Необходимые для расчета S
2
значения Yij и
i
2
YY − приво-
iij
дятся в таблице 5.4.
По полученным данным определяется дисперсия воспроизводимости (таблица 5.4) в каждой серии измерений.
Таблица 5.4. – Определение дисперсии воспроизводимости
№ серий Н
1 H1 Q
= lgH
2 H2 Q
3 H
4 H
Y
X
5 H
Проверка однородности дисперсий воспроизводимости
.Чтобы
оценить ошибку градуировки и адекватность найденного уравнения
эксперименттатору необходимо знать дисперсию воспроизводимости
для всей совокупности экспериментальных данных. Она определяется
из соотношения
126
N
N
2
S
∑
2
S
= . (5.6)
b
i
1
Использовать уравнение (5.6) можно лишь в том случае, если
дисперсии S
2
, приведенные в таблице 5.3, однородны, т.е. если точ-
i
ность экспериментальных данных при разных значениях аргумента
одинакова. Однородность ряда дисперсий при одинаковом числе измерений в каждой серии проверяется по критерию Кохрена G, который равен отношению наибольшей из дисперсий к их сумме. Дисперсии однородны, если
2
S
maxi
G
. (5.7)
кр
2
S
i
Критические значения G
G ≤=
N
∑
1
для уровня значимости 0,05 приведе-
КР
ны в Приложении 3. При этом GКР берется при соответствующих значениях N и f = n–1.
Неоднородность дисперсий обычно указывает на недостаточно
тщательное проведение измерений в отдельных точках. Следует проверить, станут ли дисперсии однородными, если исключить самую
большую из них. При положительном результате проверки по уравнению (5.7) можно перейти к разделу 3.3.4, причем исключенную серию
в дальнейшем при регрессионном анализе принимать во внимание не
следует. Если же неравенство (5.7) по–прежнему не выполняется, то
следует провести все эксперименты заново.
Дисперсия воспроизводимости для всей совокупности данных.
Эта величина рассчитывается по данным таблицы 5.2 с использованием уравнения 5.6. Определив S
2
, можно получить приближенную
B
оценку средней погрешности эксперимента для всей совокупности
данных. Такую оценку дает коэффициент вариации (относительная
средняя квадратичная погрешность)
2
1/2
)
W = [(S
/Y]⋅100,0 % , (5.8)
B
где Y – рассчитанное по данным табл. 5.2 среднее значение Y для всей
совокупности проведенных измерений.
5
.3.3.2. Определение параметров уравнения регрессии
Параметры уравнения регрессии (5.4) или (5.5) могут быть най-
127
дены графическим или аналитическим методом.
(
)
[
]
∑
Графическое определение параметров уравнения регрессии. По
данным табл. 5.3. строится на милллиметровой бумаге график в системе Y=f(X) и проводится прямая, наилучшим образом проходящая
через экспериментальные точки. Величина lgC1 определяется как отрезок, отсекаемый на оси ординат, а m, как отношение катетов угла,
образуемого прямой с осью абсцисс. Затем рассчитывается С1 и с учетом уравнения (3.2) находятся k и С, после чего уравнение (3.1) следует представить в численной форме. Следует отметить, что параметры,
определенные графическим методом, являются приближенными.
Аналитическое определение параметров уравнения регрессии.
Наиболее вероятные значения параметров уравнения регрессии находятся аналитически с использованием метода наименьших квадратов.
Для этого записывают уравнение (5.4) в общей форме
+ b1⋅X . (5.9)
Y = b
0
Очевидно, в обозначениях b0 = lgC1 и b1 = m.
Тогда уравнения для определения b0 и b1 записываются следующим образом:
⋅−
YXX
==
bm ; b
1
( )
∑
i
ii
= Y–b1⋅X, (5.10)
0
2
−
XX
где X и Y – средние значения для всей совокупности измерений.
Значения Xi и Yi берутся из табл. 5.2. После определения b0 и b1 c учетом уравнения (5.2) находятся величины k и С, и уравнение (5.3) представляют в численной форме.
5.3.3.3. Регрессионный анализ уравнения
Уравнение регрессии следует подвергнуть статистическому
анализу: проверить значимость его коэффициентов в сравнении с
ошибкой воспроизводимости, а также проверить его адекватность
экспериментальным данным.
Для проверки значимости коэффициентов следует найти отношение абсолютного значения коэффициента b
тичному отклонению Sbi :
(bi /Sbi) = tbi > t
128
к его среднему квадра-
i
(5.11)
T ,
где tT —табличное значение критерия Стьюдента, взятое при числе
)
(
)
2
N
)
степеней свободы f = N(n–1) — см. Приложение 4. Коэффициент является значимым, если неравенство (5.11) выполняется.
Величины Sbi определяются из следующих соотношений:
⋅
2
i
∑
−⋅
2
XS
i
2
( )
XXN
∑∑
i
Y
i
2
NS
⋅
S
= .
b
1
2
Yi (Yi –Yi)2
i
2
. Для ее расчета использу-
0
b
2
( )
−⋅
i
2
2
XXN
∑∑
i
2
S
= ;
b
0
Адекватность найденного уравнения и его пригодность для описания экспериментальных данных, прежде всего, следует проверить качественно. С этой целью необходимо по уравнению (5.3) определить рас-
четные значения расхода газа Q), соответствующие экспериментальному
ряду значений Н. Эти данные приводятся в табл. 5.5.
Таблица 5.5. – Проверка адекватности уравнения регрессии
№ серий Н
1
2
3
4
5
Полученные значения Q) необходимо нанести на график и сопоставить расчетную кривую с экспериментальной.
Окончательная проверка адекватности уравнения регрессии
проводится статистически. Проверка сводится к сопоставлению разброса опытных данных относительно расчетных с величиной случайной погрешности эксперимента. Мерой разброса является остаточная
дисперсия или дисперсия адекватности S
ют данные, приведенные в табл. 5.5.
b
Q
=
129
∑
2
s
0
2
Сопоставление S
полняется с помощью критерия Фишера:
0
2
c S
(дисперсией воспроизводимости) вы-
b
2
YYn
−⋅
ii
.
−
2
2
(S
/S
) = F < FT . (5.14)
0
b
Табличное значение критерия Фишера берется из Приложения 5
при числе степеней свободы числителя f1 = N⋅(n–2) и числе степеней
свободы знаменателя f2 = N⋅(n–1).
Уравнение регрессии адекватно отражает экспериментальные
данные, если соблюдается неравенство (5.14).
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]