Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика и термодинамика. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
Теплопроводность
RTM
p
R
M
M
x
M
pMR
C
iR
V
c
V
2
M
1
cl
V
3
, где
8
,
– теплоемкость при постоянном объеме. После подста-
M
T
новки в формулу для λ получим
iR pM RT kT ik RT
18 8
32
RT M M
Считая, что для воздуха i = 5 и
ik RT
2183
6 2 6 0,09 10 3,14 2 3,14 29 10
d
8 5 1,38 10 8 8,31 290
M
22
dp d
13,2 10
26 2
3
29 10 кг/моль,M
23
Вт
3
мК
.
.
получим
Задача 5. Между двумя пластинами, расположенными на расстоя-
нии h = 2 мм друг от друга, находится воздух при нормальных условиях.
Между пластинами поддерживается разность температур ΔТ = 5,00 К.
Площадь каждой пластины 150 см2. Найдите количество теплоты, передаваемое от одной пластины к другой за τ = 0,500 ч. Эффективный диаметр молекулы воздуха 0,30 нм.
,
Решение
Количество теплоты, которое передается вследствие теплопроводности за время t через площадку S, перпендикулярную направле-
T
QSt
нию переноса энергии, можно определить так:
. Найдем
1
зависимость теплопроводности от температуры:
8RT
l
,
c
kT
2
dp
C
V
V
MM
,
2
iR
2 кг К
, удельная теплоемкость воздуха
T
58,31 Дж
3
22910
71
716,4
cl
V
3
.
, где
Подставляя эти выражения в формулу для λ, получим
x
2
18
pM kT RT
c
V
3
2
RT M
dp
2
kc TM
V
23
3
dR
,
где Т – значение температуры воздуха между пластинами (поскольку ΔТ
малó по сравнению с температурой воздуха, температуру воздуха
можно взять равной 273 К). С учетом
2
TT
QSt S
xh
23
2 1,38 10 716, 4 273 0, 029 5,0
Q
30,0910 3,14 8,31
18 3
kc TM
V
23
3
dR
0,002
получим
h
,
4
150 10 0, 5 3600 875 Дж
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Какова плотность разреженного кислорода, если средняя длина
свободного пробега его молекул 1,0 см?
2. Баллон емкостью 10 л содержит 1,0 г водорода. Определите:
а) среднюю длину свободного пробега молекул; б) отношение средней
длины свободного пробега к эффективному диаметру молекул.
3. Какое давление нужно создать в колбе диаметром 0,10 м, содер-
жащей азот при температуре 20
4. Кислород и углекислый газ находятся при одинаковой темпера-
туре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов соответственно равны 0,35 нм и 0,40 нм. Найдите для этих газов отношения:
а) коэффициентов диффузии; б) коэффициентов внутреннего трения.
5. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул азота при
условии, что его динамическая вязкость 17 мкПа с.
6. Найдите среднее число столкновений за единицу времени моле-
кул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега 5,0 мкм,
а средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с.
7. Вычислите диффузию D азота: 1) при нормальных условиях;
2) при давлении p = 100 Па и температуре Т = 300 К.
о
С, чтобы получить вакуум?
72
8. Найдите динамическую вязкость гелия при нормальных усло-
42
виях, если диффузия D при тех же условиях равна
9. Найдите теплопроводность воздуха при давлении 100 кПа и тем-
пературе 10
о
С. Диаметр молекул воздуха равен 0,30 нм.
1, 0 6 1 0 м /с.
10. Какое количество теплоты теряет помещение за 60 мин через окно
за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы 4
помещения 18
о
С, температура наружного воздуха равна –20 оС. Диа-
2
м , расстояние между ними 30 см, температура
метр молекул воздуха 0,30 нм. Температуру воздуха между рамами
считать равной среднему арифметическому температур помещения
и наружного воздуха. Давление равно 101 кПа.
73
6. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Функция состояния, дифференциалом которой является величина
Q
dS
тропия такая же функция состояния, как температура, внутренняя энергия или давление.
от процесса, а зависит только от начального и конечного состояний.
Важно лишь, чтобы эти состояния были равновесными.
энтропия в каждом из состояний, т. е. энтропия может быть определена
с точностью до const.
баты, то энтропия системы не меняется. Поэтому адиабаты – это одновременно и изоэнтропы. Каждой вышерасположенной адиабате отвечает большее значение энтропии.
сумме энтропий ее отдельных частей.
уменьшается – она либо возрастает
остается постоянной (в случае обратимых процессов), т. е.
Если система незамкнутая, то ее энтропия может как увеличиваться, так
и уменьшаться.
бой формулировку второго начала термодинамики: любой необратимый
,
называется энтропией. В отличие от количества теплоты, эн-
T
Приращение энтропии ΔS в случае обратимых процессов не зависит
Можно вычислять разность энтропий
, но нельзя сказать, чему равна
6.1. Свойства энтропии
Энтропия – функция состояния. Если процесс проводят вдоль адиа-
Энтропия – величина аддитивная: энтропия макросистемы равна
Энтропия замкнутой (т. е. теплоизолированной) макросистемы не
(если процессы необратимы), либо
0S
Принцип возрастания энтропии замкнутых систем представляет со-
.
74
процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при
A
M
этом возрастает.
Величина возрастания энтропии в замкнутой макросистеме может
служить мерой необратимости процессов, протекающих в системе.
Все самопроизвольно протекающие в природе процессы – от теплообмена до химических реакций – протекают так, что энтропия возрастает.
Энтропия системы связана с числом доступных состояний си
стемы Ω соотношением
,
lnSk
где k – постоянная Больцмана.
Абсолютная температура системы Т определяется из условия
1ln
kT E
,
где k – постоянная Больцмана, Ω – число доступных состояний системы
в малом интервале энергий от E до E + dE.
6.2. Вычисление энтропии
Перепишем первое начало термодинамики, воспользовавшись определением энтропии:
-
,QTdS
Приращение энтропии для обратимых процессов
22
SS S dS
21
11
Согласно первому началу термодинамики
,QdU A
im
dU RdT
где
M
2
mdV
RT
– работа, совершаемая газом.
– изменение внутренней энергии;
V
75
.TdS dU pdV
Q
.
T
pdV
Поэтому
R
M
M
M
im
dT pdV
.
T
S
2
M
2
1
Выразив из уравнения Менделеева ‒ Клайперона давление р и подставив в уравнение для ΔS, получим
TV
22
im dT m dV m i
SR RR
22
TV
11
TMVM TV
TV
22
ln ln
11
.
При изотермическом процессе (dT = 0)
V
m
SR
ln
2
.
V
1
При изохорном процессе (dV = 0)
0Q
T
2
.
ln
T
1
)
SR
При адиабатном процессе (
im
2
, S = const.
0S
Примеры решения задач
Задача 1. Найдите изменение ΔS энтропии при превращении массы
10 г льда (
л
20 Сt
) в пар (
100 Сt
п
).
Решение
Так как энтропия ‒ величина аддитивная, то изменение ΔS энтропии
равно сумме ее изменений в отдельных процессах:
SS S S S
1234
TT
00
Smc
где
1 л
TT T
TT
лл
вании льда от
кость льда);
mc dT T
Q
T
л
л 0
ln
до температуры плавления
76
– изменение энтропии при нагре-
л
,
(
– удельная теплоем-
T
c
0
л
22
M
SQ
2
11
1QQm
TT TT
00 00
– изменение энтропии при плавле-
нии льда (λ – удельная теплота плавления);
TT
пп
Q
Smc
3 в
TT T
TT
00
вании воды от
mc dT T
вп
до температуры парообразования
T
0
ln
– изменение энтропии при нагре-
0
теплоемкость воды);
22
SQ
4
11
1QQmr
TT TT
пп пп
– изменение энтропии при испаре-
нии воды (r – удельная теплота парообразования).
T
mmr
0
В результате получим
Smc mc
ln ln
лв
TT TT
л 00п
При
(
T
c
п
T
п
– удельная
в
.
ccr
лв
Дж кДж Дж кДж
2100 , 335 , 4190 , 2260
кг К кг кг К кг
получим
33
33
10 10 2100 ln 10 10 4190 ln
S
273 10 10 335 10 373
253 273 273
33
10 10 2260 10 Дж
87,5
.
373 К
Задача 2. Найдите приращение ΔS энтропии массы 10,0 г водорода:
а) при переходе от объема 20,0 л под давлением 1,50 Па к объему 60,0 л
под давлением 1,00 Па; б) при изохорном нагревании от
150 Сt
2
. Газ считать идеальным.
50,0 Сt
1
до
Решение
Используем полученное ранее выражение для изменения энтропии:
TV
22
im dT m dV m i
SR RR
22
TV
11
TMVM TV
77
TV
22
ln ln
11
;
а) при переходе идеального газа из состояния с объемом
M
М
нием
в состояние с объемом
p
1
и давлением
V
2
p
2
и давле-
V
1
соотношение
между температурами газа в этих состояниях можно получить, записав
уравнения Менделеева ‒ Клайперона для этих состояний и проведя не-
TpV
222
обходимые сокращения:
TpV
111
. Заменив в формуле для ΔS отноше-
ние температур правой частью полученного выражения, будем иметь
mi mi
SR R
MTVM pVV
mi i mi i
RR
MpVVMp V
pVV p V
ln ln ln ln ln ,
22 2 2
10 10 5 1 5 2 6 10
32
210 210
TV pVV
22 222
ln ln ln ln
22
11 11 1
222 2 2
111 1 1
mi i
SR
Mp V
32
8,31 ln ln 118 Дж/К;
21,5 2
pV
22
ln ln
22
11
2
2
б) при изохорном нагревании V = const, поэтому изменение энтро-
пии можно определить так:
10 10 5 423 Дж
S
210
mi
SR
3
8,31 ln 28,0
3
T
ln .
2
T
2 323 К
2
В этом случае
1
.
V
2
ln 0
V
1
,
Задача 3. В двух сосудах одинакового объема находятся различ-
ные идеальные газы, давление и температура их одинаковы. Масса газа
в первом сосуде
Сосуды соединили друг с другом, и начался
.m
1
процесс диффузии. Определите суммарное изменение энтропии ΔS
рассматриваемой системы, если молярная масса первого газа
.
1
Решение
Энтропия ‒ величина аддитивная, изменение ΔS энтропии при смешивании газов для обратимого процесса равно сумме двух слагаемых:
78
SS S
p
M
M
M
12
ширении от объема V до объема 2V;
, где ΔS1 – изменение энтропии первого газа при его рас-
– изменение энтропии второго
S
2
газа при его расширении от объема V до объема 2V.
В начальном состоянии для каждого из газов с учетом равенства
объемов, давлений и температур уравнение Менделеева ‒ Клапей-
mm
12
рона будет иметь вид
mm
12
. Поскольку температуры газов равны, можно для вычисле-
M
12
VRTpV RT
MM
,.
12
Отсюда видно, что
ния ΔS использовать выражения для изотермического процесса:
mm
SR S R
12
22
12
12
VV
ln , ln
.
VMV
Следовательно, изменение энтропии при смешивании газов с учетом
mm
12
равенства
M
12
mm m
SR R R
MVM VM
22
12 1
12 1
VV
ln ln 2 ln 2
.
Задача 4. Один моль идеального двухатомного газа совершает по-
литропный процесс. Показатель политропы n = 3. В результате процесса
температура газа увеличилась в два раза. Вычислите приращение энтропии газа ΔS. Молекулы считать жесткими.
Решение
2
Q
S
Приращение энтропии можно определить так:
теплоемкость
Q
m
, откуда
dT
C
m
QCdT
M
, где
M
m
1
T
. Молярная
– количе-
M
ство вещества.
79
Тогда приращение энтропии
M
R
R
2
SC
1
T
Qm
TTMT
T
m
CdT
2
M
1
ln
T
2
.
1
Перепишем первое начало термодинамики
mim
CdT R dT pdV
MM
2
. После сокращения получим
i pdV
CR
m
2
dT
.
QdU A
M
i
Учитывая, что
Продифференцируем уравнение политропы
CR
V
, будем иметь
2
V
pdV
mdT
.
CC
21
nn
(1) 0
nVTdVVdT
,
1
n
TV
const:
откуда
1
n
dV V V
dT n T
(1)
2
n
nVT
(1)
.
Тогда уравнение для молярной теплоемкости будет иметь вид
CC
V
pV
nT
(1)
.
m
M
в виде
Заменив отношение
отношением
/V Т
CC
V
80
/
mpM
.
n
(1)
, получим
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]