Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика и термодинамика. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
дело с идеальным газом, то его поведение можно описывать при по-
p
p
мощи уравнения Менделеева ‒ Клапейрона:
VRT
.
Так как процесс изобарный, то для двух состояний этого газа в процессе имеем
pV RT
11
,
pV RT
22
.
После почленного вычитания этих выражений получим
VRTA
.
Первое начало термодинамики можно переписать как
QA U RT RT
i
2
11 0,4
,
35
х xxx
22
.
Ответ. На работу идет 0,4 части количества теплоты, а на увеличе-
ние внутренней энергии 0,6 части подведенного тепла.
Задача 2. В закрытом сосуде с жесткими стенками находится газ под
давлением 200 кПа. Каким станет давление газа, если температуру повысить на 30 %?
Решение
Так как сосуд с жесткими стенками с газом закрытый, объем газа не
меняется. Изохорный процесс описывается законом Шарля:
pp
12
TT
12
.
По условию задачи температура газа повысилась на 30 %, поэтому
можно записать
21 1 1
0,3 1,3 .TT T T
Подставив это соотношение в закон Шарля, получим
pp
12
TT
11
,
1, 3
41
откуда
.
1, 3pp
21
Переведем единицы в систему СИ: начальное давление газа
200кПаp
1
Вычислим
.
:
p
2
1, 3 2 10 2, 6 1 0 Паp .
2
55
Ответ. Давление газа станет равным 260 кПа.
Задача 3. Найдите внутреннюю энергию кислорода массой 20 г при
температуре 10
о
С. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул, а какая часть ‒ на долю вращательного
движения?
Решение
Внутреннюю энергию идеального газа можно определить так:
mi im
UNkT RT
где
пост вр кол
2ii i i.
A
MM
22
Для двухатомной молекулы кислорода
3
32 10
8,31 283 3674,58Дж 3, 67кДж
3
im
URT
22
M
520 10
,
5, 3, 2ii i.
пост вр
.
Энергия поступательного движения молекул
3
ii
mm
WNkT RT
пост A
MM
пост пост
22 2
2204,75Дж 2, 2кДж.
20 10 3
3
32 10
8,31 283
Энергия вращательного движения молекул
3
ii
WNkT RT
mm
вр A
MM
вр вр
22 2
20 10 2
3
32 10
8,31 283
1469,83Дж 1, 4 7кДж.
42
Доля внутренней энергии, приходящаяся на энергию поступатель-
p
ного движения молекул:
i
m
пост
mi
M
RT
2
RT
3
0,6
.
5
2
Wi
пост пост
M
Ui
Доля внутренней энергии, приходящаяся на энергию вращательного
движения молекул:
i
m
вр
Wi
вр вр
Ui
M
mi
M
RT
2
RT
2
0, 4
.
5
2
Задача 4. Какая работа совершается при изотермическом расшире-
нии водорода массой 5,00 г, взятого при температуре 290 К, если объем
газа увеличивается в три раза.
Решение
При изотермическом процессе Т = const. Работу газа с учетом урав-
нения Менделеева ‒ Клайперона можно определить следующим образом:
VV V
22 2
A pdV dV
VV V
11 1
A
mRT mRT dV mRT mRT
MV M V M V M
3
5,00 10 8,31 290
3
210
ln3 6619Дж 6, 62кДж
V
2
ln ln 3;
1
.
Задача 5. Определите удельную теплоемкость
рода и азота, если количество вещества
2,00 моль, а количество вещества
второго равно 4,00 моль.
2
первого компонента равно
1
c смеси кисло-
Решение
В соответствии с определением удельная теплоемкость
.
Q
c
mdT
Масса смеси равна сумме масс газов:
43
mm m
12
. Тогда, с одной
стороны,
p
р
,
cc – удельные теплоемкости газов. Отсюда
12
Qcm m T а с другой,
p
(),
12
p
()( );
cm m T cm cm T
12 1122
ppp
cm c m
11 2 2
c
mm
12
12
;;
MM
12
pp
p
()
mm
12
111 2 22
QcmcmT, где
;
; mMm M
Удельные теплоемкости газов равны:
()
11 2 2
pp
.
QQ
cR
cR
2
1
p
mdT M dT M M
p
mdT M dT M M
222 22
111 11
QQ
C
1
p
C
2
p
После подстановки в выражение для определения
2
i
1
;
2
2
i
2
.
2
с и сокращения
получим
(2) ( 2)
iiR
c
(5 2)2 (5 2)4 8,31
2(4 28 10 2 32 10 )
112 2
p
2
MM
11 2 2
33
992
Дж
кг К
.
Задача 6. Двухатомный газ первоначально имеет объем 50,0 л, и его
давление равно
3,00 10 Паp . Газ нагревают изохорно до тех пор,
1
5
пока давление не удвоится. После этого газ изотермически расширяют
до первоначального давления, а затем изобарно охлаждают до первоначального объема. Определите в каждом процессе: а) работу, производимую газом; б) изменение его внутренней энергии; в) количество теплоты, получаемой (отдаваемой) газом.
44
Решение
Построим график процесса:
Газ проходит через три состояния со следующими макропарамет-
рами:
,, ,, ,, ,,.Р V ТРV ТРV ТРV Т
111 21 2 3 3 2 111
1. Из уравнения Менделеева ‒ Клапейрона с учетом начальных
условий найдем
m
.
где
:
Т
1
pV
11
TR
1
,
M
2. Учитывая, что переход
При изохорном нагревании работа
‒ изохорный процесс, найдем
12
p
2
TTT
211
p
1
2.
A
V
, поэтому
0
QU
VV
С учетом уравнения Менделеева ‒ Клапейрона получим
11
5
3,00 10 50,0 10 3,75 10 Дж.
534
следовательно,
const,Т
2
. Подставив в формулу полной работы
URTPV
3. Переход
0,
U
T
ii
V
222
осуществляется при
23
тогда
QA
TT
:
T
2
.
45
при изменении объема газа выражение для давления из уравнения
Менделеева ‒ Клапейрона и проинтегрировав по объему от
до
V
1
3
получим
V
3
RT
AVRT
T
2
V
dln.
VV
1
V
3
2
1
Применим уравнение Менделеева ‒ Клапейрона для состояний 1 и 3:
,V
pV
11
TT
33
12
,
2VV
31
и окончательное выраже-
с учетом
pp
31
и
21
получим
2TT
pV
ние для работы:
T
2
ART pV
T
2 3 10 5 10 0,693 2,08 10 Дж.
52 4
ln 2 ln 2
211
T
1
4. Для количества теплоты, отдаваемой газом при изобарном сжатии
, и работы, совершенной над газом, получим
31
2
i
QCTT U A pV
()
12 11
pVp
52 4
3 10 5 10 5,25 10 Дж;
7
2
2
4
Задача 7.
ApVV pV
() 1,5010Дж.
11 3 11
p
В четырехтактном двигателе дизеля атмосферный воздух
в объеме 10 л подвергается 12-кратному сжатию. Начальное давление
атмосферное, начальная температура
. Процесс сжатия адиабат-
10 C
ный, газ идеальный. Определите конечное давление, конечную температуру и работу, совершенную газом при сжатии.
46
Решение
р
Из уравнения адиабаты
ние
:
p
2
pp
21
Из уравнения адиабаты
TT
21
pV p V
12
12
V
1
V
2
TV TV
V
1
V
2
51,4 6
10 12 3,24 10 Па.
11
21
21
1
283 12 764, 6 К.
определим конечное давле-
определим
0,4
:
T
2
Допуская, что воздух состоит в основном из кислорода
можно считать его двухатомным газом с теплоемкостью
Подставив выражение для
в формулы работы газа при адиабат-
T
2
O
С R
V
и азота
2
(5 / 2)
N,
2
.
ном процессе и определив массу воздуха в двигателе из уравнения Менделеева ‒ Клапейрона , получим выражение для работы при адиабатном
сжатии:
1
5
ApV
5
A
52 0,4 3
10 10 (1 12 ) 4,25 10 Дж.
1
11
2
V
1
V
2
,
2
Ответ.
3, 24 10 Па; 764,6 К; 4, 25 10 Дж.PTA
22
63
Задача 8. При свободном расширении некоторой массы двухатом-
ного газа была получена линейная зависимость объема от температуры:
33
,VT
где постоянный коэффициент
. Определите
теплоемкость газа при постоянном давлении
510 м / К
С , изменение внутренней
энергии газа ΔU, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную
52
газу при его нагревании на ΔТ = 40 К при давлении
210 H/мp .
47
Решение
A
p
M
p
R
M
M
Процесс, рассматриваемый в задаче, изобарный: р = const. Искомые
величины можно определить, используя следующие выражения:
где
im
URT
M
2
m
– число молей;
,
m
QcT
M
cR
p
,
p
2
i
– молярная теплоемкость при
2
QU
,
m
Cc
M
постоянном давлении.
Число молей найдем, воспользовавшись уравнением Менделеева ‒
Клайперона:
TmRT
VRT
;
V
pMp
.
Сравнив последнее выражение с заданной зависимостью объема от
mR
температуры, получим
. Следовательно, число молей газа равно
p
mp
. Тогда
R
im i p i p
URT RT T
MR
22 2
mpp
Cc c i
pp p
MR
(2)
2
;
;
,
p
pp
QcT iT
p
R
35
5510 210
U
(2)
2
40 10 Дж
;
5
2
35
510 210 Дж
C
p
2 К
(5 2) 3500
48
;
;
35
p
p
R
510 210
Q
(5 2) 40 1, 4 10 Дж
5
;
2
55 5
1, 4 1 0 1 1 0 0, 4 1 0 ДжAQ U
.
Задача 9. Одноатомный газ сжимается политропически от объема
= 4 л до объема
V
1
= 100 кПа до
p
1
= 1 л. Его давление при этом увеличивается от
V
2
= 800 кПа. Определите показатель политропы, мо-
p
2
лярную теплоемкость газа при этом процессе.
Решение
Используя уравнение политропы, запишем
n
pV
21
pV
12
ln ln , , 1,5
,
Показатель политропы
pV p
21 1
nn n
pV
12
CC
n
CC
V
ln
ln
.
nn
VpV . Отсюда
11 2 2
p
2
ln 8
V
1
V
2
ln 4
.
Найдем молярную теплоемкость газа:
nC C
C
Vp
nn n
nC C R C n R
11 1
CR
V
()(1)
VV V
iR
nn
12 1
;
iR
CR RR R
n
212 моль К
3 Дж
20,54,16
.
49
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося
в сосуде объемом 2,00 л под давлением 150 кПа.
2. Каковы удельные теплоемкости
щей кислород массой
= 10 г и азот массой
m
1
3. Азот массой 2,0 г, при температуре
сжат так, что его объем уменьшился в 10 раз. Определите конечную температуру
газа и работу сжатия.
Т
2
4. Двухатомному газу сообщено количество теплоты Q = 2145 Дж.
Газ расширяется при р = const. Найдите работу А расширения газа.
5. Водород занимает объем
= 10,0
V
1
Газ нагрели при постоянном объеме до давления
лите: 1) изменение U внутренней энергии газа; 2) работу А, совершен-
ную газом; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.
6. При адиабатном сжатии кислорода массой m = 1 кг совершена ра-
бота А = 100 кДж. Определите конечную температуру
сжатия кислород находился при температуре
7. Какая часть количества теплоты, подводимой к идеальному газу
при изобарическом процессе, расходуется на увеличение внутренней
энергии газа и какая часть на работу, совершаемую газом при расширении, если газ: а) одноатомный, б) двухатомный в) многоатомный?
8. При изотермическом расширении водорода массой 1,0 г при тем-
пературе 70 ºС объем газа увеличился в три раза. Определите работу
расширения, изменение внутренней энергии и количество теплоты, полученной газом. Постройте график процесса в координатах pV.
9. Газ расширяется адиабатически, и при этом его объем увеличива-
ется в 2 раза, а абсолютная температура падает в 1,32 раза. Определите
число степеней свободы молекул этого газа.
10. В результате политропического сжатия азота объемом V = 20,0
3
от давления
м
= 100 кПа до давления
p
1
уменьшился в пять раз. Определите показатель политропы и работу сжатия азота.
и pс смеси газов, содержа-
с
V
= 20 г?
m
2
= 300 К был адиабатически
Т
1
3
при давлении
м
p
= 300 К.
Т
1
= 1,00 МПа его объем
p
2
= 300 кПа. Опреде-
2
= 100 кПа.
p
1
газа, если до
Т
2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]