Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика и термодинамика. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
система открытая. Доля воздуха, которую надо выпустить через выпуск-
М
ной клапан, есть
рийного срабатывания клапана,
, где
/mm
1
mm m
– масса воздуха после сброса давле-
m
2
,
21
m
– масса воздуха до ава-
1
ния. Конечным состоянием является состояние, при котором давление
газа равно начальному
pp
. Запишем уравнение Менделеева ‒ Кла-
21
пейрона для начального и конечного состояния системы:
Поскольку
/, /.pV m RT
111 2 22
,pp
21
// .mRT M mRT M mT mT
11 2 2 11 22
pV mRT М
Тогда
( / 1) / ( / 1) 0,17.mmTT mm TT
11 2 1 1 2
Знак минус указывает на то, что масса воздуха уменьшилась.
Задачи для самостоятельного решения
1. Температура идеального газа увеличилась в два раза, при этом
средняя квадратичная скорость молекул газа увеличилась на
400 м/с
. Как изменилась плотность газа, если давление газа равно
100 кПаp
и поддерживается неизменным?
2. В сосуде вместимостью V = 2 л находится кислород, количество
вещества
которого равно 0,2 моль. Определить плотность газа.
3. Концентрации молекул кислорода и гелия равны, также равны их
средние квадратичные скорости. Найдите отношение давлений этих газов
нием
стало
сой
смеси, если температура
/pp .
OHe
2
4. В закрытом сосуде находится газ массой
1, 5 МПаp
0,50 МПаp
5. В закрытом сосуде емкостью
10,0гm
1
. Сколько газа выпустили из сосуда, если давление
. Считать, что температура газа не изменилась.
и гелий массой
350 КT
20,0 лV
2,00 гm
2
.
находится кислород мас-
. Найти давление газовой
2,0 кгm
1
кв
под давле-
21
6. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при тем-
M
M
M
пературе
27,0 Ct
составляет
500 м/с
кв
. Какое количество моле-
кул этого газа содержится в 20,0 г этого газа? Какое давление газ оказывает на стенки сосуда при данной температуре?
7. Сосуд, содержащий одноатомный идеальный газ, движется со
скоростью
. На сколько увеличится средняя квадратичная скорость
0
молекул газа при остановке сосуда? Теплоемкость, теплопроводность
и масса стенок сосуда пренебрежительно малы.
8. В баллоне находится смесь газов в количествах
с молярными массами
,
, …,
1
2
при температуре Т. Какова мо-
n
,
m
, …,
m
1
2
m
n
лярная масса смеси?
9. Смесь азота и гелия при температуре 27 ºС находится под давле-
2
1, 3 10 Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси.
нием
Найти концентрацию каждого газа в смеси.
10. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в бал-
лоне под давлением p = 1 МПа. Определить парциальные давления
кислорода и
азота, если массовая доля
p
2
кислорода в смеси
1
p
равна 0,2.
1
22
R
M
f
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1. Распределение молекул идеального газа
по скоростям
Если газ в целом неподвижен, его молекулы движутся хаотически.
В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными,
т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории (МКТ
менялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная
скорость молекул массой
в газе, находящемся в состоянии равнове-
m
0
сия при Т = const, остается постоянной и равной:
333
кв
TRTkT
mN m
00
A
), как бы ни из-
;
Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне
определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(
), называе-
мой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные d
интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул
имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция
23
, то на каждый
),(dN
)(
определяет относительное число молекул
f
f
лежат в интервале от
до + d, т. е.
()
dN
f
Nd
()
() ()dN N f d
.
, скорости которых
()dN N
, откуда
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функ-
)(
цию
– закон распределения молекул идеального газа по скоро-
стям:
3/2
mm
f
() 4 exp ;
00
kT kT
22
2
2
Видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы
молекулы) и от температуры.
)(
Функция
удовлетворяет условию нормировки:
() 1fd
0
.
Скорость, при которой функция распределения молекул идеального
газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоро-
стью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти из условия
0:()ddf
22kT RT
в
mM
0
.
Из формулы следует, что при повышении температуры максимум
функции распределения молекул по скоростям сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако пло-
щадь, ограниченная кривой, остается неизменной (равной единице), поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по
скоростям будет растягиваться и понижаться. Влияние массы
молекулы m будет обратным. Влияние температуры и массы молекулы на
вид функции распределения показано на рис. 1.
24
Рис. 1. Функция распределения молекул идеального газа
f
по скоростям (m
< m2 < m1; T1 < T2 < T3).
3
Средняя арифметическая скорость молекул определяется по фор-
муле
Подставляя сюда
1
N
()f
и интегрируя, получим
() ()dN f d
00
88kT RT
mM
0
.
.
Если
– относительная скорость молекул, то закон распре-
/u
в
деления молекул по относительным скоростям
() 4
где dN
dN u
uuu
() exp( ),
Ndu
(u) – число молекул, имеющих скорость, заключенную в интер-
22
вале относительных скоростей du.
25
2.2. Распределение молекул идеального газа
f
E
MghR
p
A
M
A
по кинетическим энергиям
Обозначим эту функцию через Ф (Е), где Е =
новой переменной должно выполняться равенство
Здесь энергии Е соответствует скорость
Ф() ()
Ef
d
, а интервалу dE – интервал .d
.
2
2m . При переходе к
0
Ф())(
dЕ dE
dE
В результате несложных преобразований получим
E
Ф() ( )
2
kT E e
3/2 1/2
kT
.
2.3. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана
Молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения
Земли. Тяготение и тепловое движение молекул приводят к некоторому
стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой
убывает:
ppe
,
T
0
.
где
– давление на высоте h = 0 (на уровне моря); р – давление на
p
0
высоте h.
,
nkT
Помня, что
mN
nne ne
,
00
где n – концентрация молекул газа на высоте h;
лекул газа на высоте h = 0;
П mgh
,
RkN
0
mgh
0
kT kT
– потенциальная энергия моле-
0
получим
П
n
0
– концентрация мо-
кулы газа в поле силы тяжести.
26
Рис. 2. Зависимость концентрации молекул
идеального газа от высоты (T
> T
2
)
1
При более высокой температуре
концентрация молекул умень-
Т
2
шается с высотой по экспоненциальному закону медленнее, чем при
температуре
С повышением температуры
.T
1
Т T
21
из-за увеличения
энергии теплового хаотического движения молекулы более равномерно
распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на высоте h = 0 уменьшается (рис. 2).
Примеры решения задач
Задача 1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа
при температуре
молекул этого газа содержится в
Решение
По определению число молекул равно
– количество вещества. Найдем молярную массу газа M из связи
где
средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа
с температурой:
300 КT
составляет
NN N
3
EkT
k
22
515 м/сu
кв
10,0 гm
этого газа?
m
mu
0 кв
,
2
.
AA
M
. Какое количество
27
Умножая это выражение на число Авогадро
M
f
, получим
mN
0A
3kN T
A
2
кв
23
Тогда
Mu
22
mu N mu
N
кв A кв
33
kN T kT
A
2,14 10 молекул
.
.
и учитывая, что
N
A
Задача 2. Определите, какая доля молекул кислорода при темпера-
туре 400
К обладает скоростями, модули которых лежат в интервале от
910 до 911 м/с.
Решение
Интервал скоростей
21
911 910 1 м/с
мал по сравне-
нию с самими скоростями. Поэтому в законе распределения молекул
идеального газа по скоростям дифференциалы можно заменить на при-
ращения без уменьшения точности
f
()
N
.
()
N
Закон распределения молекул по относительным скоростям можно
записать в виде
uuu
() exp( )
Nu
22
. Относительные скоро-
() 4
Nu
сти, соответствующие указанным скоростям, и интервал относительных
скоростей равны:
u
1
1
;
в
u
2
2
;
в
uu u
21
.
в
Наиболее вероятная скорость
2228,31400
u
1
kT RT
в
mM
0
911
1
455,8
в
1, 99
32,0 10
;
28
911 910
u
3
455,8
455,8 м/с;
0,0022;
N
f
f
uu u u u
() exp( ) ;
N
4
NN
22
1,99 exp ( 1,99 )0,0022 0, 00036 0,036 %.
4
22
Задача 3.
Определите относительное число молекул идеального
газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до 0,01
Решение
Относительная скорость, соответствующая скорости
0,01
в
в
в
рых заключены в пределах от нуля до
. Тогда относительное число молекул, скорости кото-
0,01u
можно найти следующим об-
,u
в
0,01 ,
разом:
uu u
Так как
вв в
N
() exp( ) exp( )
udu u udu u udu
N
00 0
2
<< 1, то
u
0,01 0,01
N
N
00
0,01 0,01
4 4 10 10
00
44
22 22
exp ( ) 1uu. Следовательно,
44
22
22 22
exp ( ) (1 )
uudu uudu
610
24
udu udu
64
0,75 10 0,75 10 %.
35
.
u
в
равна
в
.
Задача 4. Используя функцию распределения молекул идеального
газа по энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию молекул <E> и наиболее вероятное значение энергии молекул
E
.
в
Решение
Функция распределения молекул идеального газа по кинетическим
энергиям
29
E
E
E
MghR
M
Ф() ( )
2
kT E e
3/2 1/2
kT
.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
E
Ф() ( )
E E dE kT E e dE kT
00
23
3/2 3/2
kT
2
.
Наиболее вероятное значение энергии молекул
Ф()
вия
dE
0
. Следовательно,
найдем из усло-
Е
в
dE
211
kT E e E e
() 0;
211
1/2 1/2
EEEE
3/2 1/2 1/2
3/2 1/2 1/2
() 0;
kT e E E
11
kT
kT kT
kT
E
kT
kT
0; ; .
kT kT
222
2
2
в
EE
Задача 5. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное
давление вдвое меньше, чем на поверхности? Температуру воздуха считать неизменной и равной 0,00 ºС.
Решение
В соответствии с барометрической формулой
T
,
откуда
Mgh
/2
p р e.
0
RT
ppe
0
Логарифмируя обе части уравнения, получим
p
0
ln ln 2
gh
pRT
ln 2 8,31 273ln 2
RT
;
h
Mg
30
29 10 9,8
3
5,53 10 м.
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]