Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика и термодинамика. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
Задача 6. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из
p
изобарного, адиабатического и изотермического процессов. При изобарном процессе рабочее тело (идеальный газ) нагревается от
до
= 500 К. Определите КПД данного теплового двигателя и двига-
Т
2
= 200 К
Т
1
теля, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.
Решение
Изобразим указанный в задаче цикл в координатах pV.
Количество теплоты, получаемое двигателем за один цикл,
Количество теплоты, отдаваемое двигателем за один цикл,
QQ
Тогда КПД цикла
QQ
12
QQ
112
12 31
. Так как процесс
QQ
112
QQ
231
изо-
12
барный, то
QA U pVV RTT
12 12 12 2 1 2 1
() ()
im
M
2
,
.
.
где
11 2 2
,, ,VTVT
– объем и температура в первом и втором состояниях
рабочего тела соответственно. Используя уравнение Менделеева ‒
Клайперона, получим
QRTTRTT
12 21 21
mimi
RT T RT T
MM
() ()
VV RTT
21 21
mim
() ()
MM
()1 ()
21 21
m
. Тогда
M
2
2
22
61
.
Процесс
M
M
изотермический, поэтому
31
QA RT
31 31 1
m
ln
V
3
V
1
Поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, для них можно за-
1
V
;
T
TV
3
2
32
писать уравнение адиабаты:
VT
С учетом
и
TT
31
V
T
2
TV
12
22
VT
11
(состояния газа 1 и 2 лежат на одной изобаре)
(состояния газа 1 и 3 лежат на одной изотерме) получим
1
3
, где
22
i
1
ii
T
2
VV
21
;
T
1
V
TT T
3
22 2
VTT T
111 1
11
23
23
,TV TV
отсюда
– показатель адиабаты. Тогда
1
VV
33
VT
21
V
1
11
T
2
1
T
1
1
T
2
;
.
.
mm mi
QRT RT RT
31 1 1 1
V
3
ln ln ln
VM TM T
111
TT
22
12
КПД цикла
mimi
() ln
RT T RT
QQ
12 31
Q
12
TTT T
211 1
21 1
MMT
ln ln
TT TT
21 21
22
22
mi
()
RT T
21
M
TT
22
TT
11
1,
62
2
2
2
.
T
2
1
КПД цикла Карно
T
2
ln
T
1
T
11 0,39
1
TT
21
500 200
K
500
500
200ln
200
500 200
0,6
.
.
Задачи для самостоятельного решения
1. В осях рТ изображен циклический процесс для идеального газа.
Изобразите этот процесс в осях рV.
2. Какую работу совершают два моля идеального одноатомного газа в
цикле
12341
400 КТ
0
? Определите КПД такого цикла.
, изображенном на рисунке, если
100 кПа,p
0
3. Работающая по обратному циклу Карно холодильная машина, пе-
редавая тепло от холодильника кипятильнику, превратила в кипятильнике в пар
1
находилась вода при температуре соответственно
воды. Вначале в кипятильнике и холодильнике
1, 0 кгт
100 Сt
1
63
и
0 Сt
2
. Какая масса
p
ная теплота плавления льда
воды заморозилась при этом в морозильнике? Удель-
т
2
335кДж/кг
, удельная теплота парооб-
разования воды r = 2,26 МДж/кг.
4. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу
Карно, совершает за один цикл работу 20 кДж. Машина получает количество теплоты от тела с температурой
теплоты телу с температурой
фициент
, количество теплоты, отведенное от охлаждаемого тела за
= 295 К. Найдите холодильный коэф-
Т
1
= 260 К и отдает количество
Т
2
цикл, и количество теплоты, переданное горячему телу за цикл.
5. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры
, изобары
23
объем связаны соотношением
и процесса
31
, при котором давление газа и
12
V
, где – постоянная величина.
Найдите КПД тепловой машины, если в качестве рабочего тела в ней
используется одноатомный идеальный газ. Отношение максимальной
температуры в цикле к минимальной равно 4.
6. Идеальный тепловой двигатель работает по циклу Карно. При
этом за цикл двигатель совершает работу 1200 Дж, а 82 % получаемого
от нагревателя количества теплоты отдает холодильнику. Найдите КПД
двигателя и количество теплоты, получаемой двигателем за один цикл
от нагревателя.
7. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
1 моль и находящийся под давлением 0,1 МПа при температуре 300 К,
нагревают при постоянном объеме до давления 0,2 МПа. После этого
газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема. Постройте график цикла. Определите температуру Т газа для характерных точек
64
цикла и его КПД.
8. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
2 моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
Наименьший объем 10 л, наибольший 20 л, наименьшее давление
246 кПа, наибольшее 410 кПа. Определите температуру Т газа для характерных точек цикла и его КПД.
9. Идеальный одноатомный газ, занимающий объем
, под-
2 лV
1
вергали адиабатному расширению, в результате которого его объем
возрос в 5 раз. После этого газ подвергли изобарному сжатию до первоначального объема, а затем он в результате изохорного нагревания
был возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла
и определите термический КПД цикла.
10. Найдите работу, которую совершают
стоящем из адиабатического расширения
хоры
нимальной температур газа равна
. В адиабатическом процессе разность максимальной и ми-
31
T
молей гелия в цикле, со-
12
, изобары
23
и изо-
. В изобарическом процессе от
газа отвели количество тепла Q (Q >0).
11. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно, КПД
цикла 25 %. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины стал равен 75 %, если температуру холодильника при этом уменьшить в 1,5 раза?
65
5. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Под явлениями переноса понимают явления переноса количества
движения (импульса), энергии и массы вещества из одного слоя вещества в другой слой. Явления переноса наблюдаются лишь в том случае,
если система находится в неравновесном состоянии.
К явлениям переноса относятся теплопроводность, внутреннее трение (вязкость) и диффузия. Теплопроводность обусловлена переносом
энергии, внутреннее трение
зия – переносом массы вещества.
Все явления переноса имеют общую физическую природу, обусловлены молекулярным движением и, следовательно, описываются уравнениями одинакового вида.
Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:
jdx
E
dT
, где
j
E
чество теплоты, которое передается вследствие теплопроводности за
время dt через площадку
носа энергии; λ – теплопроводность (коэффициент теплопроводности);
dT
– градиент температуры.
dx
Теплопроводность равна
кость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа;
обусловлено переносом импульса, диффу-
Q
dS dt
– плотность теплового потока; Q – коли-
, перпендикулярную направлению пере-
dS
1
cl
V
3
, где cV – удельная теплоем-
N
nV
NmN
AA
– средняя скорость теплового движения молекул;
VMV
l – средняя длина свободного пробега.
66
Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) пло-
x
щадью dS, движущимися с различными скоростями:
η – коэффициент внутреннего трения (вязкость);
dF dS
– градиент скоро-
, где
x
сти.
d
Плотность потока импульса
j
p
– величина, определяемая
dx
полным импульсом, переносимым за единицу времени в положительном направлении оси х через площадку единичного размера, перпенди-
кулярную оси х,
Коэффициент внутреннего трения (вязкость)
dp
dS dt
.
1
l
.
j
p
3
В однородном газе перенос вещества при диффузии подчиняется за-
d
кону Фика
jD
m
– плотность потока массы, величина, определя-
dx
емая массой вещества, диффундирующего за единицу времени через
площадку единичного размера, перпендикулярную оси х:
ddx
– градиент плотности;
1
Dl
– диффузия (коэффициент диф-
dm
j
m
dS dt
3
фузии).
c
V
, , D
.
1
связаны между собой простыми зависимостями:
2
dn
1
2
l
Величины
D
,
Средняя длина свободного пробега молекул
где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.
Среднее число столкновений одной молекулы за единицу времени
z
, где
– средняя скорость молекулы.
l
;
,
67
Примеры решения задач
M
p
p
M
23
Задача 1. В баллоне вместимостью
10 м
сой 2,0 г. Определите среднюю длину свободного пробега молекул гелия.
Решение
Средняя длина свободного пробега молекул газа
Найдем концентрацию молекул гелия:
число молекул газа;
– число Авогадро; V – объем;
N
A
n
находится гелий мас-
l
dn
NmN
N
AA
, где N –
VV MV
m
– количе-
1
2
2
.
ство вещества. Тогда
l
метр молекулы гелия равным
l
32392
2 10 6,022 10 (0, 2 10 ) 3,14 2
MV
mN d
A
2
0, 2 нмd
32
410 10
. Принимая эффективный диа-
2
, получим
6
0, 2 10 м
.
Задача 2. Определите среднюю квадратичную скорость молекул ар-
гона, находящегося под давлением 0,10 МПа, если известно, что средняя
длина свободного пробега его молекул равна 0,10 мкм.
Решение
Средняя длина свободного пробега молекул газа
Используя основное уравнение термодинамики
центрацию молекул аргона:
Тогда
l
2
dp
kT
, отсюда
2
ную скорость найдем как
nkT
кв
T
.
2
2ld p
k
3RT
. Подставив в это уравнение по-
l
nkT
, найдем кон-
. Среднюю квадратич-
2
dn
1
2
лученное выражение для Т, имеем
.
68
.
p
p
M
p
R
R
323 2Rldp Nldp
кв
22
A
Mk M
Принимая эффективный диаметр молекулы аргона равным
0,35 нмd
, получим
32Nldp
кв
3 6, 022 10 0,1 10 (0, 35 10 ) 3,14 0,1 10 2
23 6 9 2 6
40 10
3
2
A
M
3
0,47 10 м/с.
Задача 3. Динамическая вязкость аргона при нормальных условиях
равна 22 мкПа ꞏ с. Вычислите длину свободного пробега молекулы аргона и коэффициент диффузии аргона при нормальных условиях.
Решение
Динамическая вязкость η и коэффициент диффузии D связаны
между собой следующим образом:
фузии
. Для нахождения плотности газа воспользуемся уравне-
D
D
. Отсюда коэффициент диф-
нием Менделеева ‒ Клайперона
. Перепишем его в виде
m
VRT
M
VRT
. С учетом того, что плотность газа
mM
отсюда плотность газа будет равна:
M
.
m
, получим
V
pRT
,
T
В результате подстановки коэффициент диффузии D определится
следующим образом:
D
pM
T
.
Длину свободного пробега молекулы аргона найдем из формулы
1
l
,
3
3l
.
69
С учетом найденного для ρ выражения и формулы для средней ско-
M
R
p
p
p
рости
8RT
получим
33 33
l
pM RT M
RT M RT
p
T
.
8
M
В результате:
D
pM
3 3 22 10 3,14 8,31 273
l
8
pM
101 10 40 10
RT
33
6
101 10 8 40 10
33
12 10 м / с;
62
97 10 м.
9
6
22 10 8,31 273
RT
Задача 4. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда h = 8 мм.
При каком давлении р теплопроводность воздуха, находящегося между
стенками сосуда, начнет уменьшаться при откачке? Найдите теплопроводность воздуха, заключенного между стенками сосуда при этом давлении. Температура воздуха 17 оС. Диаметр молекул воздуха 0,3 нм.
Решение
Теплопроводность начинает зависеть от давления, когда средняя
длина свободного пробега молекул будет равна расстоянию между стен-
ками сосуда lh .
Средняя длина свободного пробега молекул газа
Используя основное уравнение МКТ
лекул газа:
nkT
. Тогда
l
2
dp
kT
nkT
, найдем концентрацию мо-
,
откуда давление
2
l
p
2
dn
ld
kT
1
2
2
2
.
,
23
p
1,38 10 290
318
810 0,0910 3,14 2
70
1, 2 5 Па.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]