Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление качеством в лаборатории. Учебное пособие.pdf
Пример получения результата косвенных измерений для случая
Δ
±
Δ
±
Δ
±
±=Δ
±
Δ
с одним аргументом
y = f (x),
где у – результат косвенного измерения (функция); х – результат
прямого измерения (аргумент).
Предполагается, что погрешность измерения аргумента х известна
и составляет величину
Погрешность измерения функции у обозначить через
найти ее значение по известным значениям величин у, х и
С учетом погрешностей
.
x
и
Δ±
y
.
x
и
x
выражение у принимает вид
Δ±
y
.)(xxfyy Δ
Разложить правую часть равенства в ряд Тейлора и, пренебрегая
членами разложения, содержащими
в степени выше первой,
x
получить
xdf
)(
xy
dx
)(dxxdf
,
где
– абсолютная погрешность результата косвенного измерения
Δ
y
величины у;
xfy
)( Δ+=Δ± ;
Δ±=Δ
xy
Δ – абсолютная погрешность результата прямого изме-
x
рения величины х.
Относительная погрешность косвенного измерения
определя-
δ
y
ется по выражению
или
Δ
±=δ
y
Δ
y
±=δ ,
y
Δ
xdf
y
±=
Δ
%100
±=
)(
x
yy
x
yy
dx
dx
,
)(
xdf
%100
Рассмотрение результата косвенных измерений для случая
с несколькими аргументами, т.е.
у = f (x, z, ..., t),
где x, z, ..., t – результаты прямых измерений (аргументы); у – резуль-
тат косвенного измерения (функция).
61
Значение суммарной абсолютной погрешности косвенного изме-
ΔΔΔ
Δ
δ
[
[
[
[
[
[
[
[
δ
±
рения
в этом случае может быть найдено по выражению
Δ
y
2
∂
f
⎛
⎞
±=Δ
⎜
⎟
∂
x
⎝
⎠
2
∂
f
⎛
⎞
2
+Δ
⎜
⎝
2
⎟
∂
z
⎠
⎛
++Δ
⎜
⎝
2
∂
f
⎞
2
Δ
....
⎟
tzxy
∂
t
⎠
Значение суммарной относительной погрешности косвенного
измерения
Значения
для рассматриваемого случая находится по выражению
δ
y
2
2
Δ
∂
f
⎛
⎛
±=δ
⎜
y
∂
⎝
⎞
⎞
x
⎜
⎟
⎟
yx
⎠
⎝
⎠
...,,, – суммарные абсолютные погрешности
tzx
2
2
Δ
f
∂
⎛
⎛
+
⎜
∂
⎝
⎞
⎞
z
⎜
⎟
⎟
yz
⎠
⎝
⎠
2
Δ
f
∂
⎛
⎛
++
⎜
∂
⎝
⎞
⎞
t
⎜
⎟
⎟
yt
⎠
⎝
⎠
2
....
результатов прямых измерений величин х, z, …, t.
и
Соотношения
y
правомерны при условии, что рассматри-
y
ваемые погрешности независимы (отсутствует связь между ними) и
являются случайными величинами.
Для расчета погрешностей косвенных измерений могут использо-
ваться выражения, представленные в табл. 2.1.
2.1. Выражения для расчета погрешностей косвенных измерений
22
Δ+Δ±
zx
22
Δ+Δ±
zx
zx Δ+Δ±
zx
2
z
−1
n
1
−1
n
xnΔ±
Погрешности
21
]
21
]
21
2222
]
xz
21
2222
]
Δ+Δ
xz
x
x
21
22
]
Δ+Δ
±
±
n
1
n
zxzx+
21
22
]
Δ+Δ
zxzx−
21
22
]
δ+δ±
zx
21
22
]
δ+δ±
zx
x
δ±
x
Функция (y)
x + z
x –z
xz
x/z
n
x
n
x
абсолютная (Δy) относительная (δy)
±
nx Δ±
1
62
Δ
±
Δ
±
Δ
±
Δ
±
Функция (y)
sin
x
Продолжение табл. 2.1
Погрешности
абсолютная (Δy) относительная (δy)
x
cos
x
x
ctg
x
tg
x
cos x
ctg x
arctg x
Δ
x
±
±
±
2
)(cos x
xxsin
x
Δ
x
2
)(sin x
Δ
±
)1(2xx+
Δ
±
x
2
)2(sin2x
tg
x
2Δ
±
xx2sin
Δ
xxxarctg)1(2+
2.2.8. ОКРУГЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Результаты измерений и погрешности следует округлять по сложившимся правилам. Основные положения правил заключаются в следующем:
1. Округление проводится только один раз при получении окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно
представлять тем числом разрядов, которые удается получить.
2. Округление начинается с округления погрешности результата
измерения.
3. Погрешность результата измерения округляется до двух значащих цифр, если пр
и движении слева направо первая значащая цифра
округляемой погрешности меньше 3.
Погрешность результата измерения округляется до одной значащей цифры, если при движении слева направо первая значащая цифра
округляемой погрешности больше 3 или равна 3.
4. Результат измерения округляется так, чтобы он оканчивался
цифрой того же разряда, что и значение по
значение результата измерения представляется десятичной дробью,
оканчивающейся нулями, то нули отбрасываются только до того
разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.
грешности. Если числовое
63
5. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5,
=
то остающиеся цифры в числе не изменяют. Если эта цифра больше 5,
то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Лишние
цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях
отбрасывают. Например, результат измерения U = 25,4587 мВ при
погрешности результата Δ = ±
с погрешности. После округления погрешность Δ = ±
0,0213 мВ. Округление начинается
0,021 мВ и
результат измерения U = 25,459 мВ. Результат измерения с учетом
погрешности запишется в виде U′ = (25,459 ± 0,021) мВ. Если погрешность (при том же результате измерения) Δ = ±
округления Δ = ±
6 мВ, U = 25 мВ и результат измерения с учетом по-
6,25 мВ, то после
грешности U′ = (25 ± 6) мВ.
6. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней циф-
ры отсутствуют или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа
не изменяют.
Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры
отличны от нуля, то последнюю сохраняемую цифру числа увеличивают на единицу.
Примеры округления:
а) результат измерения А = 625,47; погрешность ΔА = ±7,24.
После округления: ΔА = ±7; А = 625 и результат измерения с учетом
погрешности А′ = (625 ± 7);
б) результат измерения В = 1055,53; погрешность ΔВ = ±
После округления: ΔВ = ±
5; В = 1056 и результат измерения с учетом
5,29.
погрешности В′ = (1056 ± 5);
в) результат измерения С = 72,85; погрешность ΔС = ±
После округления: ΔС = ±
0,3; С = ±U′ = 72,8 и результат измерения
0,35.
с учетом погрешности C = (72,8 ± 0,3). Остающиеся цифры в числе
не изменяют.
2.2.9. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Обработка результатов измерения производится в следующей по-
следовательности:
1. Проводится многократное измерение, полученные результаты документируются. Получаемые значения физической величины
отображаются в виде
)....,,,(
xxxX
21 N
64
2. Исключается систематическая ошибка путем введения поправки
Δ−=
′′′
−′=
α
σ≤α
σ
σ±σ±σ
±
σ
σ
σ
σ
,cxC
при этом получается исправленный ряд наблюдений
....,,,
xxx
х
=
21 N
N
1
x
N
i
1∑=
′
.
i
3. Вычисляется среднее арифметическое значение X
4. Вычисляется отклонение результата i-го измерения от среднего
арифметического значения
.хx
ii
5. Вычисляется среднее квадратическое отклонение (СКО)
результата измерения
N
1
=σ
N
−
2
.
α
ix
∑
1
i
1
=
6. Оценивается нормальность результата (промах) наблюдений.
Для этого выбираются наибольшие отклонения и сравниваются с СКО
3
.
max
хi
Если это неравенство не выполняется, то результат измерений
не засчитывается.
7. Если погрешность измерения подчиняются закону Гаусса,
то вероятность появления погрешности в пределах кратного стандартного отклонения
Р(
(доверительный интервал
x
) = 0,68; Р(
x
Записываем результат вычислений xхx
) = 0,95; Р(
x
) = 0,999.
x
= ± .
x
3,2, )
xxx
8. Если погрешность измерения подчиняются закону Стьюдента,
то СКО отклонения результата измерения
N
=σ
1
∑
)1(
NN
−
1
=
i
2
′
.)(
−
хx
iS
65
9. Вычисляется доверительный интервал ε, задаваясь довери-
σ=ε
ε±=
тельной вероятностью (например Р = 0,95). По ее значению и количеству измерений N предварительно по таблице определяется коэффи-
циент Стьюдента – t
.
S
Значения коэффициента Стьюдента определяются в зависимости
от принятой доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n, по таблице. Например, для N = 4 и Р = 0,95 t
при Р = 0,95 t
= 2,776; для N = 10 tS = 2,262; n = 15 tS = 2,145
S
= 3,182; N = 5
S
при той же Р = 0,95.
t
.
Результат вычислений записывается следующим образом:
xx Р = 0,95.
SS
,
2.2.10. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И УСТРАНЕНИЯ ГРУБЫХ И СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Обнаружение и устранения грубых погрешностей (промахов).
Выявление промахов необходимо провести до определения погрешностей измерений. Эта операция особенно целесообразна в том случае,
если среди ряда измерений встречаются отдельные значения, резко
отличные от других.
Промахи возникают, как правило, из-за неверных действий оператора, но могут также явиться результатом неисправности используемых средств измерений. Во всех случаях промахи не являются
теристикой измерений, и для предотвращения появления значи-
харак
тельных искажений результатов их отбрасывают.
Для объективного решения вопроса о том, является ли промахом
какой-либо результат измерения, применяются специальные методы.
Наибольшее распространение получили два из них: метод (критерий)
3σ и табличный метод (критерий Смирнова–Греббса).
В основу метода 3σ («тр
и сигма») положено допущение, что
результаты однократных измерений x могут отклоняться от их среднего арифметического значения
либо результат однократного измерения
на 3σ, то
x – промах.
п
x не более чем на 3σ. Если же какой-
x отклоняется от х более чем
п
Метод 3σ универсален и может быть использован при любом
законе распределения рассматриваемых величин. Если закон распределения рассматриваемых величин неизвестен, то метод 3σ формально
применим, но при этом остается неизвестной доверительная вероятность, с которой выявляются промахи.
66
Для обнаружения промахов по методу 3σ необходимо выполнить
−
=
Δ
−=Δ
Δ
<
следующие операции:
1) подсчитать среднее арифметическое значение ряда измере-
x ;
ний
2) подсчитать среднее квадратическое отклонение σ;
3) найти по абсолютной величине разность А между предпола-
гаемым промахом
x и средним арифметическим значением ряда
п
измерений
;пxxA
4) провести сравнение полученной величины А с 3σ;
5) если выполняется условие А < 3σ, то величина
x не является
п
промахом;
6) если условие А < 3σ не выполняется, то
x – промах и его
п
следует отбросить.
Обнаружение и устранения систематических погрешностей.
Систематические погрешности средств измерений являются составляющими погрешности, которые в данном ряду измерений остаются
постоянными или закономерно изменяются.
Следует отметить, что систематические погрешности (как и случайные) в различных точках шкалы одного и того же прибора или
измерительного устройства могут быть различны. Поэтому после проведения исследований можно с уверенностью говорить о величи
не
погрешностей лишь в выбранных точках шкалы прибора. Что касается
интервалов между точками, то здесь обычно исходят из предположения, что от точки к точке погрешности прибора изменяются плавно
(без скачков).
Оценка систематической погрешности проводится в следующей
последовательности:
в каждой из выбранных точек шкалы прибора определяется
−
среднее арифметическое значение
систематическая погрешность средства измерений
−
x ;
опре-
с
деляется в каждой из выбранных точек шкалы как разность между
средним арифметическим
x в этой точке
чины
0
Систематическая погрешность
ной (при
xx > ), так и отрицательной (при 0xx
0
x и истинным значением измеряемой вели-
.0сxx
может быть как положитель-
с
).
67
Истинное значение измеряемой величины ,
δ
γ
Δ
=
Δ
σ
вестно, и вместо
x используется действительное значение измеряе-
0
x как правило, неиз-
0
мой величины, за которое принимают показания образцовых средств
измерений.
Систематическая погрешность, подсчитанная по формуле
,0сxx −=Δ является абсолютной и имеет ту же размерность, что и
измеряемая величина.
Кроме абсолютных значений, подсчитываются относительная
и приведенная
где
x – нормирующее значение (в большинстве случаев
N
x – верхний предел шкалы прибора.
K
систематические погрешности:
с
с
=δ
с
x
0
Δ
,
%100
с
=γ
с
x
N
,
%100
с
xx
);
KN
Относительная и приведенная погрешности выражаются обычно
в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.
На рисунке 2.1 изображена числовая ось, на которой отложено
истинное значение измеряемой величины
x и нанесены результаты
0
измерений этой величины исследуемым средством измерений.
В результате первого измерения получено значение
третьего –
x , и т.д. (на рис. 2.1 обозначены результаты только первых
3
четырех измерений). На числовой оси отложены также величины
x , второго – 2x ,
1
x и x .
п
Δ
Δ
с
–
+σ
x
0
x1 x
x
3
сл
x2 x4 x
п
x
Рис. 2.1. Графическая интерпретация статических
погрешностей средств измерений
68
На рисунке 2.1 представлены, кроме того, среднее квадратическое
Δ
−
−
Δ
Δ+=
Δ−=
+
отклонение (σ), систематическая погрешность (
Δ ) и суммарная погрешность (Δ).
ность (
сл
), случайная погреш-
с
Таким образом, из приведенного рисунка следует, что систематическая погрешность является некоторой постоянно присутствующей
средней величиной, но отнюдь не исчерпывает всех погрешностей
измерительного устройства. Действительно, разность между результатами отдельных измерений и истинным значением измеряемой величины может превосходить систематическую погрешность (как, например, разности
, xxxx
и т.д.), т.е. кроме систематической
0402
погрешности, явно видна погрешность случайная.
Устранение систематической погрешности может быть достигнуто путем введения поправки в измерение, размер которой равен
абсолютной величине систематической погрешности, а знак – обратный знаку этой погрешности.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы компенсации, противопоставления, замещения, поверки.
Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод применяется для исключения известных по природе, но не известных по значению систематических погрешностей. При этом измерения проводят
в два этапа, таким образом, чтобы погрешность
входила в резуль-
с
тат измерения с противоположными знаками. При первом измерении
результат записывается в виде
kXY .
c1
При втором измерении
kXY .
c2
Тогда, полусумма этих результатов будет свободна от систематической погрешности, и результат измерения определяется как
YY
Y =
=
12
2
kX
.
Таким способом устраняется систематическая погрешность
от действия внешних магнитных полей на измерительные механизмы,
уменьшаются погрешности в компараторах, мостовых схемах и т.д.
69
Метод противопоставления (изменения знака выходной вели-
Δ+−
=
Δ+=
Δ+=
Δ+=
−=Δ
()(
Δ−=
чины). Он основан на возможности изменений выходной величины
при сохранении знака и величины систематической погрешности
Y =
kXY
kXY
−
=
2
;
c1
;
c2
YY
12
kX
.
Этот метод используется для компенсации систематической
погрешности в средствах измерения интегрирующего типа (например,
в цифровых вольтметрах). Измерения также проводят в два этапа.
Метод замещения применим, если имеется регулируемая мера,
выходная величина которой однородна с изменяемой величиной.
Сначала измеряют неизвестную величину
XX
.
cД
Затем к СИ подключают образцовую меру и с ее помощью устанавливают такое значение меры, которое вызывает такое же показание
индикатора СИ
XX
.
ооД
Разница между значением меры и показанием индикатора СИ
свидетельствует о наличии систематической погрешности. Наиболее
широко этот способ используется при измерении R, C и L, например,
с помощью мостовых схем переменного тока.
Метод поверки. Является общим для обнаружения систематической погрешности. Его суть заключается в сравнении показаний рабочего и образцового приборов. Систематическая по
ляется как разность показаний
где
– результат измерения рабочим СИ и образцовым СИ
, XX
ор
,
XX
oрc
грешность опреде-
соответственно. Результаты поверки позволяют выявить значение
систематической погрешности, а поправку определить из графика поправок
)
XXC
.
c
Затем при проведении измерений данным прибором систематическую погрешность, известную по величине и по знаку, исключают
введением поправки, числовое значение которой равно значению
70