Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория информационных процессов и систем. Учебное пособие
.pdf
3.6. Импульсно-кодовая модуляция
31
Рис. 3.10. Диаграммы, поясняющие работу АЦП
3. Методы формирования и преобразования детерминированных сигналов…
32
Интервал называется интервалом дискретизации. Его величина
выбирается в соответствии с теоремой Котельникова. Согласно этой тео-
реме, дискретизация не приводит к искажениям, если , где F –
верхняя граничная частота спектра сигнала b(t). Алгоритм дискретизации
аналогичен АИМ [4].
Полученные в результате дискретизации выборочные значения далее
переводятся в двоичные числа. Вначале каждое значение сравни-
вается с заранее заданными постоянными уровнями, которые называются
уровнями квантования. Затем ближайший к выборочному значению уровень
переводится в двоичное число
. Процесс замены выборочного
значения ближайшим к нему уровнем называется квантованием. При
квантовании возникает погрешность [4]:
. (3.8)
Ее величина тем меньше, чем больше уровней квантования L. Таким
образом, каждое выборочное значение преобразуется в одно из L возможных
значений, которое далее преобразуется в двоичное кодовое слово. Его дли-
на. Длина двоичной кодовой комбинации, определяемая длиной
кодового слова, не должна превышать интервал дискретизации [4], т.е.
.
Следовательно, длительность единичного интервала, равная длитель-
ности одного импульса кодовой последовательности:
. (3.9)
Если кодовая последовательность содержит импульсы прямоугольной
формы, то ширина спектра сигнала при ИКМ равна .
3.7. Принципы цифровой обработки сигналов
3.7.1. Дискретные преобразования Фурье (прямое и обратное)
Цифровой обработкой сигналов (ЦОС) называется процесс выполнения по заданной программе вычислительных операций (суммирования,
умножения, и т.д.) над числами, однозначно отображающих эти сигналы [4].
При ЦОС появляется возможность выполнения операций, которые
нельзя реализовать традиционными методами. Например, если требуется
3.7. Принципы цифровой обработки сигналов
33
длительное хранение исходных или промежуточных данных, или изменение
алгоритмов обработки сигналов путем изменения управляющей программы
и т.д. [4].
Упрощенная структурная схема ЦОС непрерывных сигналов приве-
дена на рис. 3.11. Непрерывный входной сигнал поступает на АЦП
назначением, которое является преобразованием этого сигнала в числа,
обычно записываемые в двоичной системе счисления [4].
Рис. 3.11. Структурная схема ЦОС: 1 – АЦП; 2 – устройство памяти; 3 – арифметическое
устройство; 4 – процессор; 5 – генератор импульсов синхронизации; 6 – ЦАП
В процессе вычислений между арифметическим устройством и
устройством памяти происходит обмен данными. В соответствующие моменты времени, которые определяются генератором импульсов синхронизации, цифровой процессор выдает на выход вычисленную последовательность двоичных чисел. При необходимости, эта последовательность преобразуется в непрерывную форму с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) [4].
Дискретный сигнал на выходе АЦП является последовательностью
двоичных чисел, выдаваемых через равные интервалы времени. Эти числа
соответствуют коэффициентам обобщенного ряда (2.2) Фурье, которые, в
свою очередь, определяются входным непрерывным сигналом и выбранным
набором базисных функций (базисом). В случае, когда в качестве базисных
функций используются функции вида sin x/x, а спектр непрерывной функ-
3. Методы формирования и преобразования детерминированных сигналов…
34
ции ограничен верхней граничной частотой FB, коэффициенты ряда (2.2)
совпадают с выборочными значениями непрерывной функции [4].
Удобным для технической реализации является также базис, состоящий из сдвинутых во времени прямоугольных импульсов (рис. 3.12). Выражение для к-й базисной функции для остальных значений:
, (3.10)
где п – число используемых базисных функций.
Базисные функции не перекрываются во времени, поэтому они удовлетворяют условию ортогональности. Кроме того, эти функции удовлетворяют и условию
,
т.е. являются ортонормированными.
Рис. 3.12. Базисные функции
3.7. Принципы цифровой обработки сигналов
35
Спектральные коэффициенты обобщенного ряда Фурье, определяю-
щие числа на выходе дискретизатора:
.
Вычисление сводится к простой операции вычисления интеграла от
непрерывного сигнала в пределах длительности k-й базисной функции. Это
упрощает аппаратуру аналого-цифрового преобразования.
Запишем конечное число N выборочных значений (0), (1),.., (N–1)
в интервале значений (0 – N–1) представим их в виде ряда Фурье:
, (3.11)
где – коэффициенты ряда Фурье.
Записывая функцию
в виде ряда Фурье, полагаем, что она перио-
дическая с периодом N.
Ряд (3.11) получен из (2.6) заменой на , частоты
на
, а времени t на , где – интервал дискретизации.
Учитывая периодичность выборочных значений, пределы суммиро-
вания по k можно заменить от k=0 до k=N–1.
. (3.12)
Выражение (3.12) является обратным дискретным преобразованием
Фурье, а
(3.13)
называется прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Эти выражения являются важными математическими моделями дискретных сигналов [4].
3.7.2. Квантование
Полученные в результате дискретизации численные значения коэффи-
циентов
ряда (2.2) переводятся в двоичные числа либо с их округлением,
либо с усечением. Поэтому при квантовании возникает ошибка:
,
где – число до квантования,
– число после квантования.
3. Методы формирования и преобразования детерминированных сигналов…
36
Поясним возникновение ошибки при округлении. Число
, запи-
санное в двоичной системе счисления:
, (3.14)
где ап = {0,1}.
Запись числа в форме (3.14) означает, что в устройствах ЦОС используется нормирование обрабатываемых сигналов так, что все математические операции выполняются с числами, по абсолютному значению не
превышающие единицу. Таким образом, числа отображаются правильными
десятичными дробями. Далее эти дроби переводятся в двоичные числа.
Процесс квантования с помощью округления поясняется рис. 3.13 [4].
Рис. 3.13. К пояснению процесса квантования
Амплитудная характеристика квантователя представлена в виде
сплошной ступенчатой линии. Высота ступеньки определяется значением
младшего разряда в двоичном представлении
. Это шаг квантования,
равный
. Пунктирной линией показана характеристика идеального
квантователя, когда число разрядов двоичного числа выбрано равным .
Ошибка, возникающая при округлении, удовлетворяет неравенству [4]
.
Если значение
находится между точками б, в, то погрешность
округления будет отрицательной, но не более
, а если – между точками
а, б, то – положительной, но не более
.
После преобразования непрерывного сигнала в совокупность двоичных чисел над ними ведутся дальнейшие преобразования [4].
37
ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ
И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
4.1 . Математические модели непрерывных случайных процессов
Случайной называется такая функция, которая может принять тот или
иной конкретный вид, неизвестно заранее, какой именно. Этот вид называется реализацией. Случайные функции зависят от времени и других параметров. Совокупность реализаций называется ансамблем [1].
Случайная функция считается заданной, если для последова-
тельных моментов времени t1,t2,...,tn и заранее выбранных значений неслучайных аргументов х1, х2,...,хп можно вычислить вероятность того, что слу-
чайные выборочные значения
соответственно равны
или меньше хх,х2,...,хп .
Эта вероятность является п-мерной интегральной функцией распределения [4].
(4.1)
Под стационарным понимают такой случайный процесс, п-мерная
плотность распределения вероятности которого не меняется при любом
сдвиге всей группы точек
вдоль оси времени. Это условие за-
писывается в виде
, (4.2)
где – временной сдвиг [4].
Случайные процессы, не удовлетворяющие условию (4.7), называются
нестационарными. Реализация нестационарного процесса приведена на
рис. 4.1 [4].
Рис. 4.1. Реализация нестационарного случайного процесса
4. Случайные сигналы и их математические модели
38
4.2 . Математические модели случайных дискретных процессов
Случайные процессы включают в себя также дискретные процессы.
Примерами дискретных процессов являются [4]:
а) дискретные процессы непрерывного времени (рис. 4.2, а);
б) дискретные процессы дискретного времени (рис. 4.2, б).
а)
б)
Рис. 4.2. Примеры дискретных процессов
Математическими моделями дискретных процессов являются случайные последовательности. Рассмотрим математическую модель дискретного процесса дискретного времени (рис. 4.2, б). Процесс математически задан, если для счетного числа моментов времени ti и счетного числа
дискретных значений ari процесса задана совместная вероятность [2]
(4.3)
где i = 1, 2,…, N; r = –m, –m+1,…0,1,2,…m; ari – дискретное значение про-
цесса в момент времени ,
4.3. Нормальный случайный процесс
39
– вероятность появления в момент времени дис-
кретного значения
, при условии, что в предыдущие моменты времени
дискретные значения были
,
[2].
Дискретный случайный процесс, определяемый вероятностью (4.3),
иногда называют дискретным процессом с памятью, имея в виду статистическую зависимость между значениями этого процесса в моменты времени
t1, t2,…, tN [2].
Дискретный случайный процесс является простым марковским процессом, если условная вероятность зависит только от соседних моментов
времени [4]:
. (4.4)
Для простого марковского дискретного случайного процесса совместная вероятность
определяется вероятностью того, что в момент времени ti значение дис-
кретного процесса равно , т.е.
, и условными вероятностями
которые называются вероятностями перехода
[2].
4.3. Нормальный случайный процесс
Нормальным или гауссовским случайным процессом называется такой
процесс, п – мерная плотность распределения, вероятности которого определяется формулой [2]:
, (4.5)
где , ,
— постоянные, связанные с моментами времени
и между собой определенными зависимостями.
При п=1 из (4.5) получаем выражение для одномерной плотности
распределения вероятности:
, (4.6)
где а – среднее значение, а
– дисперсия нормального процесса для мо-
мента времени t.
4. Случайные сигналы и их математические модели
40
Для одномерной плотности коэффициент , а коэффици-
ент
.
Нормальный случайный процесс занимает особое место при анализе
систем связи. Он чаще, чем другие законы, встречается на практике, а его
использование существенно упрощает расчеты [4].
Если одномерные плотности вероятности для каждого момента вре-
мени ti, i=1, 2,..., n одинаковы и распределены по нормальному закону,
причем ; ,
. (4.7)
Используя формулу (4.7), вычислим n-мерную плотность нормального
стационарного эргодического центрированного процесса, который имеет
равномерную спектральную плотность в полосе частот от 0 до FB [4].
Пусть некоторая реализация задана непрерывной функцией x(t) в ин-
тервале времени 0 – Т, а ее спектр ограничен верхней граничной частотой FB.
Эту функцию с некоторой погрешностью можно представить рядом, который в интервале 0 – Т совпадает с рядом Котельникова [4]. Энергия реализации:
(4.8)
где – число выборочных значений
в интервале 0 – Т,
отсчитанных в дискретные моменты времени
, k = 1,2,...,п через интервал
.
При выводе формулы (4.8) принято во внимание, что базисные
функции, из которых строится ряд (2.14), являются ортонормированными.
Полагая, что переменные
входящие в выражение (4.7), являются
выборочными значениями функции x(t), а среднее значение стационарного,
нормального, эргодического процесса а = 0, перепишем выражение (4.7) с
учетом (4.8) в виде [4]:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]