Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика теплофизического эксперимента. Учебное пособие
.pdf
1.3. Получение чисел подобия на основе анализа размерностей
M
M
1.3. Получение чисел подобия на основе анализа размерности
Часто возникает необходимость исследовать явление, не
имеющее математического описания. В этом случае перечень
и структуру чисел подобия можно определить на основе анализа размерностей. Сущность метода заключается в том, что
составляется перечень размерных величин, которые могут
влиять на протекание изучаемого явления и из которых формируются безразмерные комплексы.
Число безразмерных комплексов определяется на основе
π-теоремы: если общее число физических параметров, характеризующих явление, составляет m, а число первичных размерностей — n, то число независимых безразмерных комплексов z, которое можно образовать из m параметров, находится
по равенству
Z = m – n.
Для получения чисел подобия на основе анализа размерностей используют различные методы, наиболее прос
метод Рэлея. Согласно ему искомая величина выражается через влияющие на нее параметры с помощью степенного комплекса, включающего безразмерный коэффициент и все используемые в анализе параметры в различных степенях. Например, коэффициент теплоотдачи можно записать как
. (1.17)
Cl w c
00
той из них —
Примем в качестве основных размерности длины L, времени T, массы M и температуры
31
[] ;MT
[] ;cMLT
0[] ;lL
221
[] ;LMT
. Тогда
[] ;wLT
3[] ;
0
31
1
[] .
L
11
LT
11
Глава 1. Способы обобщения результатов исследования
Размерности правой и левой части уравнения (1.17)
должны быть одинаковыми. С учетом выражения (1.17) получим
31 1 3 2 21
()()( )MT L LT ML ML T
()()LMT ML T
.
31 11
Приравнивая показатели степеней при каждой размерности
в правой и левой частях равенства, найдем систему уравнений:
1;
1;
032.
323;
Благодаря этим уравнениям четыре из шести показателей
степеней можно выразить через два остальных. Выразим их
через δ и ε:
1;
;
1;
.
Подставляя эти значения в уравнение (1.17), получим
11
Cl w c C w c
00 0
l
0
l
0
.
Объединяя параметры с одинаковыми показателями степени, и учитывая, что μ = νρ, найдем
lwl
000
C
c
или
где
Re PrNu C
, (1.18)
/Nu l
— число Нуссельта;
0
Re /wl
00
Рейнольдса; cρυ/λ = ν / а — критерий Прандтля; l
ный размер обтекаемого тела.
12
— число
— характер-
0
1.3. Получение чисел подобия на основе анализа размерностей
Число безразмерных комплексов, полученных при анализе
уравнения (1.17), соответствует π-теореме, так как m = 7, n = 4,
следовательно, Z = 3.
1.4. Использование обобщенных переменных в исследованиях
Обобщенные переменные используются при любом способе изучения физических явлений.
Результаты аналитического решения представляют в виде
связи между числами подобия. Обычно математическую формулировку задачи приводят к безразмерному виду до ее решения с целью уменьшения числа переменных, входящих в итоговые расчетные соотношения, упрощения сопоставления результатов аналитического и опытного исследо
использовании численного или аналогового методов
При
вания.
поступают аналогичным образом.
При экспериментальном исследовании перечень и форма
чисел подобия должны устанавливаться до начала проектирования рабочего участка и создания или выбора экспериментального стенда.
Результаты каждого эксперимента дают возможность подсчитать цифровые значения всех чисел подобия. Данные серии
опытов используются для получения уравнения подобия. При
обобщении резу
льтатов эксперимент
а уравнением (1.10) его
используют в логарифмической форме:
lnπ = lnC + k · lnπ
+ n · lnπ2 + … +m · lnP1 + … (1.19)
1
Зависимость от логарифма какого-либо критерия линейна
при постоянном значении других критериев. При аппроксимации результатов исследования прямой легко найти коэффициенты линейной зависимости, один из которых будет представлять собой степень при критерии подобия.
Глава 2. Математический эксперимент
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
2.1. Математический эксперимент
как средство получения научных результатов
Математический эксперимент основан на численном решении уравнений, описывающих физическое явление.
ЭВМ позволяет решать широкий круг задач, имеющих математическое описание и не разрешимых аналитическим путем. Решение таких задач осуществляется с помощью численных методов, представляющих собой определенную последовательность операций над числами, т.
горитм, позволяющий получить приближенное решение исходного уравнения или системы уравнений в виде совокупности числовых значений искомых величин.
Численное исследование имеет много общего с физическим экспериментом. При этом роль экспериментальной установки выполняет ЭВМ, а физическое явление заменяется его
математическим описанием, или, точнее, математической моделью, которая в силу своей ограни
важнейшие для рассматриваемой задачи стороны явлений.
Процесс исследования физического явления с помощью
математического эксперимента можно подразделить на этапы:
• конструирование физической модели и ее математиче-
ская формулировка;
• поиск аналитики;
• разработка численного метода (вычислительного алго-
ритма) и его реализация в программе для ЭВМ;
• расчетное исследовани
е; анализ полученных результатов
и их обобщение.
е. вычислительный ал-
ченности отражает лишь
14
2.1. Математический эксперимент как средство получения научных результатов
Первый этап требует знания закономерностей изучаемых
явлений, проникновения в их взаимосвязи. Наиболее сложный
момент — выбор тех сторон явлений и их связей с другими
явлениями, которые существенны для данной задачи и подлежат включению в математическую модель.
На втором этапе заменяют исходное уравнение (систему
уравнений) другими уравнениями, которые позволяют построить численные мет
оды их решения. При этом вычислительный алгоритм должен быть устойчивым и обеспечивать
сходимость к искомому решению. Дать строгое доказательство устойчивости и сходимости далеко не всегда возможно.
При разработке алгоритма необходимо учитывать быстродействие, объем памяти и т.
д.
На третьем этапе выполняется серия расчетов, позволя-
ющих получить решение задачи.
При анализе результатов на четвертом этапе уточняется
программа исследований с целью детального изучения тех или
иных особенностей явления.
2.2. Структура погрешностей
Можно выделить четыре источника погрешности, математического эксперимента: математическая модель, исходные
данные, численный метод и округления в процессе вычислений.
Погрешность модели связана с приближенностью математического описания физического явления, обусловленной как
сознательной схематизацией с целью упрощения задачи, так и
относительностью и ограниченностью существующих знаний.
Количественно оценить эту составляющую погрешности результатов ма
тематического эксперимента можно лишь путем
их прямого сопоставления с данными физического эксперимента. Однако это не всегда возможно.
Исходные данные задачи, как правило, неточны: например,
это могут быть экспериментально найденные величины. Ошиб-
15
Глава 2. Математический эксперимент
ка в задании исходных данных приводит к погрешности решения, которую называют неустранимой погрешностью.
Погрешность численного метода обусловлена заменой исходных уравнений аппроксимирующими и приближенностью
методов их решения. Погрешность численного метода можно
регулировать, а выбирать ее целесообразно в 2—5 раз меньше
неустранимой погрешности. Если сходимость метода доказана, то представление о его точности дает сопоставление расчетов, выполн
енных при различных значениях параметра чис-
ленного метода.
Для проверки вычислительного алгоритма широко используется также система тестов.
Погрешность округления обусловлена выполнением расчетов
с ограниченным числом значащих цифр. При выполнении одной
арифметической операции с числами погрешность округления
лежит в пределах единицы младшего сохраняемого разряда. Так
как ЭВМ оп
погрешность единичного округления Δ
ерирует с числами, содержащими 10—12 разрядов,
= 10
– 10
…10
– 12
прене-
брежимо мала по сравнению с неустранимой. Если нет систематических причин для накопления погрешностей округления,
то их увеличение происходит не слишком существенно, ибо
они могут компенсировать друг друга. Однако если метод таков, что возникают систематические причины накопления погрешностей округления, то очень скоро суммарная погрешность катастрофически нарастает. Такие ус
ловия возникают,
например, при вычитании близких по величине чисел.
2.3. Построение итерационных процессов
Итерационный процесс (метод последовательных приближений) является универсальным методом решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Найдем корень уравнения
f(x) = 0, (2.1)
16
2.3. Построение итерационных процессов
предполагая его существование внутри некоторого известного
(из физических соображений) интервала.
Заменим исходное уравнение (2.1) эквивалентным ему:
x = φ(x). (2.2)
Далее выбирается начальное приближение X
, а последу-
0
ющие вычисляются с помощью соотношения
x
= φ(x
n
), (2.3)
n-1
где n — номер итерации.
Если итерационный процесс сходится, т.
мится к некоторому пределу
X при
n
е. если X
стре-
n
, то этот предел и
будет корнем уравнения (2.1). Погрешность будет обусловлена, очевидно, конечностью числа итераций.
Условие сходимости итерационного процесса:
1-n
dx
1-n
)x( - )(x
max
xx
)(
xd
. (2.4)
1
Среди различных функций φ(x), для которых выполняется
условие (2.4), лучшей будет обеспечивающая более высокую
скорость сходимости. Функция φ(x), определяемая выражением
φ(x) = x – [f(x) /f '(x)] (2.5)
и порождающая итерационный процесс
xx fx fx
nn n n
[( )/ ( )]
111
'
, (2.6)
обеспечивает очень высокую скорость сходимости в окрестности корня. Итерационный процесс (2.6) известен как метод
Ньютона.
Глава 3. Математическое планирование экспериментов
Глава 3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
3.1. Основные понятия и виды планов
Математическое планирование экспериментов — средство
сокращения числа экспериментов и повышения достоверности
выявляемых зависимостей.
Эмпирическую зависимость, которая находится экспериментальным путем, будем считать уравнением регрессии. Она
выражается функцией отклика, связывающей результат эксперимента с переменными параметрами, которыми варьируют
при проведении опытов:
y = φ(x
Независимые переменные x
торами, координатное пространство с координатами x
,…….., xn). (3.1)
1,x2
,…xn принято называть фак-
1,x2
,…xn —
1,x2
факторным пространством, а геометрическое изображение
функции отклика в нем — поверхностью отклика. Различают
основные и случайные факторы (случайные, т.
е. не поддаю-
щиеся учету и изменению).
Если в эксперименте выявляется зависимость y от одного
фактора x, то такой эксперимент называют однофакторным.
Когда на y влияют несколько факторов, то имеет место многофакторный эксперимент.
Ранее считалась единственно правильной методика однофакторного эксперимента, при использовании которой исследователь может с любой степенью точ
ности стабилизировать
все независимые переменные системы, а затем, поочередно
изменяя некоторые из них, установить интересующие его зависимости. Такой эксперимент называют пассивным.
18
3.1. Основные понятия и виды экспериментов
Использование методики однофакторного эксперимента
приводит при многофакторном исследовании к резкому увеличению числа опытов — N
n
. Так, для полного исследования
влияния четырех факторов, каждый из которых может принимать по пять значений (пять уровней), потребуется проделать
4
5
= 625 различных комбинаций экспериментов.
Лишь недавно возникла новая научная дисциплина — ма-
тематическая теория планирования эксперимента. Под пла-
нированием эксперимента (ПЭ) понимается постановка опытов по заранее составленной схеме, обладающей какими-то
оптимальными свойствами. Можно выделить два основных направления в теории ПЭ: планирование экспериментов по выяснению механизма явления, и планирование экстремальных
эксперимент
ов. Планирование первого типа применяется для
нахождения уравнения регрессии. Во втором случае экспериментатора интересуют условия, при которых изучаемый процесс удовлетворяет некоторому критерию оптимальности.
Планирование эксперимента позволяет решать следующие
вопросы: 1) сколько и какие опыты следует провести; 2) как
обработать результаты опытов, чтобы решить поставленную
задачу с заранее заданной точностью при минимально возможном числе опытов.
В ПЭ использу
ются понятия планов первого и второго порядков. Под планами первого порядка понимают такие планы,
которые позволяют провести активный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения. Во втором случае отыскивается уравнение регрессии, содержащее вторые степени факторов.
3.2. Рациональное планирование
Рациональное планирование экспериментов позволяет при
минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить
всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих фак-
19
Глава 3. Математическое планирование экспериментов
Х
Х
Х
торов. В этом случае эксперимент планируется так, чтобы ни в
одной строке и ни в одном столбце не было повторных сочетаний. В нижеследующей матрице показан один
из возможных
планов такого сочетания четырех факторов, каждый из которых может принимать пять значений.
Нетрудно убедиться, что
для каждого уровня одного из
факторов, например для X
= 1,
1
все уровни прочих факторов
встречаются одинаково часто.
Так, в этом случае X
1; X
= 1, 2, 3, 4, 5 и X4 = 1, 2, 3,
3
= 3, 4, 5, 2,
2
5, 4. Поэтому при определении
результатов для Х
= 1 влияние
1
трех других факторов усреднится и результат будет соответст-
вовать
= 3;
2
= 3;
3
= 3.
4
Производя такое усреднение для каждого уровня фактора
Х
, можно найти зависимость результата только от этого фак-
1
тора при нейтрализации влияния остальных трех факторов.
Меняя порядок усреднения нения, можно из одних и тех же
данных 25 опытов найти влияние всех четырех факторов. Методика построения комбинационного квадрата и обработки
данных экспериментов дана в работе [1].
3.3. Виды, методы и средства измерений
Измерение — это опытное определение численного значения физической величины в принятых единицах с помощью
специальных технических средств. Под результатом измерения понимается численное значение физической величины в
принятых единицах, полученное путем измерения. Для определения погрешности измерения технические средства должны иметь нормированные метрологические характеристики.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]