Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Ч.2. Учебно-методическое пособие
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
Синева И.С., Скородумова Е.А.
Учебно-методическое пособие
по курсу
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Часть II
для студентов-заочников 2 курса
(направление 11.03.02)
4 семестр
Москва 2017
План УМД на 2017/18 уч.г.
Учебно-методическое пособие
по курсу
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Часть II
Авторы: И.С.Синева, к.ф.-м.н., доцент
Е.А.Скородумова, к.ф.-м.н., доцент
Предлагаемое издание включает в себя разделы математической статистики
общего курса «Теории вероятностей и математической статистики»,
изучаемого в 3 семестре, и задания контрольной работы № 2.
Разделы теории вероятностей содержатся в первой части пособия. В первой
части также приведены рабочая программа, список литературы, примерная
тематика обзорных лекций и упражнений, требования к тому, что должен
знать и уметь студент в результате изучения дисциплины ТВ и МС.
Издание утверждено на заседании кафедры. Протокол № 8 от 20.04.2017 г.
Рецензент А.Г.Кюркчан, д.ф.-м.н., профессор
2
УДК 51
Синева И.С., Скородумова Е.А. Теория вероятностей и математическая
статистика. Ч.2:Учебно-методическое пособие ./ МТУСИ.- М., 2017.- 39 с.
Издание утверждено на заседании кафедры.Протокол № 8 от 20.04.17
Рецензент: А.Г.Кюркчан, д.ф-м.н.,профессор
© Московский технический университет
связи и информатики, 2017
Введение
Теория вероятностей – один из первых разделов математики, изучая
который, студент сталкивается с моделями, непосредственно описывающими
реальные объекты и явления. Однако, говоря о закономерностях при
изучении случайных явлений, до сих пор не затрагивался вопрос о том, на
каком основании эти закономерности устанавливаются. Методы сбора,
систематизации и анализа экспериментальных данных, получаемых в
результате наблюдения случайных явлений, являются предметом изучения
раздела математики «Математическая статистика».
Необходимо также отметить, что все задачи, рассматриваемые в
математической статистике, в зависимости от характера решаемого
практического вопроса можно условно разделить на два больших раздела,
тесно связанных между собой: оценка параметров и проверка гипотез.
В качестве оцениваемых параметров могут, например, выступать
вероятностные характеристики случайных величин или неизвестные
параметры распределений. Проверка гипотез может быть связана с оценкой
адекватности подобранной модели полученным экспериментальным данным,
с оценкой однородности данных, обнаружением взаимосвязи между
измеряемыми величинами и анализом этой взаимосвязи, разбиением
наблюдений на отдельные кластеры и другими задачами. При этом при
решении практических задач в большинстве случаев применяются и
статистические методы проверки гипотез, и оценки параметров.
Например, на основе полученных экспериментальных данных о
количестве пакетов, передаваемых через определенный сервер, выдвигается
гипотеза о том, что это количество имеет распределение Пуассона
. В
случае, если эта гипотеза будет принята в качестве рабочей, необходимо
оценить параметр данного распределения.
При решении некоторых задач может требоваться оценить меру и
характеразависимости двух или более случайных величин. Например, может
возникнуть вопрос о наличии или отсутствии зависимости между
3
количеством входящих и исходящих пакетов данных, а при наличии такой
зависимости – вид функциональной зависимости между ними (линейная,
экспоненциальная и др.).
Подобные задачи решаются на основе корреляционного и
регрессионного анализа. Необходимо также отметить, что корреляционный
анализ всегда предшествует регрессионному.
Ещё одна часто возникающая в статистическом анализе задача –
исследование влияния вкладов каких-либо факторов на исследуемое явление
или явления. Например, может исследоваться влияние праздничных дней на
количество передаваемых через сервер пакетов данных. Решению таких
задач посвящен факторный анализ. Более подробно с основными задачами
математической статистики можно ознакомиться в любом учебнике по
данному разделу (см., например, список литературы в части 1 данного
пособия).
Описательная статистика
Анализ любого массива результатов наблюдений начинается обычно с
описательной статистики. Она состоит из количественной (вычисление
некоторых характеристик) и графической (построение определенных
графиков) компонент и позволяет сделать предварительные выводы об
анализируемых данных и наметить дальнейшие шаги для анализа.
Пусть наблюдается некоторое случайное явление и регистрируются
получаемые результаты. Например, рассматривается работа некоторого
сервера. При этом может регистрироваться количество передаваемых пакетов
за определенный промежуток времени (сутки, час, минута), их содержимое
(текст, изображения, аудио- или видеофайлы и т.п.), скорость передачи
информации и т.д. Любой из этих признаков или их комбинация образует
случайную величину, над которой может производиться наблюдение. Все
возможные значения этой случайной величины образуют генеральную
совокупность.
4
Последовательность независимых одинаково распределенных
12
, , ...,
n
X X X
1, 2,...
i
X i n
12
, , ... ,
n
x x x
12
, ,...,
n
X X X
12
, , ...,
n
X X X
n
1
x
1
n
2
x
2
n
k
x
k
n
12
...
k
n n n n
12
...
k
x x x
1
1
n
n
2
2
n
n
k
k
n
n
1
x
2
x
…
i
x
…
k
x
1
2
…
i
…
k
i
n
i
p
1, 2,...,ik
12
, , ....,
k
x x x
12
, , ....,
k
x x x
OY
случайных величин
называется выборкой, величины
– элементами выборки, а их число n – объёмом (или
размером) выборки. Конкретные значения выборки, полученные в результате
испытаний, называют реализацией выборки и обозначают строчными
буквами
Последовательность
.
, полученная в результате
расположения в порядке неубывания элементов выборки
называется вариационным рядом.
Пусть в результате
величиной
значение
наблюдений над дискретной случайной
выпало
раз,
–
раз, … ,
–
раз
. Мы будем предполагать, что значения наблюдений у нас
,
уже упорядочены по возрастанию:
. Подсчитаем
соответствующие относительные частоты
,
, …….
и составим таблицу
Эта таблица носит название статистического распределения.
Статистическое распределение является оценкой неизвестного закона
распределения. В соответствии с законом больших чисел в форме Бернулли
относительные частоты
соответствующим вероятностям
сходятся по вероятности (при
. Поэтому при больших
) к
объемах выборки n статистическое распределение мало отличается от
истинного распределения.
полигона частот. По оси абсцисс откладываются значения
точках
Графически статистическое распределение изображается в виде
, и в
откладываются в направлении оси
5
величины
12
, , ....,
k
соответственно. Полученные точки соединяются отрезками
i
p
12
.... 1
k
Возможные значения
i
x
3 5 7 9 11
Количества полученных
наблюдений
i
n
4
10
25 8 3
4 10 25 8 3 50n
1
1
4
0,08;
50
n
n
2
2
10
0,20;
50
n
n
3
3
25
0,50;
50
n
n
4
4
8
0,16;
50
n
n
5
5
3 0,06.
n
n
i
x
1, 2,3,4,5
i
i
x
i
прямых. Полигон частот является статистическим аналогом многоугольника
распределения (напомним, что при построении многоугольника
распределения по оси ординат откладывают вероятности
всегда
.
Пример 1. Наблюдения над дискретной случайной величиной
заданы таблицей.
Построим полигон частот.
Решение. Общее число наблюдений
.
Подсчитаем частоты:
). Заметим, что
В точках
отложим относительные частоты
Полученные точки соединим отрезками прямых (рис. 1).
.
Рисунок 1 - Полигон частот в примере 1
6
Непрерывная случайная величина
px
n
12
, , ....,
n
x x x
1 1 2 1 2 1 1
, , , ,..., , ,..., , , ,
i i k k k
2
1 logkn
a
1, 2,...
i
n i k
12
, ,...,
k
n n n
12
, ,...,
k
1,ii
2, 3,..., 1ik
1ii
h
1
,
01
,
h
01
h
1,k
1,kk
1kk
h
k
0 1 1 2 1 1
, , , , ..., , , ..., ,
i i k k
h
i
i
h
1,ii
n
px
характеризуется некоторой
плотностью распределения вероятностей
. Эта плотность, как правило,
бывает неизвестной. Чтобы получить о ней некоторое представление, строят
гистограмму.
Пусть в результате
величиной
мы получили выборочные значения
наблюдений над непрерывной случайной
. Отметим, что
при наблюдении непрерывных случайных величин при достаточной точности
измерений регистрируемые значения, как правило, не повторяются.
Разобьем область значений случайной величины
на k промежутков:
.
Отметим, что от выбора количества промежутков зачастую зависит
качество построения гистограммы. Неплохие результаты дает применение
формулы Стэрджеса:
, где
означает целую часть числа a.
Вычислим количества наблюдений
каждый промежуток. При этом получим значения
подсчитаем относительные частоты
часто выбираются одинаковой длины, так что
Первый интервал
длины
(для этого принимаем
заменяем отрезком
образом, мы получаем
длины
. Строим прямоугольники высотой
являются промежутки
промежутков
. Полученная фигура и называется
заменяем полуинтервалом
), а последний полуинтервал
(соответственно
, основаниями которых
, попавших в
. По ним
. Интервалы
). Таким
гистограммой. Гистограмма является статистическим аналогом плотности
распределения вероятностей. При больших
отличается от истинной плотности распределения
и малых h гистограмма мало
.
7
На рис. 2 показана гистограмма и истинная плотность
px
12
12
... .... 1
k
k
h h h
h h h
1p x dx
px
i
n
1,ii
,3
3,5
5,7
7,9
9,11
11,13
13,15
15,
i
n
5
15
38
80
58
28
18
8
5 15 38 80 58 28 18 8 250.n
1
2
ii
h
,3
1,3
15,
15,17
x
y
0
1
2
1i
i
k
i
h
px
Рисунок 2 - Общий вид гистограммы
Отметим, что сумма площадей прямоугольников
.
,
что соответствует условию нормировки
распределения вероятностей
.
Пример 2. Произведено n наблюдений над непрерывной случайной
величиной
. Диапазон изменений величины
промежутков. Промежутки и количества наблюдений
из них, указаны в таблице.
Построим гистограмму.
Решение. Общее число наблюдений n равно
для плотности
разбит на восемь
, попавших в каждый
Длина каждого промежутка, кроме первого и последнего,
, а промежуток
. Поэтому промежуток
– отрезком
8
заменяем полуинтервалом
.
Подсчитаем высоты прямоугольников
2 500
i i i
i
nn
hn
1
5
0,010;
500
2
15
0,030;
500
3
38
0,076;
500
4
80
0,160;
500
5
58
0,116;
500
6
28
0,056;
500
7
18
0,036;
500
8
8
0,016.
500
1, 2,...,8
i
i
*
Fx
*
x
n
Fxn
x
n
x
*
Fx
Fx
*
01Fx
*
Fx
Fx
n
Fx
x
i
i
h
1 3 5
7 9 11
13
15
17
:
Построим прямоугольники высотой
которых являются заданные промежутки (рис. 3).
, основаниями
Рисунок 3 - Гистограмма в примере 2
Эмпирической функцией распределения
,
где
числа
функция распределения
– число наблюдавшихся значений случайной величины
, а n – общее число наблюдений.
Очевидно, что
удовлетворяет тем же условиям, что и истинная
, т.е., например, она является монотонно
неубывающей функцией и заключена в пределах
Функция
является оценкой истинной (неизвестной) функции
называется функция
, меньших
.
распределения
вероятности (при
, поскольку она при каждом значении xсходится по
) к
. Действительно:
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]