Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ химико-технологических процессов с использованием программы ChemCad. Учебно-методическое пособие
.pdf
Семейство задач на безусловный минимум соответствует случаю
{
}
u : u , ( ) 0, 1,..., , ( ) 0, 1,...,
S E f u i p u j q
( ) 0, 1,...,
f u i p
( ) 0, 1,...,
u j q
≤ =
ψ
Общая задача
n
F u u S E
Методы решения
задач
n
E
S
≡
n
E
u
S
∈ =
,
=
ϕ
i
,
p
=
,
≤ ψ u
j
,
j
=
Метод
n
ES ≡ в задаче (I.19). Семейство задач минимизации с ограничениями,
представляющее так называемую общую задачу нелинейного
программирования, получается из выражения (I.19), если
n
ES ⊂
определяется системой равенств и неравенств
= ∈ = = ≤ =
В этом случае система равенств
n
i j
ψ
= = включает в
i
. (1.20)
себя равенства, соответствующие выполнению материально-теплового
баланса ХТС (1.1), а также технологическим и проектным
ограничениям (1.7), заданным в виде равенств. Система неравенств
j
включает технологические и проектные
ограничения (1.8), заданные в виде неравенств.
Методы решения задач минимизации можно разделить (в известной
степени условно) на две группы (см. рис. 1.3).
Прямые методы
(методы «спуска»)
без ограничений
(
Методы последовательной
безусловной минимизации
)
минимизации
min ( ),
Методы решения
задач с ограничениями
∈ ⊆
{
u:
0) (
i ,.., 1
u
0 ) (
Метод исключения
зависимых переменных
Непрямые методы
(необходимое условие минимума)
,...,1 q
}
последовательного
квадратичного
программирования
Метод внутренней
точки
Рис. 1.3. Классификация методов решения задач минимизации
21
К первой относятся так называемые прямые методы, базирующиеся
{
}
u , 0, 1,...
( )
F u
{
}
n
E
( ) ( ) ... min ( )
F u F u F u
{
}
( )
F u
{ }iu
i i i i
u u p
= + α
i i i i i i
s u u u p
= ∆ = − = α
1
i
u
+
на непосредственном сравнении значений функции в соседних точках,
ко второй – непрямые методы, при использовании которых положение
минимума определяется с помощью соответствующего необходимого
условия.
Излагаемые ниже методы носят итерационный характер, т. е.
представляют собой совокупность определенных вычислительных
процедур с применением рекуррентных формул, результатом
выполнения которых является построение конечной или бесконечной
последовательности точек
заданной точностью найти минимум
n
E i∈ = , позволяющей с
i
. В методах безусловной
минимизации, т. е. методах решения задач без ограничений,
u
соответствующая последовательность
> > ≥ ,
0 1
∈ обладает свойством:
i
где F – минимизируемая функция.
Большинство методов безусловной минимизации предусматривает
построение последовательности
к минимуму
. Основное отличие одного метода от другого
i
,...1 ,0 , =ip
направлений движения
заключается в способе построения ,...1 ,0 , =ip
точки последовательности
где
α
– параметр, определяющий длину шага вдоль направления
i
избираемую некоторым определенным способом.
Вектор «сдвига»
Таким образом, выполнение одной (i-ой) итерации (или шага) в
конкретном алгоритме спуска заключается в определении направления
спуска
p и точки
i
i
связаны соотношением (см. рис. 1.4)
1
+
s в направлении ip равен
i
1
+
, (1.21)
на данном направлении.
22
. При этом соседние
p ,
i
. (1.22)
n
u E
n
n
×
0
H
0 0 0
: ( )
u g g u
n
u E
( )
i i
g g u
n
n
×
i
u
1
i
u
−
2
i
u
−
i
u
1
i
u
−
( , ,...; , ,...; , ,...)
1
i
u
−
i
u
s
i
p
i
u
i
Рис. 1.4. Графическое
изображение
итерационного шага
Структуру рассматриваемых
далее методов безусловной
минимизации можно представить
следующей схемой (см. рис. 1.5).
g
1+i
некоторая начальная точка
p
и положительно определенная
1+i
(
расчет градиента
Шаг 0. Выбирается
∈
0
)-матрица
. Выполняется
g
0
минимизируемой функции в точке
= .
Шаг 1. Даны: точка
матрица
H . Определяется направление
i
В общем случае вектор направления
функцией точки
градиентов
G ,… ее вторых производных, вычисленных в точках
1−i
g ,
g ,… минимизируемой функции
i
∈ , вектор градиента
i
gHp −= (1.23)
iTii
, предыдущих точек
1−i
p является некоторой явной
i
= , (
,
,…, векторов
и матриц
f
,
G ,
,…,
)-
i
т.е.
p p u u g g G G
= (1.24)
i i i i i i i i
В выражении (1.24) зависимость
переменных, например,
Если существует явная зависимость от предыдущих точек
1 1 1
− − −
p от некоторых групп
i
G ,
G ,…, может отсутствовать.
i
1−i
,...
или величин, вычисленных в этих точках, то подобный поисковый
метод называется методом с памятью. Если же вектор направления
p явно зависит лишь от величин, вычисленных в точках
i
, то
соответствующий метод называется методом без памяти.
В зависимости от максимального порядка производных, входящих в
выражение (1.24), алгоритмы минимизации относятся
соответственно к методам нулевого, первого и второго порядков.
Например, в методах нулевого порядка предусматривается такое
23
построение последовательности
{
}
( )
f u
=
( )
f u
( )
f u
0
= = − <
( ) ( )
i i
h F u p
( ) ( )
i i i i
F u p F u
p , при котором используется
i
лишь информация о значениях минимизируемой функции в
различных точках.
Примером метода нулевого порядка является метод
покоординатного спуска (Гаусса – Зейделя). Существуют алгоритмы
минимизации (нулевого порядка), такие как симплекс- и комплекс-
методы, в которых отсутствует построение направлений спуска
p .
i
В методах первого порядка вектор направления обычно
определяется из соотношения (1.23). В этом случае
последовательность матриц
применяемого метода, причем в формировании
производные функции
H определяется характером
i
H участвуют
i
не выше первого порядка. Методы
второго порядка допускают зависимость
H в выражении (1.23) от
i
вторых частных производных минимизируемой функции. Например,
классический метод Ньютона соответствует выбору
как
T
i
Вектор
GG = , то
i
p , ,...1,0
T
i
i обычно определяет направление «спуска»,
i
т.е. убывания функции
функции
по направлению
( )
dF u
dp
i
1−
==
GHH . Отсюда,
ii
. Это означает, что производная
p отрицательна
T
i
p g g H g
i i i i i
gGp1−−= (1.25)
iii
i
. (1.26)
1−
=iiGH . Так
Достаточным условием выполнения этого условия является
положительная определенность матриц
H .
i
Шаг 2. Рассматривается функция одной переменной
= +
и выбирается величина
α α
α
, определяющая шаг по направлению
i
(1.27)
p и
i
удовлетворяющая условию:
+ <
α
(1.28)
24
и некоторым другим требованиям. Например, если дополнительное
( ) ( ), 0
+ ≤ + ∀ ≥
( )
F u
i i i
u p
+ α
i i i i
u u p
= + α
1 1
( )
g g u
1
i
u
+
+
→
>
ε
− <
ε
− < ε
n
u E
n
n
×
>
0 0
( )
g g u
=
Определение направления движения
1 1 1
[ ( , ,...; , ,...; , ,...)]
i i i i i i i i
− − −
=
Стратегия одномерного спуска
: ( ) ( )
i i i i i
F u p F u
+ <
α α
: ( ) ( ), 0
i i i i i i i
= + ≤ + ∀ ≥
,
i i i i
u u p
= +α
11+
+=i
i
1+i
?
+
→
условие для
то говорят о точном нахождении минимума функции
направлении
*
случаях полагают const
Шаг 3. Рассчитываются точка
методах) вектор
α
имеет вид
i
F u p F u p
p . Соответствующее
α α α
i i i i i
i
α
будем обозначать
i
назовем оптимальной в направлении
=
α
i
= , а затем формируется матрица
i i
+ +
, если удовлетворяется условие (I.28).
1
+
(1.29)
в
*
α
, а точку
i
p . В некоторых
i
и (в градиентных
H . В
1+i
зависимости от результата проверки условия остановки работа
алгоритма либо прекращается (в этом случае
с требуемой
точностью является оптимальной точкой), либо осуществляется
переход к шагу 1 ( 1
обычно является неравенство
или
( ) ( )
F u F u
1
i i
+
ii ). Условием окончания работы алгоритма
ε
<
g , где 0
+1i
. Используются также и другие условия
– заданное число,
окончания, например,
Шаг 0
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
u u
α α α α α
1
ii
Рис. 1 5. Структурная схема методов безусловной минимизации
, (
xgg
вместе с
)-матрица
gHp −=
iTii
1
+
)(
. Выбирают
ε
<
g
+1i
H
1i i
+
∈
0
Вычисляется градиент
p p u u g g G G
* *
F u p F u p
Вычисляют
нет да
25
ε
<
g , и т.д.
+1i
0
0
H
Выход
Пример алгоритма, обладающего подобной структурой,
=
n
n
×
i
u
H
представляет классический метод наискорейшего спуска (метод
Коши), соответствующий выбору в выражении (1.23)
, где
,...1,0
i
I – единичная (
n
)-матрица. Направлением
IH ≡ ,
ni
движения здесь является наискорейшее убывание функции в данной
точке:
Точки
перехода на следующее направление определяются с
помощью условия (1.29), т. е.
ii
αα
= .
ii
... 1, ,0 , =−= igp
*
(1.30)
Характерная особенность этого метода – простота реализации;
однако общеизвестны и его недостатки: метод является линейным –
даже при минимизации квадратичной функции процесс поиска ее
минимума теоретически бесконечен; для функций с сильно
вытянутыми линиями равного уровня (изолиниями) процесс поиска
носит явно выраженный зигзагообразный характер и дает слабое
продвижение к минимуму; точное определение минимума
практически нереально.
Среди алгоритмов решения задач с ограничениями, прежде всего,
следует отметить методы последовательной безусловной
минимизации (метод штрафов, метод уровней, метод множителей
Лагранжа), метод последовательного решения задач квадратичного
программирования и метод внутренней точки [3].
Анализ поисковых методов показывает, что в них используются
следующие основные алгоритмы (процедуры):
1. расчет целевой функции;
2. расчет производных;
3. линейный поиск по данному направлению;
4. выбор матрицы
;
5. учет ограничений.
Алгоритмы 3, 4 и 5 характеризуют стратегию поиска.
Вследствие большой размерности, трудоемкости задач
оптимизации ХТС требуется высокая эффективность перечисленных
основных алгоритмов поисковых методов.
Известно, что расчет критерия оптимизации сводится к расчету
стационарного режима ХТС. Повышение эффективности алгоритмов
26
расчета стационарных режимов процессов достигается применением
; 1,..,
k n
+ ∆ −
∂
−
эффективных методов решения систем нелинейных уравнений, а
также использованием методов структурного анализа.
Производные критерия оптимизации по варьируемым
переменным определяются либо аналитически, либо с помощью
разностей:
( ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., )
f u u u u f u u u
f
u u
∂ ∆
k k
В этой формуле нижний индекс обозначает номер компоненты
вектора x (в отличие от остальных формул этого пункта).
1.6. Оптимальный синтез ХТС
Задача синтеза ХТС является сложной задачей комбинаторной
оптимизации. Число возможных схем проведения процесса огромно.
Так, даже при построении реакторной схемы мы сталкиваемся с
необходимостью выбора наилучшей схемы из большого числа
различных вариантов. Поскольку реакцию можно проводить в
реакторах смешения или вытеснения, или в их комбинации, может
варьироваться их число, можно применять или не применять рецикл,
возможны различные схемы теплообмена исходного потока с
промежуточными и выходными потоками реакторного узла.
Многовариантность задачи оптимального синтеза наглядно
иллюстрируется формулой Львова – Харберта для расчета числа
вариантов схем разделения зеотропной смеси:
где s – число фракций на которую делится исходная смесь; z – число
вариантов. Для s = 4, z = 5; s = 7, z = 132; s = 10, z =
4862. Из приведенной формулы следует, что простой перебор
вариантов технологических схем, с целью выбора наилучшей,
становится бесмысленным занятием. Необходимы
целенаправленные методы, заведомо отсекающие неперспективные
варианты.
Сложность задач синтеза требует максимального использования
специфики при решении каждой отдельной задачи. В связи с этим
получили развитие методы синтеза гомогенных схем, т.е. схем,
состоящих из однородных аппаратов – теплообменных систем, систем
1 1
≈ =
k k n k n
))!1(2(
s
=
z (1.32)
)!1(!
−
ss
(1.31)
27
разделения (в том числе с интеграцией тепла), реакторных схем.
Различают алгоритмические, эвристические и термодинамические
методы синтеза ХТС. Здесь мы рассмотрим только подход,
использующий эвристические правила, основанные на предыдущем
опыте.
Этот подход основан на использовании экспертных систем, в
базы знаний которых закладываются эвристические знания в виде
продукционных правил типа “ if...then...”. С использованием блока
логического вывода, основанного на методах математической
логики, экспертная система решает задачу синтеза, используя базу
знаний.
Приведем примеры применения эвристических правил при
проектировании процессов химической технологии.
Эвристические правила при проектровании схем
ректификации зеотропных смесей
• Трудноразделяемые компоненты делятся в последнюю
очередь.
• Эквимолярное деление исходной смеси предпочтительнее.
• Компонент, присутствующий в питании в наибольшем
количестве, выделяется в первую очередь.
• Компоненты исходной смеси выделяются по прямой схеме
(продукты отбираются сверху).
Эти правила способствуют минимизации энергозатрат
синтезируемой схемы. Действительно, игнорирование первого
правила приведет к разделению фракции, в которой наряду с
ключевыми близкокипящими компонентами будут присутствовать
примеси неключевых компонент. Это потребует увеличения потоков
флегмы и пара в колонне, а следовательно, и увеличения
энергозатрат. Если не следовать третьему правилу, то возрастут
энергозатраты на перекачку потоков в схеме. Использование
четвертого правила приводит к снижению давления в
технологической схеме от первой к последней колонне. Это
облегчает разделение близкокипящих смесей на последней колонне.
Однако очевидна необходимость учета и такого правила:
28
• Легкополимеризующийся или вызывающий коррозию
компонент выделяется в первую очередь.
Эвристические правила при проектировании процессов
теплообмена
• При теплообмене от горячего потока к холодному должно
передаваться максимальное термодинамически возможное
количество теплоты.
• Выбирать для теплообмена горячий поток с наиболее высокой
температурой на входе и холодный поток с наиболее высокой
температурой на выходе.
• Прекратить теплообмен с горячего конца теплообменника,
если передано максимально возможное количество теплоты.
Эвристические правила при проектировании реакторных
процессов
• Для увеличения степени превращения в реакторе идеального
смешения необходимо увеличение объема реакторной системы.
• Для реактора идеального вытеснения включение рециркуляции
увеличивает степень превращения.
• Следует использовать тепло экзотермических реакций для
подогрева исходной смеси.
• Для отвода тепла сильно экзотермических реакций
использовать: 1) избыток реагента; 2) инертный растворитель; 3)
холодное твердое включение.
Эвристический подход имеет существенный недостаток,
поскольку эвристические знания не только не точны, но и часто
противоречат друг другу. Рассмотрим возможные противоречия на
примере эвристических правил синтеза технологических схем
газоразделения (правила 1 −
противоречие с предыдущими, в частности, с первым правилом.
Примером наличия такого противоречия является традиционная
технологическая схема разделения газов пиролиза производства
этилена. Схема построена с учетом первых четырех эвристик. В этом
процессе трудноразделяемыми являются пропан-пропиленовая
фракция и диеновые углеводороды. Диеновые углеводороды
являются побочными продуктами пиролиза и полимеризуются (если
не используются специальные ингибиторы) в кубах и кипятильниках
колонн деэтанизации и депропанизации, что вызывает засорение
5). Последнее правило может войти в
29
колонн и необходимость остановки оборудования для очистки от
полимера.
1.7. Вопросы для самопроверки
1. Приведите определение системы, элемента системы, подсистемы.
2. Приведите определение ХТС, элемента ХТС.
3. Дайте определения и приведите примеры замкнутых и разомкнутых
ХТС.
4. С какой целью создаются замкнутые ХТС?
5. Что характеризует критерий эффективности ХТС?
6. Приведите примеры технологических и экономических критериев
эффективности ХТС.
7. Какими общесистемными свойствами обладает ХТС?
. Дайте определение свойства целостности и членимости системы.
8
9. Дайте определение свойства связности системы.
10. Дайте определение свойства интегративности (эмерджентности)
системы. Приведите примеры свойств интегративности для химикотехнологических, биологических, технических, экономических,
социальных систем.
11. Дайте определение свойства чувствительности ХТС.
12. Дайте определение свойства управляемости ХТС.
13. Дайте определение свойства надежности ХТС.
14. Дайте определение свойства помехозащищенности ХТС.
15. Дайте определение свойства устойчивости ХТС.
16. Дайте определение свойства гибкости (работоспособности) ХТС.
17. Чем отличается моделируемая схема от технологической схемы?
Какие графические формы используются для представления
моделируемой схемы?
18. Дайте классификацию и назначение переменных элемента
моделируемой ХТС.
19. Дайте классификацию потоков ХТС.
20. Из каких частей состоит математическая модель ХТС?
21. Что представляют собой с физико-химической точки зрения
математические модели элементов (аппаратов) ХТС?
2. Что представляют собой с математической точки зрения
2
математические модели элементов (аппаратов) ХТС?
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]