Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ химико-технологических процессов с использованием программы ChemCad. Учебно-методическое пособие
.pdf
Перечисленные свойства необходимо учитывать при исследовании и
проектировании ХТС.
1.2. Понятие о моделируемой схеме
Неформальным этапом решения задач анализа (расчет,
многовариантный расчет, оптимизация режимов существующей ХТС) и
синтеза ХТС (создание новой ХТС) является переход от
технологической схемы (process flowsheets) к моделируемой схеме
(simulation flowsheets). Существуют различные формы графического
представления моделируемой ХТС. При использовании моделирующих
программ наибольшее распространение получили иконографическая
схема и информационная блок-схема. В иконографической форме
каждому аппарату ХТС ставится в соответствие своя пиктограмма, в
информационной блок-схеме аппараты или группы аппаратов
представляются в виде блоков (элементов). В моделируемую схему
включаются элементы, оказывающие наиболее существенное влияние
на точность расчета материально-теплового баланса и исследуемые
технико-экономические показатели производства. В моделируемую
схему также включаются дополнительные элементы, в частности
деления и смешения потоков (трубные соединения, емкости).
В элементе различают входные, выходные и управляющие
переменные. Входные и выходные переменные обеспечивают
взаимодействие между элементами ХТС, между схемой и окружающей
средой. Управляющие – позволяют воздействовать на процесс
преобразования входных переменных элемента в выходные.
Управляющие переменные выбираются из числа конструктивных и
технологических параметров аппарата. Конструктивными
параметрами являются геометрические характеристики аппарата,
например: объем реактора, число тарелок в ректификационной колонне,
площадь теплообмена и расположение труб в теплообменнике.
Технологические параметры – это температура, давление в аппарате,
соотношения реагентов на входе в реактор и т.д.
Входные и выходные переменные элементов характеризуют
состояние потоков, с помощью которых соединены элементы в
моделируемой схеме. Потоки разделяются на входные,
промежуточные, выходные. Входные поступают извне в некоторые из
элементов ХТС;
11
выходные – выходят из элементов и подаются вне ХТС;
N
(
)
,
k k k k
y x u
1,
k N
k
y
k
x
k
u
k
1
y
промежуточные – связывают между собой элементы.
Потоки характеризуются переменными, которые часто называют
параметрами: расходом, покомпонентным составом, температурой
(либо энтальпией), давлением. Число параметров, характеризующих
поток, называется параметричностью потока.
1.3. Формализованная постановка задач расчета и
оптимизации ХТС
1.3.1. Математическая модель ХТС
Математическая модель ХТС состоит из математических моделей
элементов и математической модели структуры (топологии) ХТС.
Пусть ХТС состоит из
1
u
1
x
1 2
2
x
элементов (см. рис.1.1).
2
u
2
y
k
x
k
u
k
y
N
u
N
N
y
N
x
Рис. 1.1. Информационная блок-схема ХТС.
Математическая модель k-го элемента имеет вид
= ϕ ,
= , (1.1)
где
входных переменных k-го элемента;
переменных k-го элемента.
материального и теплового балансов, в которых учтены
гидродинамические, массообменные и теплообменные особенности
протекающих в элементе процессов, а также химические превращения,
если таковые имеются.
системы линейных, нелинейных алгебраических либо
дифференциальных уравнений, записанных в явной либо неявной
форме.
– вектор выходных переменных k-го элемента;
– вектор
– вектор управляющих
С физико-химической точки зрения уравнения (1.1) – это уравнения
С математической точки зрения уравнения (1.1) представляют собой
12
Например, математическая модель делителя потоков представляет
k j
x y
1,
k N
1
=
0 1
≤ ≤
1,
j N
=
k j
α
r n m
= −
собой систему линейных алгебраических уравнений. Модели реактора
идеального смешения, ректификационной колонны описываются
системами нелинейных алгебраических уравнений. Модель реактора
идеального вытеснения представляет собой систему дифференциальных
уравнений.
Математическая модель структуры ХТС может быть записана в
виде соотношений связи – математических моделей смесителя потоков
(1.2) и делителя потоков (1.3)
N
,
= , (1.2)
α
,
k j
, (1.3)
где
α
=
∑
k j
1
j
=
N
∑
k
α
=
1
,
k j
– структурный параметр, характеризует связь между j-ым и k-
ым элементами и означает долю выходного потока j-го элемента
поступающего в k-ый элемент Уравнения (1.1) – (1.3) представляют
собой формализованную математическую модель ХТС.
1.3.2. Постановка задачи расчета ХТС
Все входные, выходные, промежуточные и управляющие
переменные математической модели ХТС делятся на два класса:
зависимые и независимые.
Число независимых переменных r равно числу степеней свободы
ХТС, которое определяется как разность между общим числом
переменных n(сумма всех входных, выходных, промежуточных и
управляющих переменных ХТС) и числом независимых уравнений
математических моделей элементов m связывающих переменные:
.
Задание численных значений независимым переменным необходимо
и достаточно для расчета материально-теплового баланса ХТС и,
следовательно, однозначного представления состояния ХТС.
позволяет исследовать поведение схемы в заданном пространстве
Варьирование численных значений независимых переменных
13
независимых переменных, обеспечить оптимизацию ХТС в
()(
)
, , 0
≡ − =
x
f
соответствии с выбранным критерием.
Задача расчета ХТС заключается в определении всех зависимых
переменных при заданных значениях независимых переменных.
Задача многовариантного расчета ХТС заключается в
многократном расчете ХТС при различных значениях независимых
(варьируемых) переменных.
Выбор совокупности независимых переменных определяется
постановкой задачи расчета ХТС. Наиболее распространены две
постановки задачи расчета: моделирующий и проектный.
Моделирующий расчет. В качестве независимых принимаются
переменные входных потоков ХТС и управляющие переменные
элементов ХТС. В результате расчета определяются переменные
промежуточных и выходных потоков ХТС.
Примером моделирующего расчета может служить расчет
ректификационной колонны, когда заданы параметры сырья
поступающего на разделение, число тарелок в колонне, расход флегмы,
температура в кубе колонны. Требуется определить расходы и составы
кубового продукта и дистиллята.
Проектный расчет.
некоторые управляющие, входные, промежуточные и выходные
переменные ХТС.
Примером проектного расчета является расчет ректификационной
колонны при заданных параметрах сырья и требованиях на качество
продуктов разделения: дистиллята и кубового продукта. Результатом
расчета является число тарелок в колонне и расход флегмы.
Поскольку модели элементов в общем случае описываются
нелинейными уравнениями, то задача расчета ХТС сводится к
решению системы нелинейных уравнений (1.1), (1.2), (1.3), которую
можно записать в следующем общем виде:
– вектор совокупности зависимых переменных всех элементов
где
схемы; u – вектор совокупности независимых переменных всех
элементов;
, ϕ – вектор-функции.
В качестве независимых принимаются
f x u x x u
ϕ
, (1.4)
14
1.3.3. Постановка задачи оптимизации ХТС
1
1,
i n
2
1,
j n
a
1
n
1
n
2
n
, ,
k k k
F x u F x u
(
)
,
k k k
F x u
Для нормальной работы ХТС переменные системы должны
удовлетворять некоторым технологическим и конструктивным
ограничениям. Это могут быть ограничения на производительность,
качество выпускаемой продукции, режимы работы и конструктивные
особенности оборудования. Эти условия описываются ограничениями
типа равенств и неравенств:
=
ψ
j
Или в векторной форме:
ψ
0),( =−ijaux
,
=
0),( ≤uxh
,
, (1.5)
. (1.6)
0),( =− aux
, (1.7)
0),( ≤uxh , (1.8)
– некоторый заданный вектор размерности
где
функции размерностей
Для оптимизации работы ХТС выбирается критерий оптимизации
ХТС, который, как правило, имеет следующий вид:
где
Задача оптимизации ХТС ставится следующим образом:
необходимо определить независимые и зависимые переменные таким
образом, чтобы при соблюдении уравнений (1.4) (или (1.1) – (1.3)) и
ограничений (1.7), (1.8) (или (1.5), (1.6)) критерий (1.9) принял
оптимальное значение. Поиск оптимального значения ведется в
пространстве переменных, выбранных в задаче оптимизации в качестве
независимых и называемых поисковыми.
С математической точки зрения задача оптимизации ХТС,
записанная в форме уравнений (1.1) – (1.3), (1.7) – (1.9) относится к
классу задач нелинейного программирования. Общие подходы к ее
решению описаны в п.1.5.
– часть критерия, относящаяся к k-му элементу.
,
( )
соответственно.
N
=
∑
k
1
=
( )
, (1.9)
; ψ, h – вектор-
15
1.3.4. Постановка задачи оптимального синтеза ХТС
,
k j
α
0
G
0
G
U
Если в задачу оптимизации в число поисковых переменных наряду с
управляющими переменными u входят структурные параметры
, то
мы получим задачу оптимального синтеза ХТС, которая
формулируется следующим образом. Необходимо определить
независимые (непрерывные управляющие и дискретные структурные
переменные) и зависимые переменные таким образом, чтобы при
соблюдении ограничений (1.1) – (1.3), (1.7), (1.8) критерий
оптимальности принял минимальное значение
),,(min
uxF
o
,
α
α
UuG
∈∈
(1.10)
Здесь
– множество всех возможных вариантов схем; α – вектор
дискретных структурных переменных (параметров), принадлежащих
множеству
и характеризующих наличие взаимосвязей между
элементами синтезируемой схемы; U – область допустимых значений
независимых непрерывных переменных элементов схемы; u– вектор
независимых непрерывных переменных (управляющих переменных и
непрерывных структурных параметров), принадлежащих множеству
.
С математической точки зрения задача оптимального синтеза ХТС,
записанная в форме уравнений (1.1) – (1.3), (1.7), (1.8), (1.10) относится
к классу задач смешанного дискретно-непрерывного нелинейного
программирования.
1.4. Расчет ХТС
1.4.1. Структурный анализ ХТС
В моделирующей программе ChemCad по умолчанию применяется
последовательный модульный подход для расчета ХТС. Модульность
предполагает, что каждый элемент ХТС представляет собой цельную
неделимую технологическую единицу (часть аппарата, аппарат, группа
аппаратов). Последовательный модульный подход требует
предварительного определения последовательности расчета
элементов.
16
Отметим, что расчет разомкнутых ХТС проводится в
2 3 4 5 6
1(2)
2(2)
3(3)
7(3)
8(3)
12(1)
последовательности, совпадающей с направлением потоков в
моделируемой схеме.
Для определения последовательности расчета замкнутых ХТС
проводится структурный анализ. В схеме выделяются комплексы –
совокупности аппаратов, охваченных обратными связями – рециклами.
Внутри каждого комплекса определяется оптимальная, с точки зрения
какого-либо критерия, совокупность потоков, называемых особыми,
разрыв которых приводит схему к условно разомкнутому виду.
Наибольшее распространение при определении особых потоков
получил критерий минимальной суммарной параметричности
разрываемых потоков. Затем определяется последовательность расчета
элементов комплексов. Отметим, что в программе ChemCad
автоматический структурный анализ не оптимизирован. Это означает,
что в найденных комплексах рвутся все рецикловые потоки. Однако
программой предусмотрен ввод вручную разрываемых потоков и
последовательности расчетов элементов схемы, в том числе и
оптимальной.
Например, для информационной блок-схемы ХТС, представленной
на рис.1.2, 1-й комплекс включает элементы 2, 3, 4, второй комплекс
включает элементы 5, 6, 7, 8.
9(2)
4(3) 5(2)
1
13(2)
6(2)
7
10(3)
11(3)
8
Рис. 1.2.
Для 1-го комплекса особым потоком, удовлетворяющим критерию
минимальной суммарной параметричности, будет поток 6 с
параметричностью 2 (параметричность потока указана в скобках рядом
с номером потока). Для второго комплекса особыми потоками,
соответствующими указанному критерию, являются: поток 8 (вариант
1
), имеющий параметричность 3, либо совокупность потоков 9,12
(вариант 2), имеющих суммарную параметричность, равную также 3.
17
Разрываемые потоки, соответствующие указанным вариантам
()(
)
m
обозначены на рис. 1.2 двумя или одной косой чертой. Может быть
выбран любой из этих вариантов. Для 1-го комплекса
последовательность расчета элементов будет следующей: 2, 3, 4. Для
второго комплекса элементы ХТС будут рассчитываться в следующей
последовательности:7, 8, 5, 6 (вариант 1); 5,6,7,8 (вариант 2).
1.4.2. Методы расчета комплекса
Каждый комплекс рассчитывается итерационно. Задаются начальные
приближения значений параметров разрываемых потоков.
Просчитываются элементы комплекса. В результате получаются
вычисленные значения параметров разрываемых потоков. Если
заданные и вычисленные значения не равны между собой с заданной
точностью, то определяются тем или иным методом новые значения
параметров, и расчет комплекса повторяется.
Место разрыва особых потоков является местом включения в
моделируемую схему итерационных блоков (по одному на каждый
комплекс), реализующих метод расчета комплекса. Как правило,
итерационные блоки в моделируемой схеме не обозначаются. Однако
для идентификации разрываемых потоков в моделируемой схеме они
обозначаются другим цветом. В частности, в программе ChemCad – это
красные линии.
Расчет элементов, не входящих в комплексы, проводится в
последовательности, совпадающей с направлением потоков в
моделируемой схеме.
Расчет комплекса сводится к решению системы m в общем случае
нелинейных уравнений относительно m неизвестных значений
параметров разрываемых потоков:
ϕ
где m – cуммарная параметричность разрываемых потоков; X –
вектор параметров разрываемых потоков размерности m; f, ϕ –
вектор-функции размерности
математической модели комплекса относительно особых потоков.
Обычно итерационный процесс решения системы (1.11) строится по
формулам:
, f – oбобщенное представление
, 0=−≡ XXXf
(1.11)
18
(
)
, iiXYϕ= (1.12)
(
)
i
Y
m m
×
1r=
0 1
r
< <
m
I
m m
×
(
)
1
x
2
x
1 iiii
+
,
XYGXX −+=
(1.13)
где i – номер итерации;
размерности
, определяющая метод расчета.
– вектор размерности m; G – матрица
В программе ChemCad предлагаются методы: простой и
модифицированной простой итерации, Вегстейна, доминирующего
собственного значения. Отметим, что эффективность (в смысле
минимального числа итераций для достижения решения) и сходимость
любого метода расчета будет зависеть от характера решаемой задачи.
Путем перебора предлагаемых методов и настройки их параметров
можно выбрать наиболее подходящий.
Метод простой и модифицированной простой итерации.
В
качестве матрицы, определяющей метод, принимается матрица
, mrIG = (1.14)
где r – скаляр, (если
метод модифицированной простой итерации);
размерности
.
Недостатки метода общеизвестны: медленная сходимость, а в
некоторых случаях, и отсутствие сходимости.
Метод Вегстейна. Матрица G для каждой переменной вектора xj
имеет вид:
G
=
где
,
– определяют методом простой итерации. Метод Вегстейна
наиболее эффективен при решении одного нелинейного уравнения. Так,
метод гарантирует сходимость, когда простая итерация расходится, и
ускоряет ее в случае медленной сходимости. К сожалению, метод
Вегстейна не учитывает взаимодействия переменных, поэтому при
решении могут возникать колебания, и часто итерационный процесс не
сходится.
Метод доминирующего собственного значения.
вычисляется по формуле:
– метод простой итерации, если
– единичная матрица
i
i
1−−−
xx
−
j
j
i
i
i
( )
j
j
yyxx
+−−
j
, (1.15)
I
m
i
11
j
–
Матрица G
19
1
i
λ
G
min ( )
F u
, ( )
∈ ⊆ ≠ ∅
= , (1.16)
IG
m
i
)1(
λ
−
если доминирующее собственное значение
, определяемое как
отношение норм невязок итерируемых векторов
+
ii
−
i
=
λ
XX
, (1.17)
11−
ii
−
XX
незначительно отличается от доминирующего собственного значения,
рассчитанного на предыдущей итерации:
−1ii
δλλ
<−
, где δ – малая
величина. В противном случае G находится по формуле (1.14).
Предлагается также модификация метода, в которой матрица
вычисляется по формуле (1.16) каждую четвертую итерацию, а иначе –
по формуле (1.14).
Критерий окончания расчета комплекса. Итерационный процесс
завершается, когда, как правило, выбранная некоторая норма разностей
векторов итерируемых переменных (сумма квадратов отклонений,
среднеквадратичное отклонение, сумма абсолютных разностей
итерируемых переменных) меньше некоторой заданной малой
величины ε:
+ iii
1
ε
<−≡∆
xxx
. (1.18)
В программе ChemCad критериями окончания расчета комплекса
является одновременное выполнение условия (1.18) для температуры,
давления, расхода. Причем для каждого из перечисленных параметров
может быть выбрана своя величина ε.
Отметим, что описанные методы не являются лучшими. Наиболее
эффективным методом в настоящее время считается
квазиньютоновский метод Бройдена. Этот метод реализован в ПМП
ASPEN PLUS.
1.5. Оптимизация ХТС
Большое число задач оптимизации химико-технологических
процессов может быть представлено в следующем виде:
где F – вещественная функция переменной
u S
∈
, (1.19)
u S S E S
n
20
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]