Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчеты конструкций методом конечных элементов в ANSYS. Методические рекомендации
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Александр Юрьевич Шаманин
РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ В
ANSYS
Методические рекомендации
Альтаир–МГАВТ
Москва
2012
УДК 004.942
Шаманин А.Ю.
Расчеты конструкций методом конечных элементов в ANSYS. Методические
рекомендации. - МГАВТ, 2012 - 73 с.
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов очного и
заочного обучения по направлению подготовки «180100 Кораблестроение
иокеанотехника». Может быть полезным для аспирантов, инженерно-технических и
научно-педагогических работников, специализирующихся в области расчетов конструкций
методом конечных элементов.
Основная цель пособия — получить навыки работы с программным комплексом
ANSYS и дать общее представление о возможностях программного комплекса ANSYS.
Описаны алгоритмы решения, наиболее распространенных в практике
судостроения, задач в ANSYS. Приведены задания для практических работ по курсу
«Прочность судовых конструкций».
Материал, изложенный в пособии, в течение ряда лет апробирован в учебном
процессе кафедре Судостроения и судоремонта Московской государственной академии
водного транспорта.
Рецензент: профессор, к.т.н. В.И. Волхонов
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедр Юридического
института протокол №7 от 22.02.2012.
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать
материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебно-методические
материалы.
© МГАВТ,2012
© А. Ю. Шаманин, 2012 г.
Содержание
1. Введение в МКЭ ....................................................................................................................5
1.1. Метод Конечных Элементов .........................................................................................5
1.1.1. История развития метода ........................................................................................5
1.1.2. Основы метода конечных элементов ....................................................................5
1.2. Уравнения МКЭ ..............................................................................................................6
1.3. Элементы матричной алгебры ......................................................................................7
1.4. Типы конечных элементов ............................................................................................9
1.5. Уравнение МКЭ для балок ............................................................................................9
1.5.1. Функции формы.......................................................................................................9
1.5.2. Матрица напряжений ............................................................................................11
1.5.3. Матрица жесткости ...............................................................................................11
1.5.4. Матрица масс .........................................................................................................12
1.5.5. Вектор сил ..............................................................................................................12
1.5.6. Уравнение МКЭ .....................................................................................................12
1.6. Пример решения МКЭ .................................................................................................12
2. Введение в ANSYS. .............................................................................................................16
2.1. Назначение ANSYS ......................................................................................................16
2.2. Графический интерфейс программы ..........................................................................16
2.3. Командный режим в ANSYS. ......................................................................................17
2.4. Особенности ввода исходных данных в ANSYS ......................................................17
2.5. Создание проекта ..........................................................................................................18
2.6. Файлы проекта ..............................................................................................................18
2.6.1. DB - файл ................................................................................................................18
2.6.2. LOG - файл .............................................................................................................18
3. Анализ задачи в ANSYS. ....................................................................................................20
3.1. Построение модели ......................................................................................................20
3.1.1. Определение заголовка .........................................................................................20
3.1.2. Определение типа элемента .................................................................................20
3.1.3. Определение опций элемента ...............................................................................21
3.1.4. Определение констант элемента ..........................................................................21
3.1.5. Определение свойств материала ..........................................................................21
3
3.1.6. Создание конечно-элементной модели ...............................................................21
3.1.7. Приложение нагрузок ...........................................................................................22
3.2. Решение задачи .............................................................................................................22
3.2.1. Определение типа анализа ....................................................................................22
3.2.2. Спецификация решения ........................................................................................23
3.2.3. Решение задачи ......................................................................................................23
3.2.4. Ошибки в работе ....................................................................................................23
3.3. Обработка результатов вычислений ...........................................................................24
3.3.1. Сохранение результатов .......................................................................................24
Лабораторная работа №1 .........................................................................................................25
Лабораторная работа №2 .........................................................................................................33
Лабораторная работа №3 .........................................................................................................44
Лабораторная работа №4 .........................................................................................................57
Лабораторная работа №5 .........................................................................................................66
Список литературы ..................................................................................................................71
4
1. Введение в МКЭ
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных
уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при
решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики
деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и
электродинамики.
Википедия (http://www.wikipedia.org/)
1.1. Метод Конечных Элементов
1.1.1. История ра звития м етода
Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических
исследований в 1950-х годах. Основоположником теории МКЭ считается Р. Курант (1943 г.),
но из-за нахождения вычислительной техники в зачаточном состоянии метод не получил
развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод
возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его
математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963
году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов
распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём
минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений
равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он
стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область
применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что
уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью
вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших
квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило
применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом,
метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения
дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Более полно
история возникновения метода коечных элементов отражена в [1], [2].
С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются,
также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты
прочности проводят, используя МКЭ.
1.1.2. Основы м етода кон ечных эл ементов
Инженерные конструкции представляют совокупность конструктивных элементов
(балки, стержни, пластинки, оболочки), соединенные в конечном числе узлов. В сплошной
среде, количество точек связи и количество составных элементов (в металле – зерен)
бесконечно, именно это и осложняет решение задач в сплошной среде. Введенное Тёрнером
и др.[2]понятие конечный элемент, позволяет преодолеть эту трудность путем разбиения
сплошного тела на конечные элементы (исчислимого количества), взаимодействующие
между собой только в точках соединения элементов (в узлах), в которых вводятся фиктивные
силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов.
В случае принятия такой идеализации, задача сводится к обычной задаче строительной
механики, которая может решаться численно.
5
Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную в некоторой области
1
величину (например, внутреннее усилие в конструкции, перемещение и т.п.) можно
аппроксимировать дискретной моделью, которая создается из множества кусочнонепрерывных функций, определенных в конечном числе подобластей (элементов). Обычно
такими функциями являются полиномы – линейные, квадратичные, кубичные и т.д. Кусочнонепрерывные функции строятся с помощью значений непрерывной величины в узлах. Таким
образом, чтобы определить неизвестную непрерывную величину, нужно определить ее
значения в узлах.
Основные этапы создания дискретной модели неизвестной величины следующие:
1. В исследуемой области задается конечное число точек (узлов).
2. Значения непрерывной величины в каждом узле считаются неизвестными, они
должны быть определены.
3. Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей (элементов),
имеющих общие точки (узлы).
4. Непрерывная величина в каждом элементе аппроксимируется полиномом, который
определяется с помощью узловых значений этой величины: для каждого элемента
определяется свой полином, но его коэффициенты подбираются так, чтобы сохранялась
непрерывность величины на каждой границе элемента
1.2. Уравнен ия МКЭ
В общем виде, для созданной конечно-элементной модели, состоящей из n элементов
и m узлов, составляются матрицы1:
Матрица сил возникающих в узлах, где
– подматрица-столбец, с количеством
элементов равным количеству степеней свободы узла.
Перемещения узлов, где подматрица-столбец, с количеством элементов равным
количеству степеней свободы узла.
Матрица жесткости (квадратная матрица), где
– квадратные подматрицы
размерности , а – число компонент силы в рассматриваемых узлах.
– силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки;
Для понимания дальнейшего материала необходимо знание основ матричной алгебры. Необходимые
сведения содержатся в главе 1.4.
6
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
njmi ...,,2,1,...,,2,1
– силы в узлах обусловленные начальными деформациями.
Для упругого элемента основное соотношение может быть записано в виде
Или для напряжений:
– напряжения в узлах;
– матрица напряжений элемента;
– матрица перемещений узлов;
–напряжения возникающие в узлах от действия внешних нагрузок;
– напряжения в узлах обусловленные начальными деформациями.
1.3. Элемен ты матричн ой алгебры
Матрица (математика) — система элементов
, расположенных в виде
прямоугольной таблицы.
Википедия (http://www.wikipedia.org/)
Матрицей размером mn называют совокупность mn чисел расположенных в виде
таблицы состоящей из m строк и n столбцов и записанных в виде:
.
Элементы матрицы – это числа
(
) составляющие её, где i –
номер строки, j – номер столбца на пересечении которых находится элемент матрицы.
Основные операции над матрицами
Сложение и вычитание матриц
Определяется для матриц одинакового размера. Суммой (разностью) матриц A и B,
обозначаемой A+B (A-B), называется матрица C, элементы которой определяются по
формуле: cij=aij+bij(aij-bij), где aij и bij – соответственно элементы матриц A и B.
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A и числа , обозначаемым A, называется матрица B той же
размерности, элементы которой bij=aij, где aij элементы матрицы A, т.е. при умножении
матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.
Свойства
Пусть A,B,C – матрицы одного размера, , любые действительные числа, тогда:
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C= A +(B + C)
3. (A +B) = A + B
4. ( + )A = A + A
5. ()A = (A)
7
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Пусть O – нулевая
mnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22212
12111
n
k
kj
b
ik
a
ij
c
1
ik
a
kj
b
1...000
..............
0...010
0...001
E
матрица, тогда:
6. A + O = A
(-1) A – противоположная к A и обозначается – A.
7. A+(- A)= O.
Транспонирование матриц
Матрица AT, полученная из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми же
номерами называется транспонированной:
Умножение матриц
Произведением матриц A
элементы которой
mn
и B
, где
называется матрица C
np
,
- элементы матриц A и B. Произведение AB
= AB (или проще AB),
mp
существует только в том случае, когда первый множитель A имеет число столбцов, равное
числу строк второго множителя B.
Свойства умножения
1. AB BA даже если оба произведения определены, но существуют матрицы A, B,
такие что AB = BA, тогда они называются перестановочными.
Матрица E вида:
называется единичной матрицей. E – перестановочная с любой
квадратной матрицей того же размера, т.е. AE = EA = A.
2. Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения ABи (AB)C,
то определены BCи A(BC) и выполняется равенство:
(AB)C = A(BC).
3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.:
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC.
4. Для любого числа :
(AB) = (A)B = A(B).
5. Если существует AB, то определено (существует) BТAТ и выполняется равенство:
(AB)Т = BТAТ.
Обратная матрица
Матрица X, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам XA=AX=E,
называется обратной к A и обозначается A-1.
8
1.4. Типы кон ечных эл ементов
1
Существует большое количество разнообразных типов конечных элементов
позволяющих моделировать различные физические задачи (в программе ANSYS – около 200
видов конечных элементов1).
Задача разбиения тела на конечные элементы неоднозначна. В некоторых случаях
(например, в случае расчета ферм) конструктивные элементы совпадают с конечными
элементами (балки, стержни). В этих случаях, моделирование конструкции не представит
особого труда ибудет состоять в выполнении некоторого объема работы по стандартным
правилам. Гораздо сложнее выполнить эту операцию для двумерных или трехмерных
областей/тел. Здесь, прежде всего, нужно выбрать тип (или типы) конечных элементов (2х
или 3х мерные), наилучшим образом аппроксимирующие исследуемую область. Плоские
двумерные элементы применяются, в основном, для моделирования мембран, тонких
пластин, тонкостенных оболочек и т. п. Объемные трехмерные элементы применяются, в
основном, при исследовании полей температур, деформацийнапряжений в массивных телах
и т. п. [3], [4].
1.5. Уравнен ие МКЭ дл я балок
В качестве примера рассмотрим решение с применениемМКЭ наиболее
распространенной и в тоже время простой задачи Строительной механики корабля, расчет
прочности балочной конструкции.
Балка - одномерный, геометрический элемент произвольного поперечного сечения.
Основным различием между балкой и стержнем является тип воспринимаемой нагрузки
(балки подвергаются воздействию поперечной нагрузки: поперечные силы, распределенные
нагрузки и моменты, которые приводят к поперечной деформации балки).
Узел конечного элемента имеет две степени свободы в: отклонение в поперечном
направлении оси y(направление v) и вращение в плоскости осей x-y, θz (относительно оси Z).
В итоге, балочный элемент (с двумя узлами по концам) имеет 4 степени свободы.
Рис. 1- Балочный конечный элемент
1.5.1. Функции формы
Рассмотрим конечный элемент длиной l = 2a с узлами 1 и 2 по концам, как показано
на Рис. 1. Ось X определяет локальную систему координат элемента, начало оси находится
посередине балки в центре среднего поперечного сечения балки.
Более подробно о конечных элементах, применяемых в ANSYS, можно прочитать в [3].
9
Для каждой степени свободы конечного элемента балки можно составить уравнения
равновесия, получим четыре функции формы. Удобнее когда функции формы определены
относительными координатами в локальной системе координат. В относительной системе
координат элемент определяется координатами -1 и +1, как показано на Рис. 1.
Отношение между натуральной системой координат и локальной системой координат
можно определить отношением
ξ=
(1)
Выведем четыре функции формы в локальной системе координат, в виде полинома
третьего порядка, содержащего четыре неизвестные постоянные:
где
неизвестные постоянные. Выбран полином третьего порядка, т.к. четыре
(2)
неизвестные в уравнении могут быть отнесены к каждой из четырех степеней свободы узлов
элемента. Уравнение (2) может быть записано в матричной форме:
(3)
или
(4)
где p – вектор базисной функции и α – вектор коэффициентов. Величина поворота элемента
θ может быть получена дифференцированием уравнения (2) с учетом (1).
Четыре неизвестные постоянные
(5)
могут быть определены из граничных
условий:
При или
При или
Применение граничных условий дает:
(8)
или
(9)
Решение системы уравнений(8), относительно, можно записать:
(10)
где
(11)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]