Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие для СПО
.pdf
61
Отклик цепи нелинейной цепи связан с сигналом зависимостью (6.1). Подставим
входной сигнал и получим:
L[x(t)]= y(t) = a0 + a1 X cos (ωt +φ) + a2 X2 cos2 (ωt +φ) +
a3 X3 cos3 (ωt +φ) + . .+ ak Xk cosk (ωt +φ) (6.3)
В дальнейшем необходимо избавиться от степенной зависимости,
воспользовавшись формулами кратных дуг [4]:
2
11
cos cos2
22
=+
3
31
cos cos cos3
44
=+
4
3 1 1
cos cos2 cos4
8 2 8
= + +
Для третьей степени полинома (6.3) получим выходной сигнал:
2 2 3
0 2 2 1 3
1 1 3
( ) cos( )
2 2 4
y t a a X a X a a X t
= + + + + + +
23
23
11
cos2( ) cos3( )
24
a X t a X t
+ + +
Таким образом, при данной аппроксимации степенного полинома, на выходе
образуются новые сигналы, которых не было на входе.
x(ω)
ω
ω
2ω
3ω
ω
0
ω
Входной сигнал
Выходной сигнал
0
y(ω)
Рис.6.1 – Спектры сигналов на входе и на выходе нелинейного элемента.
На рисунке 6.1 показано, каким образом связано влияние степени
аппроксимирующего полинома на образование новых гармоник сигнала.
Далее рассмотрим воздействие бигармонического сигнала:
x(t) = X
1
cos (ω1 t +φ1)+ X2 cos (ω2 t +φ2) (6.4)
62
Для этого необходимо воспользоваться не только методом кратных дуг, но и
формулами для произведения косинусов:
11
cos cos cos( ) cos( )
22
= − + +
2
1 1 1
cos cos cos cos( 2 ) cos( 2 )
2 4 4
= + − + +
Подставляя выражение (6.4) в (6.3) и ограничиваясь 2-ой степенью полинома,
получим:
22
0 2 1 2 2
11
()
22
y t a a X a X
= + + +
1 1 1 1 2 2 2 2
cos( ) cos( )a X t a X t
+ + + +
22
2 1 1 1 2 2 2 2
11
cos2( ) cos2( )
22
a X t a X t
+ + + +
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
cos ( ) cos ( )a X X t a X X t
− + − + + + +
x(ω)
0
y(ω)
Входной сигнал
Выходной сигнал
0
ω
ω
ω
1
ω
2
ω
1
ω
2
2ω
2
2ω
1
ω1 – ω
2
ω1 + ω
2
Рис.6.2 – Спектры входного и выходного сигнала при воздействии
бигармонического сигнала при использовании полинома 2-ой степени
6.1.2 – Метод угла отсечки
Метод угла отсечки используется для гармонического анализа при
аппроксимации характеристики нелинейного элемента ломаной линией (рисунок
6.3).
63
2θθ
i
макс
π 2π
ωt
ωt
0
i
i
u
U
o
U
E
i
п
Рис. 6.3 – Пояснение процесса по методу трех координатных плоскостей
Пусть характеристика нелинейного элемента состоит из двух отрезков
(рисунок 6.3), определяемых выражениями:
i = 0 при u < U0
i = iп +Su при u >U0 (6.5)
Здесь U0 – напряжение отсечки или запирания; iп – ток покоя.
Очевидно, что I
п
= S|U0|
Пусть на вход нелинейного элемента (рисунок 6.3) подается напряжение:
u = E + Ucosωt , (6.6)
где Е – напряжение смещения.
Рабочая точка на характеристике нелинейного элемента выбрана так,
чтобы нелинейное преобразование имело место при достаточно больших
амплитудах, то есть при выполнении неравенства:
U > |U
0
– E| (6.7)
При выполнении равенства (6.7), как показано на рисунке 6.3 выходной ток
протекает только в течение части периода. Половина той части периода, в
течение которой протекает ток, называется углом отсечки тока и
обозначается θ.
i = i
п
+ SE +SUcosωt. (6.8)
Но при ωt = θ, i = 0 , тогда получаем:
0 = i
п
+ SE +SUcos θ (6.9)
Вычтем из (6.8) выражение (6.9), получим:
i = SU(cosωt - cos θ) (6.10)
Выражение (6.9) позволяет определить угол отсечки:
64
0
cos
п
SE i E U
SU U
+−
= − = −
(6.11)
Максимальное значение тока получаем из выражения (6.10), приняв ωt=0
I
макс
= SU(1 - cos θ).
Следующий шаг, это определение амплитуды гармоник, возникающих при
изменении формы сигнала при прохождении нелинейного элемента. Амплитуда
гармоник в соответствии с формулами ряда Фурье:
2
0
1
( )cos
n
A f t n td t
=
Функция f(ωt), представляющая собой изменение тока во времени, в данном
случае является четной, и поэтому ток содержит постоянную составляющую и
только косинусоидальные гармонические составляющие, амплитуды А
n
которых
обозначим через In.
Амплитуда первой гармоники:
1
1
( )cosI i t td t
+
−
=
Подставим в эту формулу выражение для i(ωt):
1
1
(cos cos )cosI SU t td t
+
−
= − =
11
cos2 cos cos
22
SU
d t td t td t
+ + +
− − −
= + −
После интегрирования получаем:
( )
1
sin cos
SU
I
=−
Будем нормировать к максимальному значению тока:
1
max
sin cos
(1 cos )
I
i
−
=
−
Аналогично составляем и для других гармоник тока:
0 1 2
0 1 2
max max max max
( ); ( ); ( );...... ( );
т
т
I I I I
i i i i
= = = =
Коэффициенты α называются коэффициентами Берга α
n
(θ).
65
Коэффициенты и находятся по формулам:
0
sin cos
(1 cos )
−
=
−
,
1
cos sin
(1 cos )
−
=
−
При n ≥2 общая формула для коэффициентов Берга имеет вид
2
2(sin cos cos sin )
( 1)(1 cos )
n
n n n
nn
−
=
−−
(6.12)
Таким образом, коэффициенты Берга зависят только от угла отсечки.
Рассмотрение зависимостей αn(θ) позволяет сделать выводы:
1. Амплитуды гармоник имеют максимальное значение при
120
о
n
2. Амплитуды всех нечетных гармоник (за исключением первой)
обращаются в нуль при θ = 90о, это позволяет избавиться от нежелательных
гармонических составляющих и определить угол отсечки нелинейного элемента.
6.2 Преобразование частоты (транспонирование спектра сигнала)
Задача транспонирования спектра заключается в перемещении всего спектра
сигнала по оси частот. При данном преобразовании соотношения между
комплексными амплитудами составляющих спектра должны быть неизменными,
другими словами, информация не должна быть изменена, как показано на
рисунке 6.4. На математическом языке это представляется как:
если S1(t) = A(t)cos[ωсt+θ(t)], то S2(t) = K A(t)cos[ω
пр.
t+θ(t)].
t t
S1(t) S2(t)
A(t)
A(t)
Рис.6.4 – Временные диаграммы сигналов на входе м выходе преобразователя
частоты
Рассмотрим целесообразность использования транспонирования спектра при
обработке радиосигнала на приеме. При приеме избирательная входная цепь
настраивается на частоту принимаемого радиосигнала. Усилитель высокой
частоты (УВЧ) усиливает принимаемый сигнала до уровня, при котором можно
продетектировать усиленные сигналы без существенных искажений. Каскады
66
УВЧ обладают избирательными свойствами. Общая избирательность входной
цепи и усилителя должна быть достаточно высокой. Однако выполнение этих
требований, большое усиление и высокая избирательность, затруднено тем, что
приемник необходимо настраивать на разные частоты. Эта задача
трудновыполнима, так как, надо изменять параметры входной цепи и всех
контуров УВЧ, при этом надо отметить, что трудно обеспечить постоянство
усилителя.
Рассмотренные свойства характерны для приемника прямого усиления, без
транспонирования спектра. Теперь обратимся к супергетеродинному приемнику
с переносом спектра.
Входная цепь (так называемый преселектор) предварительно отделяет сигнал
от сигналов соседних мешающих станций. На преобразователь подаются
входной сигнал и гармоническое напряжение от местного генератора,
называемого гетеродином. Нелинейный элемент преобразователя оказывается
под воздействием бигармонического колебания, составленного из сигнала с
частотой ω
с
и напряжения гетеродина с частотой ω
г
. Пусть характеристика
нелинейного элемента квадратична. Тогда в результате преобразования появятся
токи комбинационных частот ωс – ω
г
и ωс – ωг. С помощью избирательной
нагрузки можно выделить напряжение только одной из них, например,
разностной, которая называется промежуточной частотой:
ω
пр.
= |ωс – ωг|.
Для различных устройств существует своя промежуточная частота, например,
для радиовещательных диапазонов она стандартизована и равна 465 кГц.
Для приема различных станций необходимо перестраивать входную цепь и
цепь определяющую частоту гетеродина, так, чтобы разность между частотами
сигнала и гетеродина была равной промежуточной частоте.
Таким образом, в супергетеродинном приемнике благодаря преобразованию
частоты задача перестройки в основном отделена от задач усиления и
избирательности, которые осуществляются на постоянной промежуточной
частоте.
Рассмотрим основные соотношения при нелинейном преобразовании
частоты. На вход нелинейного преобразователя НП подается напряжение, равное
сумме напряжений сигнала:
x(t) = A(t)cos(ω
c
t + θ) + Aг(t)cos ωг t
На выходе нелинейного преобразователя при помощи фильтра нужно выделить
преобразованный сигнал:
S
2
(t) = KA(t)cos(ωпр t + θ)
с новой несущей частотой ω
пр.
= ωс – ωг.
Нелинейный преобразователь представим в виде:
67
y(t) = L[x(t)] = a0 + a1 x(t) + a2 x2(t) + a3 x3(t) + . .
На преобразователь подаются два колебания, то есть x(t) = s
1
(t) + sг(t) и
поэтому:
y(t) = a
0
+ a1(s1 + sг) + a2(s1 + sг)2 + a3(s1 + sг)3 + . . .
В выходном сигнале содержатся как полезные, так и паразитные
составляющие. Следует выбрать нелинейный преобразователь с такими
коэффициентами а
0
, а1, а2 . . ., чтобы уменьшить число вредных продуктов
преобразования; а от неизменно остающихся, следует избавиться с помощью
фильтра.
Ограничимся членами преобразователя не выше второй степени; тогда:
y(t) = a0 + a1 s1 + a1 sг + a2 s
1
2
+ a2 s
г
2
+ 2a2 s1 sг
Первые пять слагаемых не содержат полезных продуктов преобразования:
они представляют собой постоянную составляющую, первую и вторую
гармоники частоты сигнала и частоты гетеродина. Шестое слагаемое:
2a2 s1 sг = 2a2 A(t)cos(ωс t + θ)Аг cosωг t =
= a2 A(t)Aг cos[(ωс – ω
г
)t + θ] + a2 A(t)Aг cos[(ωс + ωг)t + θ]
содержит полезный продукт преобразования – колебание разностной. Используя
в качестве нагрузки нелинейного элемента фильтр, настроенный на
промежуточную частоту ω
пр.
= ωс – ωг, находим:
s2(t) = a2 A(t)Aг cos[(ωс – ωг)t + θ].
Следует отметить, что полезный продукт преобразования обусловлен
наличием слагаемого второй степени, а точнее квадратической характеристикой.
6.3 Умножение частоты
При умножении частоты, на вход нелинейного преобразователя подается
колебание частоты ω
0
, а на выходе должно быть колебание частоты nω0 , где n
- любое положительное число, то есть,
если s1(t) = Acos(ω0t + φ), то s2(t) = Bcos(nω0t + ψ).
Временные и спектральные диаграммы s1(t) и s2(t) представлены на рисунке 6.5.
68
s
1
(t) s
2
(t)
2ω
0
ω
0
ω ω
Рис. 6.5 – Умножение частоты в 2 раза
Умножение частоты можно производить или с помощью нелинейных
преобразователей, изменяя форму сигнала, или с помощью избирательных
систем, выделяющих нужную гармонику из сигнала, содержащую большое
число гармоник, например, импульсного сигнала.
Рассмотрим умножитель частоты, основанный на изменении формы
гармонического сигнала с помощью нелинейного элемента,
аппроксимированного ломаной линией (рисунок 6.3).
Ток n - гармоники определяется коэффициентом Берга αn и максимальным
значением ток i :
In = αn(θ)i
max
.
Для получения наибольшего значения амплитуды нужной гармоники при
заданном i
max
необходимо выбрать θ угол так, чтобы соответствующий
коэффициент α
n
, имел максимальную величину. Оптимальный угол отсечки θ
опт
или рассчитывается по формуле (6.12), или определяется по таблицам [12].
При этом следует учитывать, что коэффициенты имеют хорошо выраженный
максимум при:
120
о
n
.
Для удвоения частоты оптимальный угол отчески равен 60
0
.
Известные значения I
макс
и θ
опт
дают возможность по формулам:
I
макс
= SU(1 - cos θ и
0
cos
п
SE i E U
SU U
+−
= − = −
определить смещение Е = U0 – Ucosθ и амплитуду входного напряжения:
max
(1 cos )
i
U
S
=
−
, необходимые для обеспечения оптимального режима
умножения частоты.
69
На выходе нелинейного преобразователя образуется множество гармоник,
поэтому необходимо включить избирательную цепь, в качестве которой будем
использовать LC - колебательный контур.
Как известно, модуль входного сопротивления контура определяется
формулой:
2
()
1
эo
R
Z
=
+
, где Rэо – сопротивление контура на резонансной
частоте ω
0
, а
0
0
Q
=−
, где Q - добротность контура. Уже на частоте
второй гармоники
()
1,5
эo
R
Zn
Q
=
. Для высоких гармоник величина Z(nω0),
примерно, в nQ раз меньше Rэо.
Поскольку максимальные значения коэффициентов Берга быстро убывают с
ростом номера гармоники, схемы, использующие рассмотренный метод
применяются только для умножения частоты только в два и три раза.
При умножении частоты в более число раз используют последовательность
прямоугольных импульсов s(t), представленного рядом Фурье:
1
sin
2
( ) cos
п
n
n
T
S t A n t
Tn
=
=+
Здесь Т – период повторения импульсов, ωп – частота повторения, τ длительность импульса. Эта последовательность содержит колебания всех
частот, кратных частоте следования импульсов, и может быть использована для
умножения частоты. Нужная гармоника выделяется при помощи узкополосного
фильтра.
6.4 Контрольные вопросы и задачи
6.4.1 Дайте определение нелинейной цепи и поясните на примере.
6.4.2 На вход двух цепей, аппроксимируемых как L1(x) = a0 + a1 x и L2(x) = a0
+ a1 x + a2 x2 поступает гармонический сигнал. На выходе каких цепей появятся
новые гармоники сигнала, не присутствующих на входе?
6.3.3 Если на вход линейной цепи подается гармонический сигнал, то на
выходе он не меняет форму, а изменяется только амплитуда и фаза. Что
изменится, если подать гармонический сигнала не вход нелинейной цепи?
6.4.4 Как изменится сигнал на выходе нелинейной цепи, если входной сигнал
представить не как s1(t) = Acos(ω0t + φ), а s2(t) = Asin(ω0t + φ)?
6.4.5 На вход нелинейной цепи, представленной как: L2(x) = a0 + a1 x + a2 x2
подается бигармонический сигнал x(t) = X1 cos (ω1t+φ1)+X2 cos (ω2t+φ2).
Построить спектр сигнала на выходе цепи.
70
6.4.6 На вход нелинейной цепи, представленной как: L2(x) = a0 + a1 x + a2 x2
+а3 х3 подается бигармонический сигнал x(t) = X1 cos (ω1 t +φ1)+X2 cos (ω2 t +φ
2
).
Определить количество гармоник сигнала, не присутствующих на входе цепи.
6.4.7 Метод угла отсечки используется для гармонического анализа при
аппроксимации характеристики нелинейного элемента ломаной линией (рисунок
6.3). Какой параметр ломанной линии и определяет нелинейные свойства данной
цепи?
6.4.8 Определить условия нелинейного преобразования входного сигнала с
учетом напряжения смещения, напряжения отсечки и амплитуды входного
гармонического сигнала.
6.4.9 На основании определения угла отсечки, рассчитать угол отсечки
неискаженного гармонического сигнала.
6.4.10 Дать определение оптимального угла отсечки для k – гармоники.
6.4.11 Определить по рисунку 6.6 углы отсечки для фрагментов 1, 2, 3.
(1) (2) (3)
Рис.6.6 – Примеры выходного сигнала при прохождении нелинейной цепи,
аппроксимированной ломаной прямой
6.4.11 Определить угол отсечки для максимизации амплитуды 3-й гармоники.
6.4.12 Определить напряжение отсечки нелинейного преобразователя, если угол
отсечки равен 90
о
, а напряжение смещения равно 2 В.
6.4.13 Нелинейный преобразователь представлен полиномом L2(x) = a0 + a1 x +
a2x2 на вход которого поступает сигнал s1(t)=A(t)cos(105t + φ) и вспомогательный
сигнал s2(t) = А1 cos(ω0t + φ). Определить частоту ω0, если сигнал s1(t) надо
переместить на частоту равной 10
6
рад/сек.
6.4.14 Определить амплитуду тока удвоенной частоты на выходе умножителя,
если угол отсечки соответствует оптимальному режиму, а S = 20 mA/B, U = 3 B.
6.4.15 Определить коэффициент нелинейных искажений Кн умножителя для n=3,
на выходе которого установлен колебательный контур с добротностью Q = 20
для оптимального угла отсечки. Коэффициент Кн определяется как:
Кн = (U1 +U2)/U3,
где U1 - амплитуда 1 – й гармоники, U2 - амплитуда 2-й гармоники, а U3 - 3 – й
гармоники.
6.4.16. Построить зависимость максимальной величины коэффициентов Берга от
угла отсечки, воспользовавшись рисунком 6.7.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]