Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие для СПО
.pdf
21
колебания с частотами в пределах полосы [ω0 -Δω, ω0 +Δω] , должно быть подано
широкополосное воздействие вида дельта-функции.
2
2
S
00
−
Рис. 2.3 – Спектр идеального полосового сигнала
S(t)
t
Рис.2.4 – Временная характеристика идеального полосового сигнала
Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные
классы ортогональных сигналов. Простейший пример – два ортогональных
полосовых сигналов, области которых не пересекаются. Равенство нулю
скалярного произведения этих сигналов непосредственно следует из
обобщенной формулы Рэлея [1].
Другой очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным
спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных
низкочастотных сигналов u(t) и v(t), при этом сигнал u(t) запаздывает по
отношению к сигналу v(t) на время t0, так что его спектральная плотность V(ω) =
U(ω)exp(-jωt0).
Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные
плотности:
22
0
22
0 0 0
0
sin
( , )
2
в
в
jt
в
в
S S t
v u e d
t
−
==
Скалярное произведение обращается в нуль, и два одинаковых по форме
идеальных низкочастотных сигналов оказывается ортогональными, если:
0
,( 1, 2, 3.....)
в
t k k
= =
.
Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации,
получается при k=1 или -1, это соответствует:
0
1
2
вв
t
f
= =
t0 = 1/2f
в
t
S(t+t
0
)
S(t)
Рис. 2.5 – Временные зависимости ортогональных функций, сдвинутых во
времени
Из рассмотренного выше следует путь построения бесконечного
ортогонального базиса, который может служить координатной системой для
разложения произвольного сигнала со спектром, ограниченным частотой ω
в
.
2.2 Теорема Котельникова
В свою время В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из
фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема
устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных
значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отчетных значений,
взятых через равные промежутки времени.
23
Теорема Котельникова: любая непрерывная функция, спектр которой не
содержит частот выше ωв, полностью определяется своими отсчетами,
взятыми через интервал времени: Δt =π/ωв=1/2fв .
На рисунке 2.6 приведен пример дискретизации непрерывного аналогового
сигнала.
S(t)
t
Δt
S(kΔt)
Рис.2.6 – Образование дискретного сигнала S(kΔt) после операции
дискретизации S(t)
Как правило, спектр реального сигнала бесконечен, поэтому необходимо
ограничить полосу частот с помощью фильтра (рисунок 2.7)
ω
в
ω
S(ω)
Рис.2.7 – Идеальное ограничение спектра непрерывного сигнала
При идеальном ограничении спектра непрерывного сигнала, спектр после
операции дискретизации представлен на рисунке 2.8, где график спектра
построен при использовании интервала Котельникова Δt =π/ωв=1/2fв .
В настоящее время для ограничения спектра исходного сигнала используется
цифровая фильтрация, которая позволяет получить резкий спад передаточной
функции фильтра, так как при аналоговой фильтрации этого получить не
удается.
24
S
диск.
(ω)
ω
в
ω
дис.
=2ω
в
0
ω
S
неп..
(ω)
Рис.2.8 – Спектр сигнала после операции дискретизации по теореме
Котельникова
На рисунке 2.8 изображена только часть спектра дискретизированного
сигнала, до частоты 2ωв+ ω
в
, который будет рассмотрен в дальнейшем. Полный
спектр дискретизированного сигнала будет включать в себя боковые
составляющие исходного непрерывного сигнала относительно центральной
частоты 2 ω
дис
, 3ω
дис
, 4 ω
дис
. . . . n ω
дис.
. Как следует из рисунка, информация
об исходном сигнале лежит в диапазоне частот от 0 до ω
в
. Таким образом,
устройством, который выделит непрерывный сигнал, будет фильтр нижних
частот (ФНЧ).
Для восстановления исходного сигнала необходимо воспользоваться рядом
Котельникова:
sin ( )
( ) ( )
()
k
в
k
в
t k t
S t S k t
t k t
=
=−
−
=
−
(2.5)
где S(t) – восстановленный сигнал, S(kΔt) - отсчеты сигнала, которые получены
при дискретизации с интервалом Котельникова, равного Δt=1/2fв,
sin ( )
()
в
в
t k t
t k t
−
−
- импульсная реакция идеализированного
низкочастотного фильтра, другими словами, набор ортогональных функций,
показанных на рисунке 2.5.
В отличие от идеализированного фильтра нижних частот, реальный фильтр
имеет АЧХ и ФЧХ, значительно отличающееся от идеального фильтра, а
именно, неравномерную АЧХ в полосе пропускания и нелинейную ФЧХ.
Неравномерная ФЧХ отличается различным временем запаздывания гармоник
сигнала.
На рисунке 2.9 показан процесс восстановления исходного непрерывного
сигнала по отсчетам Котельникова [5].
25
S(k∆t)
S(–∆t) sinΩ
m
(t+k∆t)
Ω
m
(t+k∆t)
S(0) sinΩ
m
t
Ω
m
t
S(2∆t) sinΩ
m
(t–2∆t)
Ω
m
(t–2∆t)
S(t)
t
t
t
t
t
t
t
Рис. 2.9 – Процесс восстановления сигнала по отсчетам Котельникова
S(kΔt)
2.3 Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных
сигналов
Теорема Котельникова справедлива только для сигналов с ограниченным
спектром. Однако спектры реальных сигналов бесконечны, так как они, как
правило, существуют на ограниченном промежутке времени. В этом случае
теорема Котельника справедлива с погрешностью. Погрешность ΔEп в
соответствии с рисунком 2.10 можно определить как:
2
()
в
п
Е S j d
=
26
ω
ω
в
S(ω)
0
Рис.2.10 – Спектр сигнала, ограниченного частотой ωв
Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность АЧХ и ФЧХ
восстанавливающего ФНЧ. Происходит изменение импульсной реакции ФНЧ по
оси времени, смещение sinx/x.
С другой стороны, следует учитывать результат ограничения спектра сигнала
до операции дискретизации и наличие помех в области от ω
в
до ωД (рисунок
2.11). При использовании аналогового фильтра не удается убрать частоты
спектра превышающие ω
в
и часть помех.
Спектр непрерывного
сигнала
Спектр помехи
ω
S(ω)
ω
Д
=2 ω
в
ω
в
Рис.2.11 – Спектр сигнала до операции дискретизации при применении
аналогового фильтра
Как показано на рисунке 2.12, в условиях, описанных выше, и при частоте
дискретизации согласно теоремы Котельникова, спектр отсчетов непрерывного
сигнала в области от 0 до ω
в
включает в себя и помеху, и спектр не полностью
отфильтрованного сигнала (искажения).
27
ω
S(ω)
ω
в
ω
Д
=2 ω
в
помеха
искажения
Рис. 2.12 – Спектр дискретизированного непрерывного сигнала согласно
теореме Котельникова
В современных цифровых системах для устранения помех и искажений
используется дискретизация на частоте в 3 – 5 раз выше 2 ω
в
. Получаемый при
этом сигнал, фильтруется цифровых фильтров, а затем считывается с
необходимой частотой.
2.4 Контрольные вопросы и задачи
2.4.1 Каким образом можно качественно оценить и сравнить между собой
требуемую частоту дискретизации по временным диаграммам двух различных
сигналов, подлежащих амплитудно-импульсному преобразованию на примере
рисунка 2.13.
t
X(t)
Y(t)
Рис.2.13 – Пример двух сигналов для операции дискретизации
2.4.2 На примере математического выражения ряда Котельникова необходимо
дать пояснение компонентам, входящих в формулу (2.5).
2.4.3 Какую форму приобретет спектр сигнала на выходе модулятора, если на
вход будет подан сигнал вида (рисунок 2.14), при этом отсчеты берутся как в
соответствии с теоремой Котельникова, так и в 2 раза чаще. Рассмотреть для
разных максимальных значений частоты спектра.
28
S(f)
f
f
max
1
f
max
2
Рис.2.14 – Спектр исходного сигнала с разными вариантами определения
максимальной частоты спектра
2.4.4 Объяснить принцип восстановления сигнала с ограниченным спектром
по отсчетам Котельникова с помощью идеального фильтра нижних частот.
2.4.5 С какой целью ограничивают ширину спектра непрерывного сигнала,
передаваемого по каналу связи отсчетами Котельникова?
2.4.6 Приведите математическое выражение и графики амплитудно-
частотной и фазо-частотной характеристик идеального ФНЧ.
2.4.7 Выберите частоту дискретизации для импульсной передачи сигнала
тональной частоты со спектром 0,3 – 3,4 кГц.
2.4.8 Приведите выражение, описывающее импульсную характеристику
идеального ФНЧ и изобразите график.
2.4.9 На вход амплитудно-импульсного модулятора с частотой дискретизации
f
диск.
= 200 кГц подается непрерывный сигнал. Какой может быть максимальная
частота в спектре этого сигнала, чтобы амплитудно-импульсной преобразование
осуществлялась без помех
2.4.10 Пояснить особенности характеристик реальных фильтров нижних
частот по сравнению с характеристиками идеального ФНЧ.
2.4.11 Графически изобразите случай, когда отсчеты берутся недостаточно
часто для того, чтобы можно было воспользоваться рядом Котельникова для
точного отображения сигнала.
2.4.12 Объясните причины погрешности восстановления реальных сигналов.
2.4.13 Изобразите графики нескольких функций, принадлежащих базису
Котельникова. Перечислите их характерные свойства.
2.4.14 Какая взаимосвязь между импульсной характеристикой фильтра и его
комплексным коэффициентом передачи на основе преобразования Фурье.
2.4.15. Синусоидальный (гармонический) сигнал с частотой f = 2кГц
дискретизируется с частотой f
диск.
= 10кГц. Нарисовать временную и
спектральную диаграмму сигнала на выходе модулятора.
2.4.16 Запишите формулу ряда Котельникова и сформулируйте
соответствующую теорему.
29
2.4.17 Изобразите спектральную диаграмму сигнала на выходе модулятора
для случая, когда отсчеты сигнала с ограниченным спектром берутся в 2 раза
чаще, чем это необходимо по теореме Котельникова.
30
3 Модулированные аналоговые сигналы
3.1 Сигналы с амплитудной модуляцией.
Сигналы, поступающие из источника сообщений (микрофон, телевизионная
камера, датчик телеметрической информации), как правило, не могут быть
непосредственно переданы по радиоканалу. Дело не только в том, что эти
сигналы недостаточно велики по амплитуде. Гораздо существеннее их
относительная низкочастотность, да еще полоса частот часто совпадает, что
мешает их уплотнению по каналу. Для осуществления эффективной передачи в
какой-то среде, необходимо перенести спектр этих сигналов из низкочастотной
области в область достаточно высоких частот. Кроме того, для уплотнения
канала связи, увеличению количества абонентов, тоже требуется перенос
спектра исходного низкочастотного сигнала в область высоких частот. Данная
процедура получила в радиотехнике название модуляции [6].
Рассмотрим перенос спектра сигнала в область высоких частот.
Предварительно в передатчике формируется вспомогательный высокочастотный
сигнал, называемый несущим колебанием. Его математическая модель u(t) = f(t;
a1 ,a2 ,a3 , . . . . am ) такова, что имеется некоторая совокупность параметров a1
,a2 ,a3 , . . . . a
m
, определяющих форму этого колебания. Итак , S(t) -
низкочастотное сообщение, подлежащее передаче по радиоканалу. Пусть хоть
один из указанных параметров изменяется во времени по закону передаваемого
сообщения, то несущее колебание приобретает новое свойство – оно несет в себе
информацию, которая первоначально была заключена в сигнале S(t).
Физический процесс управления параметрами несущего колебания и является
модуляцией.
Амплитудная модуляция в свое время получила широкое распространение,
которая использует в качестве несущего сигнала, простое гармоническое
колебание (гармонический переносчик информации):
U
г
(t) = Ucos(ωt+φ),
имеющие три свободных параметра U, ω, φ.
Изменяя по закону модулирующего сигнала, любой из перечисленных
параметров, можно получать различные виды модуляции.
Если параметров окажется амплитуда сигнала U(t), причем остальные
параметра ω и φ неизменны, то имеется амплитудная модуляция несущего
колебания. Форма записи амплитудно-модулированного, или АМ-сигнала,
такова:
uАМ (t) = U(t)cos(ω0 t+φ0).
На рисунке 3.1 представлены временные зависимости модулирующего
сигнала и АМ- сигнала
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]