Применение математических основ метрологии при оптимизации режимных параметров методов и основных конструкционных размеров устройств для измерения теп

()(

τθ=∞θ−τθ=

θ

∞

(

∞θ−τ=

(

=∞=

(

−τ=

Rt

)τ,(

1

0)τ,(θ)τ,(

== RRt

4444

+= θ)τ,()τ,(

RTRt

∞

1411

)τ,(

RT

11

)τ,(11RT

T

∞

τ

Rt

)τ,(

11

RR −

4411

0τ =

I

II

0τ =

),(θθ

∞=∞R

)τ,(θ)τ,(θ

11

τ

III

Рис. 2.6. Изменения температур в сечении радиуса r = R1

в процессе трех стадий эксперимента: I, II, III

этап считается законченным, когда температура t1 (R1, τ) измерительного устройства в коаксиальном цилиндрическом сечении r = R няется с температурой термостатной жидкости t

, τ) = 0, условно

4 (R4

принимаемой за начало отсчета температуры.

На втором этапе начинают вращать при помощи электропривода постоянного тока наружный цилиндр с заданной угловой скоростью ω и через равные промежутки времени Δτ

измеряют с помощью термо-

2

метров сопротивления 6, 8 и мостовой измерительной схемы разность температур

θ ,,,

)( )

RRR

до тех пор, пока

iii

114411

не будет достигнуто новое, практически постоянное значение

()

R . Здесь буквой

∞

const,

=∞θ=θ

11

обозначены значения темпера-

тур, измеряемых на втором этапе эксперимента.

На третьем этапе эксперимента подают электрическую мощность на нагреватель 5 и, начиная с этого момента, через равные промежутки времени Δτ

()()

−τ= ,,

RTRTT

ii

4411

чивают в момент времени, когда величина постоянной. Здесь

регистрируют разности температур

3

RTT ,

11

)( )

i

)

разность между фактически изме-

ii

,,

RRt

. Эксперимент закан-

1111

i

,

11

)

TRTT

∞

урав-

1

станет

71

ряемой температурой

(

τ

(

τ

λ

()(

(

τ<<

(

r

()(

()

∞θ=θ

,

∞

R , установившимся в конце второго этапа.

11

)

Rt

,

и значением температуры

i

11

После окончания третьего этапа по измеренным значениям температур

()

R τθ ,

и

i

11

)

RT

,

с учетом известного значения удельной

i

11

поверхностной мощности q электронагревателя 5 вычисляют значения искомых вторых диагональных компонентов

проводности Λ и температуропроводности

Α

a,

тензоров тепло-

rrrr

.

2.2.2. Математическая модель метода и измерительного устройства. Алгоритмы вычисления искомых теплофизических характеристик

исследуемой жидкости по экспериментальной информации

Математическая модель температурного поля рассматриваемого

измерительного устройства (рис. 2.5), имеет вид

)

∂

rt

τ,

⎛

∂

r

⎜ ⎝

∂

rrc

)

rt

τ,

⎞ ⎟

⎠

r

∂

)

τ,

rt

⎞ ⎟

r

⎠

∂

rt

⎛

44

r

⎜ ⎝

∂

RrR

)

τ,0

∂

t

1

⎞

1

⎟ ⎠

∂

r

RrR

21

><<

RrR

32

><<

Rr

1

;0τ,,

><<

(2.25)

;0τ,,

(2.26)

44432

RR

τ,

⎞

+

⎟ ⎠

cr

;0,43>

(2.27)

;0

=

(2.28)

ω4

μ

2

4

2

ρ

()

xxxx

4

rRR

−

3

(2.24)

;0τ,0,

,

()

rt

∂

τ

∂

()

∂

rt

∂

τ

∂

rt

∂

τ

λ

τ,

∂

22

=

ρ

22

λ

33

=

ρ

33

() ()

τ,

rt

=

∂

τ

λ

τ,

1

∂

1

∂

rrc

λ

ρ

1

11

=

ρ

11

∂

⎛

∂

2

r

⎜ ⎝

rrc

∂

⎛

3

r

⎜

∂

⎝

∂

1

rr

∂

rrc

∂

)

+=−

,τ,0τ,0

1211

()

2

+=−

2322

λ

3

τ,0

+∂

Rt

12

∂

r

)

,τ,0τ,0

()

Rt

+∂

33

r

∂

);τ(

=

q

τ,0

;0

=

(2.29)

(2.30)

72

⎧ ⎪

()

−∂

⎨ ⎪

⎩

Rt

λ

11

1

∂

r

⎧ ⎪ ⎨

⎪ ⎩

()

Rt

−∂

λ

2

22

r

∂

RtRt

τ,0

λ

−

RtRt

τ,0

−

()(

)

(

=

()()()(

===

=

−

(

)

+=−

⎧ ⎪ ⎨

()

−∂

τ,0

Rt

λ

3

⎪

где

⎩

,,, tttt – температуры 1, 2, 3 и 4 слоев, К; ω – угловая скорость

4321

∂

r

Rt (2.32)

вращения внешнего цилиндра H, с

RtRt

3433

−

λ

44

–1

,τ,0τ,0

()

+∂

Rt

rr

)

3433

∂

r

;0τ,

rtrtrtrt

4321

(2.31)

τ,0

=

;0

)

,00,0,0,0,

(2.33)

; τ – время, с; R1, R2, R3 – внешние

радиусы первого, второго и третьего слоев внутреннего цилиндра, м;

R

– внутренний радиус внешнего цилиндра Н, м;

4

λ,λ,λ коэффи-

321

циенты теплопроводности первого, второго и третьего слоев внутреннего цилиндра, Вт/мК; с жидкости, Дж/(м

3

⋅К);

теплопроводности Λ исследуемой жидкости, Вт/мК; с объемная теплоемкость первого, второго и третьего слоев внутреннего цилиндра, Дж/(м

2

Вт/м

; μ – эквивалентная динамическая вязкость неньютоновской ис-

3

⋅К); q(τ) – удельная мощность источника теплоты,

– объемная теплоемкость исследуемой

xρx

λ второй диагональный компонент тензора

rr

, с2ρ2, с3ρ3 –

1ρ1

следуемой жидкости, Па⋅с.

Решение задачи (2.24) – (2.33) можно представить в виде

tj (r, τ) = Tj (r, τ) + θj (r, τ), j = 1, 2, 3, 4,

где Tj (r, τ) – решение задачи (2.24) – (2.33), при q(τ) ≠ 0 и ω = 0; θj (r, τ) – решение задачи (2.24) – (2.33), при q(τ) = 0 и ω ≠ 0.

2.2.2.1. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ

КОЭФФИЦИЕНТА ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ

С использованием интегрального преобразования Лапласа

*

() ()

задача (2.24) – (2.33) для функции

∞

,τ)τ(exp,θ,θ

dpprpr

jj

∫

0

−=

j

j = 1, 2, 3, 4,

j = 1, 2, 3, 4 (при q (τ) = 0 и

,τ,θ r

ω ≠ 0) была преобразована к виду

*

⎡

1

x

⎢

dxdx

⎣

x ===

⎤

()

pxd

,θ

1

⎥

dx

⎦

p

a

1

*

()

1

gr

11

<<>=−

,0,0,0,θ

gxppx

11

p

,,

a

1

λ

1

(2.34)

aR

11

;

ρ

c

11

73

*

<

(

()()(

⎡

1

x

⎢

dxdx

⎣

p

x ====

a

2

*

⎡

1

dxdx

x ====

1

3

x

⎢ ⎣

p

a

3

⎡

x

⎢

dxdx

⎣

x

a

*

()()

1

*

()()

2

*

()()

3

Общие решения уравнений (2.34) – (2.37) имеют вид [115]:

*

()()()

4

* 211

*

322

*

( ) ( ) () ( ) ()

1

*

( ) ( ) () () ()

2

*

()()()

3

⎤

()

,θ

pxd

2

⎥

dx

⎦

gr

21

⎤

()

,θ

pxd

⎥

dx

⎦

gr

32

*

⎤

()

,θ

pxd

4

⎥

dx

⎦

p

gr

λ,,θ,θ

*

433

λ,,θ,θ

*

()

2

p

gR

a

2

* 3

p

a

3

221

()

gR

332

*

()

,θ

px

4

−=−

>

p

a

rrrr

* 1

R

4

hR

3

R

3

()

,0θ

pd

=

dx

*

()

,θ

pgd

11

1

gpgpg ==

11121

dx

*

()

,θ

pgd

22

2

gpgpg ==

22232

dx

*

()

,θ

pgd

33

3

gpgpg

333

dx

*

)

4

=phg (2.42)

)()

p

aR

,,,

a

2

p

a

3

22

aR

,,,

33

ω4μ

2

()

−λ

4

rrrr

,,0 hgxgp

λ

a

==== (2.37)

,,,

rr

c

;0

(2.38)

λ

g

212

λ

g

323

g

λ

==

rr

.0,θ

)

00807

74

,,0,0,θ

gxgppx

<<>=−

2221

λ

2

;

(2.35)

c

ρ

22

,,0,0,θ

gxgppx

<<>=−

3332

λ

3

;

(2.36)

c

ρ

33

44342

RR

2

3

rr

ρ

xx

*

2

,

2

4

xRRa

;

()

,θ

pgd

21

;

(2.39)

dx

*

()

,θ

pgd

32

3

;

(2.40)

dx

*

()

pgd

,θ

4

(2.41)

;

dx

;0,,θ

gxxKpCxIpCpx <<+= (2.43)

110201

;,,θ

gxgxKpCxIpCpx <<+= (2.44)

22210403

;,,θ

gxgxKpCxIpCpx <<+=

(2.45)

33320605

,,,θ

hgxgxMFxKpCxIpCpx <<++=

(2.46)

где

∞

()()()()(

=

()()()()()(

()()()(

)

=

+

M

=

W

(x) = I0(x) K1(x) + I1(x) K0(x); In(x), Kn(x) – модифицированные функ-

1

ω4μ

2

()

λ

−

4

rrrr

,

2

RRa

3

() ()

44432

RR

hg

()

dxxI

0

xKxF

00

x

()

1

4

xxW

hg

0

()

−=

xI

0

∫∫

1

x

ции Бесселя и Ганкеля порядка n (n = 0, 1) [115].

Из (2.43) и (2.38) следует

С учетом того, что ,=(0)

C

(p) = 0. Следовательно,

2

*

()()()

1

*

()

,0θ

pd

1

dx

K из последнего равенства получаем

1

,θ = или

xIpCpx

01

.0)0()()0()(

=−= KpCIpC

1211

*

()()()

1

.,θ

gIpCpg = (2.47)

110111

Если из эксперимента определена величина

gKpCgIpC

32163215

()

xK

1

∞

∫

0

()

pC =

1

gKpCgIpC

11817

hg

x

==+

−=−

()

0

()

1

,ττexpτ,θ,θ dpgpg

*

pggIpCgKpCgIpC

,,θ

11

э1110121042103

(2.39а)

gIpC

;

1111

)

,

gKpCgIpCgKpCgIpC

2204220332063205

;

gKpCgIpC

22142213

+=++

)

gKpCgIpCgMFgKpCgIpC

3306330500807

−=−−

,0

dxxK

.

4

xxW

11

э1

*

()

э1

()

g

λ

=−

21142113

g

λ

−=

,θ

pg

11

.

(2.48)

gI

110

111

()( )

212

+

λ

g

222

[]

()( ) () ( )

λ

g

323

g

λ

333

[]

gMFgKpCgIpC

()

0

()

1

λ

rr

dxxI

+=−=

4

xxW

()( ) () ( )

g

hgKpChgIpC (2.42a)

0807

hg

()

xI

1

∫∫

x

*

() ()()

11

э1

то из (2.47) следует

Подставив (2.43) – (2.46) в (2.39) – (2.42), получим систему уравнений

⎧

() ( ) () ( ) () ( ) ( )

⎪ ⎨

()( ) () ( )

⎪ ⎩

() ( )()

⎧

+

⎪ ⎨

()( ) () ( )

⎪ ⎩

() ()()

⎧ ⎪

⎨

() () () () ()

⎪ ⎩

()

xdF

где

()

xF

1

0

dx

()

dxxK

4

()

xxW

(2.40a)

,

gKpCgIpC

33163315

(2.41а)

75

,

;

Если заданы p и

(

()(

*

э1

свойств

gggg ,,,

), то последовательно можно найти С3(p), С4(p) из сис-

333221

темы уравнений (2.39а); С

(p), С8(p) и M – из системы уравнений (2.41а) и (2.42а). Зная M, мож-

С

7

но вычислить величину динамической вязкости

)

pg ,θ

и известны значения теплофизических

11

aaaa ,λ,,λ,,λ,,λ

(следовательно, если известны ,

332211

=

rrrr

(p), С6(p) – из системы уравнений (2.40а);

5

2

)

RR

−

3

4

a

λμ

rrrr

ω4

.

M

(2.49)

43442

RR

g

11

2.2.2.2. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА

ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Аналогично, с использованием преобразования Лапласа

*

∞

() ()( )

jj

∫

0

∞

*

() () ( )

∫

0

−=

=−=

jdprTprT

;4,3,2,1,ττexpτ,,

,ττexpτ

dpqpq

задача (2.24) – (2.33) для функции Tj (r, τ) (при q (τ) ≠ 0 и ω = 0) была преобразована к виду

1

dxdx

⎡

1

⎢

dxdx

⎣

⎡

1

⎢

dxdx

⎣

1

dxdx

⎡

x

⎢ ⎣

x

⎡

x

⎢ ⎣

*

()

pxdT

,

1

dx

*

⎤

()

pxdT

,

2

3

⎥

dx

⎦

*

⎤

()

,

pxdT

⎥

dx

⎦

*

()

,

pxdT

4

dx

⎤ ⎥ ⎦

*

⎤

*

⎥

4

⎦

*

()

*

()

1

p

(2.50)

;,0,0,0,

xgxppxT

111

22212

xgxgppxT

33323

=<<>=−

xhgxgppxT

,0

pdT

(2.54)

,0

=

r

=<<>=−

a

1

p

(2.51)

;,,0,0,

=<<>=−

a

p

a

rr

r

a

2

p

(2.52)

;,,0,0,

r

3

;,,0,0,

r

(2.53)

xgxgppxT

=<<>=−

dx

*

1

*

211

)

;,,

pgTpgT =

21

76

*

()(

)

()()(

(

()()()()()(

() ()

11

λ

1

g =−

111

dx

λ

2

g =

222

g

λ

333

,

pgdT

λ

*

2

*

()

,

pgdT

22

dx

*

()()

3

*

()

,

33

3

dx

*

4

*

,

pgdT

21

2

g

212

dx

*

pgTpgT =

32

322

*

λ

pgdT

=

()

3

g

323

*

pgTpgT =

433

g

λ

rr

.0,

=phgT (2.58)

*

()

Rpq

;,,

()

,

pgdT

32

,

(2.56)

dx

;,,

*

()

pgdT

,

4

,

(2.57)

dx

(2.55)

,

1

Общие решения уравнений (2.50) – (2.53) имеют вид (2.43) – (2.46), если положить M = 0 в формуле (2.46). По аналогии с изложенным выше получаем

*

()

,

pgT

11

э1

pCpC ==

– экспериментально измерен-

ττexp,,

dpgTpgT −τ=

,

()

gI

110

(2.59)

где

() ()

,0

12

∞

*

() ()()

э1

*

11

э111

∫

0

ное значение.

Подставив (2.43) – (2.46) при M = 0 в (2.55) – (2.58), получим систему уравнений:

⎧

() ( ) () ( ) () ( ) ( )

⎪

⎪ ⎨

()( ) () ( )

⎪ ⎪

⎩

() ( )

⎧ ⎪

⎨

()( ) () ( )

⎪ ⎩

[]

λ

gKpCgIpC

=−

21142113

()( ) ()

)( )()

g

λ

222

gKpCgIpC

32163215

[]

g

λ

323

*

==+

1111111

g

λ

212

+=+

()( ) () ( )

pgTgIpCgKpCgIpC

,,

11

э1110121042103

*

−

−=−

RpqgIpCg

1

gKpCgIpCgKpCgIpC

2204220332063205

(2.55a)

;

)

,

gKpCgIpC

22142213

(2.56a)

() ()

⎧ ⎪

⎨

()() () ()

⎪ ⎩

+=+

λ

g

333

[]

gKpCgIpC

1817

λ

rr

()( ) () ( )

g

−=−

)

,

gKpCgIpCgKpCgIpC

330633050807

(2.57а)

;

gKpCgIpC

33163315

77

;

()()(

)()

=

+

()()()(

[

(

[

]

()()()(

[

(

)

(

)

[

]

∞

=

hgKpChgIpC

Система уравнений (2.55a) – (2.58a) используется для определения величин λ и a. Для достижения этой цели перепишем уравнение (2.57б) в виде

=

rr

Зададимся двумя значениями параметра преобразования Лапласа

p

= p и p2 = kp, где k = const (k > 1). Подставив второе значение p2 = kp

1

в (2.60), получим

=

λ

rr

Поделив (2.60) на (2.61), получим уравнение

[]

×

Порядок вычисления С3(p) – С8(p), arr, λrr следующий. При двух значениях преобразования Лапласа p вычисляют: С

С

), j = 1, 2 – из системы уравнений (2.56a); g, С7(pj), С8(pj),

6(pj

j = 1, 2 – из системы уравнений (2.57a), (2.58a), (2.62). С учетом того,

что

grr=

a

Величину λrr вычисляют по формуле (2.60) или (2.61).

2.2.2.3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Если в задаче (2.24) – (2.33) положить q = 0, ω = const и в результате решения получившейся стационарной задачи для

()

j

лофизического параметра μ / λ

78

), С4(pj), j = 1, 2 – из системы уравнений (2.55a); С5(pj),

3(pj

p

вычисляют

,

R

3

4,3,2,1,,θ =∞ jr

[]

()() () ()

()

λ

[]

()

−

()

[]

()() () ()

легко выводится формула для вычисления реотеп-

−

λ

a

rr

c

, представляющего собой отношение

rr

0807

−λ

−

)

()

−

()

−

()

1817

= p и p2 = kp последовательно

1

2

pR

rr

ρ

3

==

2

g

xx

.0

(2.58a)

)

]

gKpCgIpCg

33163315333

(2.60)

gKpCgIpCg

1817

()

1817

)

]

gKpCgIpC

33163315

()

gkKkpCgkIkpC

33163315

gkKkpCgkIkpC

1817

gKpCgIpC

.

(2.63)

.λ

)

gkKkpCgkIkpCg

33163315333

gkKkpCgkIkpCg

×

.1

=

(2.62)

. (2.61)

τ

, то

динамической вязкости μ ко второму диагональному компоненту λrr

(

−∞−

(

∞

θ

(

)

=

∞

()()(

)

(

()(

∞−∞=∞

тензора теплопроводности

μ

где

λ

rr

()()

∞

∞=

=

ω

⎡

⎛

44432

⎜

RR

⎢

⎜

⎢

⎝

⎣

,θ,θθ

RR

4411

разности между температурой нии радиуса r = R

()

и температурой внешнего цилиндра

1

0,44=∞= Rt

.

4

−

2

4

установившееся стационарное значение

2

)

θ

RR

−

3

∞

⎞

211

⎟

()

2

⎟

RRR

⎠

3

)

,11R внутреннего цилиндра в сече-

lnln

−+

, (2.64)

⎤

RR

⎥

34

⎥

⎦

,θ44R

Аналогично, если в математической модели (2.24) – (2.33) положить q = const, ω = 0, τ = ∞, то в результате решения получившейся стационарной задачи для функции

3, 4, легко выводится формула

λ

=

rr

⎧

T

⎪

∞

⎨ ⎪

qR

⎩

ln

()

ln

λ

1

2

)

RR

34

()

ln

RR

12

−−

λ

, (2.65)

⎫

RR

⎪

23

⎬ ⎪

⎭

3

jjj

, j = 1, 2,

∞−∞=∞ ,θ,, rrtrT

позволяющая вычислить λrr по стационарной разности температур

()()

∞

−∞=

.

)

,θ,,,

RRtRTRTT

11114411

2.2.3. Состав и алгоритм функционирования

автоматизированной системы научных исследований

Рассмотренные в п. 2.2.1 методика проведения эксперимента и в п. 2.2.2 алгоритмы обработки экспериментальных данных являются довольно сложными. Без применения средств вычислительной техники реализовать эту методику и алгоритмы обработки информации практически невозможно. Поэтому, в целях повышения эффективности теплофизических измерений, была изготовлена автоматизированная система научных исследований (АСНИ) ТФХ [4, 8], которая обеспечивает автоматическое проведение

всех операций эксперимента по определению ТФХ жидкостей: нагрев, измерение и регистрация температуры, анализ хода эксперимента, переход от второго к третьему этапу эксперимента, регистрация времени эксперимента, расчет ТФХ жидкостей.

В состав АСНИ ТФХ входят следующие функциональные блоки: измерительно-вычислительный комплекс (ИВК) на базе IBMсовместимого компьютера, имеющий в своем составе

процессор, АЦП,

79

ЦАП, таймер, дисплей и печатающее устройство; измерительное уст-

=

(

)

−=α

−

α

(

)

(

=

−

ройство; блок согласования измерительного устройства с ИВК; блок питания; термостат жидкостный; электропривод постоянного тока.

Перед началом эксперимента проводят подготовительный этап согласно описанной ранее методике проведения эксперимента, поместив в зазор между цилиндрами В и Н исследуемую жидкость.

Затем с клавиатуры ИВК вводят дату

и время начала эксперимента, название исследуемой жидкости, скорость вращения внешнего цилиндра, после чего приводят во вращение при помощи электропривода постоянного тока внешний цилиндр с заданной угловой скоростью. С этого момента времени в память ИВК через АЦП поступает с интервалом времени Δτ ного моста U

сечении радиусом R

, задаваемым таймером, выходное напряжение измеритель-

2

(см. рис. 2.5), по которому производится расчет разности

i

()

R τ,θθ11=

между температурой в коаксиальном цилиндрическом

ii

и температурой внешнего цилиндра по формуле

1

mU

θ , (2.66)

ii

где m – коэффициент пропорциональности между разностью темпера-

θ

тур

и выходным напряжением измерительного моста U

i

шаге измерения производится расчет критерия:

. На каждом

i

θθθ

, где

iniii

−

−iθ разность между температурой внешнего цилиндра и температурой

внутреннего цилиндра в коаксиальном цилиндрическом сечении постоянного радиуса R

на последнем i-м шаге измерения;

1

θ

раз-

−ni

ность между температурой внешнего цилиндра и температурой внутреннего цилиндра в коаксиальном сечении постоянного радиуса R на i–n шаге измерения, где n – постоянное целое число. Как только величина критерия

малой величины этом в памяти ИВК остаются все значения разностей температур

станет меньше или равной заранее заданной

i

, второй этап эксперимента заканчивается. При

2min

θ ,

i

в том числе последнее значение разности температур

=∞= θ,θθ

R

L

11

, где L – номер последнего шага измерения.

∞

На третьем этапе эксперимента подается постоянная электриче-

ская мощность на нагреватель 5 (см. рис. 2.5). Начиная с этого момента времени, через интервал времени Δτ значения выходного сигнала измерительного моста U по формуле (2.66) значения разности температур

измеряются посредством АЦП

3

и вычисляются

i

)

Rtt τ,

.

ii

11

На каждом временном шаге при этом осуществляется вычисление

разности температур

80

θ

=tT , а также вычисление критерия

∞

ii

1