Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение математических основ метрологии при оптимизации режимных параметров методов и основных конструкционных размеров устройств для измерения теп
.pdf
ТФС из-за нелинейностей, не учитываемых линейной краевой задачей
[
≈
−
=τ⋅⋅=
τ≤τ
≤
≤
≤
[
=
−
(
δ
(3.18) – (3.21).
]
const
Для выполнения этого требования (что
каждом значении длительности τ
теплового импульса плоский нагре-
и
ватель должен обеспечивать создание теплового потока ,
TT
0max
P
qc= при
) при
2S
котором к единице площади сечения внутри образца в каждом эксперименте подводится постоянное количество теплоты
qQ (3. 38)
и
cn
Выше использованы обозначения:
.const2
P
q
=
– тепловой поток, под-
c
S
2
водимый нагревателем мощности P и площадью S к нижней стороне
средней пластины образца в течение промежутка времени
.0
u
Проведенные численные расчеты и экспериментальные исследования показали, что при исследовании образцов теплоизоляционных
мм55,2
материалов с толщиной средней пластины
]
ния разности температур
теплоты
Q следует поддерживать в пределах
n
P
Q
n
S
TT °C, суммарное количество
0max
=τ=
и
00080...00050
7...3
x
⎡
⎤
Дж
⎢
⎥
2
⎣
⎦
м
.
для получе-
Результаты, приведенные ранее в работах [16, 83, 180] , были по-
Дж
⎤
⎡
лучены при
Q
00055
=
n
Поэтому приведенные ниже на рис. 3.14
.
⎥
⎢
2
⎦
⎣
м
и рис. 3.15 данные и результаты определения оптимального значения
опт
обеспечивающего получение минимальных погрешностей
,
τ
и
()
δλ
и
измерения a и λ, также были получены при .
ск
Q
=
00055
n
⎡
⎢
⎣
Дж
м
)
a
ск
⎤
⎥
2
⎦
Рассмотрим подробнее вычисление составляющей погрешности
,cqδ входящей в формулу (3. 37). Из изложенного выше следует
P
qи
,
=
c
(3.39)
S
22
т.е.
Q
n
q
=
c
τ
и
Q
P
n
При этом, электрическую мощность P, подведенную к
.
=
S
22
τ
и
плоскому нагревателю, следует выбирать из соотношения
131
⋅=SQ
(
[][
=−=−τ
=
=
≈
δ
δ
(
τ
=
Δ
n
P
Для обеспечения требования, что
const
Q
,const= при
n
S величину электрической мощно-
и
.
(3.40)
τ
и
)
, TTTxT
,const
]
0max0max
сти, подведенную к нагревателю, следует выбирать по формуле (3.40).
Если
Дж
⎡
=
00055
n
⎤
⎢
⎥
2
м
⎣
⎦
2
то,м01,0,
550
[]
(3.40а)
PSQ
==
τ
.Вт
и
Принимая во внимание, что наиболее точно измеряемой физической величиной в наши дни является время τ, будем считать, что длительность
τ теплового импульса задается с высокой точностью, а
и
относительная погрешность величины заданного промежутка времени
%.0
0 τ≤τ< стремится к нулю, т.е.
и
носительной погрешности
τ
и
,
q
входящей в формулу (3. 37), восполь-
c
Тогда для вычисления от-
зуемся соотношением (3. 39).
После логарифмирования (3. 39), определения дифференциалов
от левой и правой частей и выполнения других рекомендаций теории
погрешностей [4 – 8, 163], получаем формулу
⎡
22
=δ+δ=δ
и
=δλ
)
SPq
⎡
Δ
⎢
()
P
⎢
⎣
2
1
⎢
⎢
⎣
2
⎤
P
⎥
τ
⎥
и
⎦
()
() ()
c
в которой величину
После подстановки (3. 41) в (3. 37) получаем
⎡
1
+
⎢
⎢
F
⎣
P вычисляли по формуле (3.40а).
()
ск
()
dF
γ
⋅
γ
d
γ
2
⎤
Δ
P
+
⎥
()
τ
P
⎥
и
⎦
() ()
2
⎤
TT
−δ⋅+γ⋅
+
⎥
0max
⎥
⎦
2
Δ
S
⎤
⎡
,
(3.41)
⎥
⎢
S
⎦
⎣
22
+δ+δ+
xS
2
⎡
Δ
⎢
[]
()
,
⎢
⎣
⎤
T
−τ
.
⎥
TxT
⎥
⎦
0
(3.42)
При вычислениях по формуле (3.42) принимали
P
,Вт5,0
а погрешность измерения площади S нагревателя считали равной
%.5,0=δS
132
3.4.3. Результаты численного моделирования среднеквадратичных
=
τ
(
=
=δ=
()(
δ
(
[
−τ′
(
δ
≤γ<
≤
<
(
δ
≤
γ
≤
≤
≤
≤
(
δ
относительных погрешностей измерения коэффициента
температуропроводности a и теплопроводности λ
С использованием полученных формул (3. 35) и (3. 42) были рассчитаны зависимости среднеквадратичных относительных погрешно-
() ()
стей
, δλδa
, при длительности теплового импульса
скск
c.10
и
При этом в расчетах были использованы следующие исходные данные:
−
Вт,55=P
7
1006,1
Δ=Δ SKTx
2
м
=λ⋅=
с
Вт
194,0,
⋅
=Δ
Pa
Км
x
;Вт25,0,
)
мм,8...2
%.5,0,05,0;мм1,0
В процессе выполненных исследований выяснилось, что минимальные значения относительных погрешностей
a
зависят
скск
)
,δλ
не только от величины безразмерного параметра γ, но и от значения
расстояния x от плоскости размещения нагревателя до плоскости ус-
)
тановки термопары, измеряющей разность температур
, TxT
]
0
В связи с этим было принято решение построить линии равных уровней погрешностей на плоскости с координатами γ и x при нескольких
значениях длительности теплового импульса
τ . Результаты этой ра-
и
боты представлены на рис. 3.14
Представленные на рис. 3.14 результаты вычислений показывают,
что (при использованных в расчетах исходных данных) минимальные
)
значения среднеквадратичных относительных погрешностей
a
ск
измерения коэффициента температуропроводности a достигаются при
значениях безразмерного параметра в диапазоне
47,045,0
и при
значениях основного конструкционного размера измерительного устройства в пределах
мм.5,4мм0,4
x
В то же время минимальные значения среднеквадратичных отно-
)
сительных погрешностей
место при
< и .0,38,2
λ
измерения теплопроводности λ имеют
ск
0,195,0
x
Таким образом: 1) для достижения минимальных значений по-
()
грешности
aδ
при измерении коэффициента температуропровод-
ск
ности a следует использовать образец исследуемого материала с толщиной пластины
значений погрешности
мм;5,4мм2,4
x 2) для обеспечения минимальных
)
λ
, при измерении теплопроводности λ,
ск
требуется использовать образец с толщиной средней пластины
.мм0,3мм8,2 ≤≤ x
.
133
τи = 20 c
γ
γ
а)
τи = 5 c
б)
Рис. 3.14 Линии равных уровней среднеквадратичных относительных
погрешностей (
и (δλ)
ск
, построенные при двух значениях
ск
δа)
длительности τи теплового импульса:
а – τи = 20 с; б – τи = 5 с
134
3.4. К определению оптимального значения длительности τи
≤
≤
()(
≈
δ
τ
(
δ
(
δ
()(
[
(
δ
(
δ
теплового импульса при рациональном значении x = 3,55 мм
τ
, с 5 10 15 20 25 30 40 50
и
(δР)
, % 0,227 0,454 0,681 0,909 1,136 1,363 1,818 2,272
ск
(δλ)
, % 5,110 5,127 5,144 5,193 5,242 5,301 5,448 5,632
ск
(δа)
, % 6,672 6,469 6,349 6,280 6,241 6,222 6,214 6,228
ск
δ
, % 5,891 5,798 5,752 5,736 5,742 5,761 5,831 5,930
ср
толщины средней пластины образца
Если же необходимо одновременно осуществить измерение коэффициента температуропроводности a и теплопроводности λ в одном
эксперименте, то толщину x средней пластины образца из исследуемого материала следует выбирать из диапазона
x что
,мм8,3мм5,3
обеспечивает относительные погрешности измерений порядка
() ( )
≈δa и
ск
%1,7...0,6
λ
ск
Для определения значений длительности
)
%.4,6...2,5
теплового импульса,
и
обеспечивающих достижение минимальных значений относительных
погрешностей
грешностей
()
ср
)
a
ск
)
,
λ и среднеарифметических значений по-
ск
)
]
δλ+δ=δa
скск
измерения ТФС a и λ, были вы-
2
полнены расчеты по формулам (3. 35) и (3. 42), результаты которых
представлены в табл. 3. 4.
Из данных табл. 3.4 видно, что при увеличении длительности τ
)
лового импульса: 1) погрешность
()
aδ
грешность
[]
()
()
ср
убывает; 3) однако среднеарифметическое значение
ск
)
λ+δ=δa
скск
принимает минимальные значения при 18 < τ
2
λ
монотонно возрастает; 2) по-
ск
теп-
и
< 24.
и
Отметим, что при измерении теплофизических свойств исследуемого материала, коэффициент температуропроводности a и теплопроводность λ которого отличаются от использованных (в исходных данных рассмотренных выше расчетов), следует поступить следующим образом:
1) путем проведения предварительных измерений надо опреде-
лить ориентировочные значения коэффициента температуропроводно-
и теплопроводности λ
сти a
ор
исследуемого материала;
ор
2) действуя по аналогии с изложенным выше в параграфе 3.4, надо:
а) осуществить расчеты (при найденных значениях a
лью определения (уточнения) оптимальных значений параметра γ
а
λ
и
конструкционных размеров
x
опт
средней пластины, применяемой
x
опт
и λор) с це-
ор
опт
и
135
для измерения коэффициента температуропроводности a и теплопро-
(
)
(
)
γ=γ
водности λ;
λ
б) принять толщину средней пластины
считать значение длительности
вающего достижение
cр
=δ
min;
τ теплового импульса, обеспечи-
и
а
+= xxx
2
и рас-
оптоптопт
3) изготовить образец с одной средней пластиной толщиной
λ
а
+= ххx
;2
оптоптопт
4) путем проведения серии экспериментов (с изготовленным об-
разцом) осуществить измерения и последующую обработку полученных данных (при найденных значениях
опт
и
опт
τ=τ ) и, в ре-
ии
зультате, получить значения искомых коэффициента температуропроводности a и теплопроводности λ исследуемого материала.
Использование предложенного в данном параграфе подхода к выбору оптимального значения безразмерного параметра γ и рационального конструкционного размера x средней пластины образца исследуемого материала обеспечивает существенное повышение точности
измерений искомых значений коэффициента температуропроводности
a
и теплопроводности λ.
3.5. О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ИЗМЕРЕНИЯ
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ МЕТОДОМ
ЛИНЕЙНОГО «МГНОВЕННОГО» ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Целью данной работы является выбор оптимальных режимных
параметров измерительных операций и конструкционных размеров
устройства для проведения измерений комплекса теплофизических
свойств веществ методом линейного «мгновенного» источника тепла.
3.5.1. Физическая модель метода и устройства
На рисунке 3.15 приведена физическая модель устройства для
осуществления метода линейного «мгновенного» источника тепла.
При практической реализации рассматриваемого метода на линейный нагреватель 1 подается короткий электрический импульс, за
время действия которого в единице длины этого нагревателя выделяется количество теплоты Q
приходится выбирать достаточно большой, чтобы с необходимой точностью зарегистрировать измеряемую температуру T(r
введения поправок на конечную длительность τ
приведенные ниже расчетные зависимости (2), (7а) рассмотрены в [1, 2].
136
л
. На практике длительность τи импульса
, τ). Вопросы
0
теплового импульса в
и
При условии, что длительность
импульса τ
< (0,05…0,1)τ
и
max
много меньше момента времени
достижения максимума на
τ
max
температурной кривой (рис. 3.16),
эти поправки остаются достаточно небольшими, что позволяет использовать на практике
рассматриваемый метод (без
введения поправок).
3.5.2. Расчетные
соотношения метода
измерений
Исходя из математической
модели данного метода, изложенной в [5, 7, 26, 78], можно
получить решение, которое
имеет следующий вид:
TrT
),(
=−τ
0
Рис. 3.15. Физическая модель
устройства для реализации метода
линейного «мгновенного» источника
тепла [5, 7, 26, 78]:
– расстояние между линейным
r
0
нагревателем 1 и измерителем
температуры 2; 3, 4 – образцы
исследуемого материала
2
⎡
л
exp
r
−
⎢
4
τ
a
⎣
4
Q
πλτ
⎤
, (3.43)
⎥
⎦
где T(r, τ) – температура в точке с координатой r в момент времени τ;
– начальная температура в исследуемом образце; a, λ – соответст-
T
0
венно температуропроводность и теплопроводность исследуемого
вещества; Q
– количество тепла, мгновенно выделившееся в единице
л
длины линейного нагревателя в момент начала активной стадии эксперимента.
В монографиях [5,7] показано, что определение температуропроводности обычно осуществляется с использованием формулы
2
0
, (3.44)
4τ
max
где τ
– момент времени, в который достигается максимальное зна-
max
чение температуры T
max
=ra
.
Использование формулы (3.44) приводит к большим погрешностям, поскольку сложно достаточно точно определить значение момента времени τ
. Попробуем определить такие моменты времени τ′
max
и τ″, используя которые, можно минимизировать погрешность определения температуропроводности.
Для этого измерим изменение температуры в точке с координатой r
во времени τ и зарегистрируем эту кривую (рис. 3.16).
137
Введем безразмерную переменную
−ατ
′
−
=−⋅
ατ′=′
τ′′=′
′
примет вид
2
rQ
),( TzrTzz
TrT −=−
0
л
=−τ
2
4
⎡
exp
⎢
acr
τρπ
⎣
2
r
z
2
⎤
r
−
4
a
Q
л
=
⎥
2
τ
cr
⎦
. Тогда решение (1)
4
τ=a
ρπ
,
),(]exp[
0
где
– объемная теплоемкость исследуемого материала.
cλ=ρ
a
Введем переменный параметр
),(
TrT
−τ
0
=α
где T
– начальная температура исследуемого вещества, условно при-
0
, (3.45)
TT
−
0max
нимаемая за начало температурной шкалы в каждом эксперименте;
– максимальное значение температуры, достигаемое в ходе экспе-
T
max
римента в момент времени τ
Запишем решение (1) для моментов времени τ′ = τ′(α) и τ
′
TrT
0
Q
=−
TT
0max
max.
:
max
Q
л
=−τ
л
2
cr
ρπ
′
2
ρπ
cr
zz
maxmax
))]((exp[))((),(
ατ′−⋅ατ
zz
, (3.43а)
Q
л
=τ−⋅τ
)](exp[)(
, (3.43б)
2
ecr
ρπ
где принято во внимание, что согласно [1] максимальное значение
температуры T
Поделив (3.43а) на (3.43б), получаем
достигается при z(τ
max
))(,(
TrT
=α zez
0
−
TT
0max
=
) = 1.
max
′
. (3.46)
))]((exp[))((
ατ′−ατ
Преобразовав выражение (3.46) с учетом того, что
=−⋅ , получаем уравнение
Обозначим ))((
)1exp()exp( zze
)1exp( zz . (3.47)
zz и ))(( α
zz соответственно больший
α
и меньший корни уравнения (3.47). После преобразований легко получаем формулы для вычисления искомой температуропроводности a по
результатам экспериментально измеренных моментов времени τ′ и τ″:
из
из
138
2
′
′
=
zz
′′
′′
=
zz
r
=ατ
))((
=ατ
))((
следует, что
′
τ
a
4
2
r
следует, что
′′
τ
a
4
a
2
r
=
a
=
; (3.48)
′′
τ
z
4
2
r
, (3.48а)
′′′′
τ
z
4
где τ′ и τ″ – меньший и больший моменты времени, соответствующие
[
r
z
′
′
′
δ
большему z′ и меньшему z″ корням уравнения (3.47), при которых достигается заданное значение параметра α, определенное формулой (3.45).
Для вычисления объемной теплоемкости cρ на основе зависимости (3.43а) легко получается формула
]
))('(exp))('(
zzQ
л
с
=ρ
которая, с учетом (3.464) принимает вид
с
2
[]
α
Q
=ρ
л
2
[]
ατ−ατ
))(',(
−ατ⋅π
,
TrTr
0
, (3.49)
))(',( TrTre
−ατ⋅⋅π
0
а при α = 1
Q
с−π=ρ
3.5.2. Вывод соотношений для вычисления погрешностей
л
2
[]
. (3.49а)
TTer
0max
По методике, описанной в [1], легко получить выражения для вычисления погрешностей для случая определения (вычисления) температуропроводности по формулам (3.48) и (3.48а).
На основании (3.48) получено следующее выражение:
222
′
)()()(4 τ
δ+
где
′
δ+δ=δ zra , (3.50)
aaΔ
=δ
– среднеквадратическая оценка относительной погрешно-
a
rrΔ
=δ
сти измерения температуропроводности;
– относительная по-
грешность определения расстояния r между нагревателем и измерите-
z
Δ
z
лем температуры;
=δ ' – относительная погрешность определения
′
τ
величины z';
Δ
=τ′δ
– относительная погрешность определения мо-
′
τ
мента времени τ′; Δа, Δr, Δz′, Δτ′ – абсолютные погрешности измерения (определения) величин а, r, z′ и τ′.
:z
Определим составляющую погрешности
dz
z
11
=≈′δ
≈α
d
α
ddzzz
ddzz
αΔ⋅
.
α
Аналогично определим абсолютную погрешность Δα по методике, изложенной в [1]. Учитывая, что α рассчитывается по формуле
(3.45), получаем
139
2
Δ
Δ
=−Δ=−
Δ
−
τ
)(
TT
−Δ
)(
TT
=−δ
0
0
,
TT
−
0
TT
0max
грешности измерений разностей температур (Т – Т
Предполагая, что
2
0
)(
=−δ
−
−
)()(
TTTT −δ+−δα=αΔ , (3.51)
0max
TT
)(
0max
– относительные по-
TT
0max
) и (Т
0
TTTTT
)()(
0max0
, после преобразо-
max
– T0).
вания (3.51) получаем
1
)(
⋅−δ⋅α=αΔ TT , (3.51а)
0max
1
+
2
α
откуда следует
′
)(
α
zd
1
=′δ T
z
′
)(
α
α
z
d
δ⋅α⋅
max
1
1
+
.
2
α
Повторив изложенное выше, легко получаем, что
′′
)(
α
где
1
′′
=
δ T
z ,
′′
)(
α
z
)(
δ≡δ .
TTT
0maxmax
zd
α
d
δ⋅α⋅
max
1
1
+
2
α
Определим входящую в (3.50) составляющую δτ′, поскольку ясно,
что эта составляющая не представляет собой просто число, а изменяется
во времени даже при постоянной абсолютной погрешности ΔT измерения температуры.
Погрешности определения моментов времени τ
, τ′ и τ″ связаны
max
не только непосредственно с измерением времени (см. рис. 3.17).
Рисунок 3.16 наглядно иллюстрирует следующее. В реальных условиях эксперимента пик на кривой, соответствующий максимуму
температуры, заметно зашумлен и поэтому несколько размыт. Если
определение значения максимальной температуры Т
ти достаточно точно, то соответствующий момент времени τ
деляется с заметно большей погрешностью Δτ
max .
можно провес-
max
max
опре-
Определение моментов времени τ′ и τ″ осуществляется через определение температуры, поэтому погрешность определения этих моментов времени можно выразить через погрешность определения температуры. Учитывая, что
140
rdT ),(
Δ
T
≈
, получаем
τ
d
τΔ
Δ
≈τΔ
''
T
⎛
dT
⎜
⎝
d
. (3.52а)
⎞
()
α
⎟
⎠
τ
''
τ
Δ
T
≈τ′Δ
()
dT
⎛
⎜
⎝
d
, (3.52)
α
⎞
⎟
⎠
τ
'τ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]