Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные системы радиоавтоматики. Учебное пособие
.pdf
1.2. Оценка качества переходного процесса по ЛАЧХ разомкнутой системы
11
Рис. 1.3. Переходная функция системы ФАПЧ
По графику на рис. 5.3 или непосредственно в MATLAB находим:
h = 1, h
max
= 1,13, tm1 = 0,04 c, tпп = 0,072 с. Следовательно, перерегули-
рование =13 %.
1.2. Оценка качества переходного процесса
по ЛАЧХ разомкнутой системы
В случае, когда у разомкнутой системы частота среза
ср
расположена на участке логарифмической амплитудно-частотной характеристики
(ЛАЧХ) с крутизной – 20 дБ/дек, то колебательный характер ПП такой замкнутой системы будет наименьшим, что доказано в результате изучения
систем РА, у которых имеются различные виды разомкнутых ЛАЧХ [2].
Из соотношения
tпп /cp (1.2)
можно определить время действия ПП.
В этом уравнении (1.2) параметр
ср
записан для замкнутой системы.
В иных случаях его используют для разомкнутой системы.
Таким образом видно, что переходная характеристика системы РА
будет стремиться к виду экспоненциальной формы. При меньших значениях времени tпп, т.е. устремление этого параметра к величине /
ср ,
об-
ласть ЛАЧХ с крутизной – 20 дБ/дек будет шире.
1. Оценка качества систем радиоавтоматики в переходном режиме
12
На практике применение универсальных характеристик ПП и типо-
вых ЛАЧХ позволяют оценить качество ПП при применении ЛАЧХ.
На (рис. 1.4). приведены классификационные кривые ЛАЧХ, состоящие из типовых элементов систем РА, которые позволили построить универсальные графики, для нормированного времени.
Рис. 1.4. Универсальные переходные характеристики ЛАЧХ
На этих графиках на базе известных ЛАЧХ и их параметров можно
выбрать универсальную зависимость h(0t). А разделив текущий масштаб
оси абсцисс на параметр
0
(зависящий от порядка астатизма, определяе-
мого относительно параметров T
i
и i) в итоге находят характеристику
нужного ПП [2].
Наиболее часто, встречающиеся виды ЛАЧХ для систем с первым и
вторым порядками астатизма изображены на рис. 1.5.
1,0
/
0
1,0
1/
1
- 20
- 40
- 40
- 20
- 40
- 20
- 40
1,0
1,0
-20
- 40
-60
- 20
- 40
- 20
- 60
a
б
в
г
- 40
/0
/
0
/
0
1/11/
2
1/3
1/11/
2
1/
3
1/
1
1/
2
1/
2
1/
3
.
.
.
.
Рис. 1.5. ЛАЧХ для систем с астатизмом первого и второго порядка
1.2. Оценка качества переходного процесса по ЛАЧХ разомкнутой системы
13
На них изображены ЛАХ для астатических систем первого порядка
(рис. 1.5, а, б), а также ЛАХ систем второго порядка (рис. 1.5, в, г.)
Эти четыре вида ЛАЧХ (рис. 5.5), имеют по оси абсцисс значение
нормированных «частот» /0 (что отличает их от рассмотренных ранее
случаев). Кроме того, эти кривые сопрягаются асимптотами в точках кратных τi = 0Ti. Параметр соответствующий частоте 0 зависит от порядка
астатизма следующими образом:
0 = (K/T1)
0,5
– первый порядок астатизма,
0 = K
0,5
– второй порядок астатизма (K – коэффициент усиление
разомкнутой системы).
Вышеизложенное можно свести в табл. 1, как значения дискретных
параметров колебаний.
Таблица 1
Дискретные параметры колебаний
ср/0
3,35 2,08 1,73 1,56
М 1,1 1,3 1,5 1,7
Вид и характеристики участка ЛАЧХ при низких частотах (–20 дБ/дек
для систем первого порядка и – 40 дБ/дек для систем второго порядка) слабо
влияют на вид и характер ПП, что следует из возможности применения универсальных типов ПП для любого порядка астатизма системы РА.
Ошибка всей системы в стационарном режиме работы определяется
формой и видом данного отрезка ЛАЧХ. Что касается высоких частот
–40 дБ/дек или – 60 дБ/дек, то в этом диапазоне форма и вид отрезка ЛАЧХ
слабо меняет форму характеристики ПП, поскольку этот участок определяет только его передний фронт.
Установлено, что качество ПП можно оценить в основном длительностью (протяженностью) отрезка участка ЛАЧХ (с наклоном – 20 дБ/дек).
Эта протяженность должна быть размещена симметрично (по возмож-ности) относительно
ср
и располагаться на участке не менее декады. Эти требования позволят получить невысокий колебательный характер, перерегулирование и время действия всего ПП.
Рассмотренная связь характеристик ЛАЧХ разомкнутых систем РА
и их показателей качества ПП на сегодняшний день применяется в разработках ЛАЧХ необходимых для решения задач вычисления выходных параметров систем РА, имеющих заданные требования качества.
1. Оценка качества систем радиоавтоматики в переходном режиме
14
Контрольные вопросы
1. Назовите основные показатели качества систем радиоавтоматики в
переходном режиме.
2. Какими показателями характеризуется быстродействие системы?
3. Какими показателями характеризуется уровень колебательной си-
стемы?
4. Какими показателями характеризуется перерегулирование си-
стемы?
5. Основное различие между прямыми и косвенными методами
оценки качества ПП.
6. Что представляют собой монотонный, колебательный и апериоди-
ческий ПП?
7. Какие показатели качества ПП можно определить по переходной
характеристике?
8. Основные принципы и возможности методов компьютерного моде-
лирования для непрерывных систем РА.
9. Как связаны частотные характеристики разомкнутой и замкнутой
систем?
10. Назовите частотные показатели качества и поясните физический
смысл каждого из них.
11. Как оценивается качество переходного процесса по ЛАЧХ разо-
мкнутой системы?
12. В чем отличие типовых ЛАЧХ статических и астатических систем?
13. По каким характеристикам можно оценить качество систем РА?
14. Определите частотные показатели качества переходного про-
цесса и поясните их физический смысл.
15. Поясните связь частотных показателей качества работы с частот-
ными характеристиками разомкнутой САР.
2.1. Погрешности систем РА при типовых разновидностях внешних воздействий
15
2. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ РА ПРИ ТИПОВЫХ
ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
2.1. Погрешности систем РА при типовых
разновидностях внешних воздействий
Измерительная точность каждой из систем РА оценивается таким
важным параметром, как «оценка ошибки стационарного режима», который определяется заданной структурной блок-схемой, ее параметрами и
режимами работы.
Реальные системы РА подвергаются действию напряжений, описываемых различными временными функциями.
Однако точность необходимого уровня управления такими системами представляет определённую трудность, поэтому применяют методы
более простых детерминированных сигналов при сохранении таких базовых параметров системы, как ускорение, граничные условия, скорость воздействия и др.
Особенное значение имеют такие детерминированные сигналы, как
ступенчатый постоянный, линейный, квадратичный, трапецеидальный и т.д.
Кроме того, существует важный параметр – передаточная функция:
Kp(p) = KiB(p)/piA(p), (2.1)
которая оценивает большинство систем слежения (Ki – коэффициент усиления разомкнутой системы, i – количество интегрирующих элементов, от
которых зависит порядок астатизма систем РА: A(p) = a0pn + a1p
n-1
+ …+ 1,
B(p) = b0pm + b1p
m-1
+ …. + 1 – полиномы, имеющие порядок, определяемый числами n – инерционных и m – форсирующих элементов; в качестве
постоянных времени таких элементов являются коэффициенты данных
полиномов).
Рассмотрим две базовые разновидности ошибок, возникающих при
анализе систем РА: динамические и статические ошибки.
Виды статических ошибок:
Если система РА подвергается постоянному ступенчатому воздей-
ствию x(t) = x0 = const при t = 0, такая ошибка является статической eст.
2. Точность систем РА при типовых внешних воздействиях
16
Принимая во внимание, что изображение X(p) = x0/p для стационар-
ной ошибки, можно получить:
eст =
0 0 0
0 0 0
( )
lim ( ) lim ( ) lim lim
( ) ( )
i i
e
i i
t p p p
i i
x p A p x p x
e t pK p p
p p A p K B p p p K
(2.2)
Статическая система (СС) РА, у которой отсутствуют интегрирую-
щие элементы, имеет статическую ошибку в виде:
eст = x0/(1 + K0). (2.3)
В СС имеет место условие: стационарное значение рабочей переменной величины не равно заданному значению. Эта величина будет меньше
на величину значения ошибки обратно пропорциональной коэффициенту
усиления К0 по постоянному току (как правило, К0>> 1).
Если значение числителя в соотношении (2.2) равно нулю, а значение знаменателя равно К
i,
то в случае астатических систем (АС) её ошибка
при постоянном воздействии также равна нулю (e
ст
= 0).
Название астатических систем (АС) подчёркивает отсутствие статических ошибок.
Виды динамических ошибок:
При переменном входном воздействии ошибки для оценки точности
замкнутой системы принято называть динамическими eд(t).
Дискретное детерминированное воздействие входного сигнала
(в случае возможности получения его производных d
(k)
/dt
(k)
, k = 1, 2, …)
представимо в виде степенного полинома
x(t) = x0 + x t + 0,5x& t2 + … , (2.4)
где x0 – начальная величина входного сигнала, x – скорость его изменения,
x& – ускорение этого изменения, t – текущее время.
Нахождение таких динамических ошибок при основных видах воздействий, таких как линейное и квадратическое в операторной форме,
имеет вид
E(p) = Ke(p)X(p). (2.5)
После разложения передаточной функции Ke(p) в ряд Мак Лорена по
степеням р, соотношение (2.5) может быть представлено как:
2.1. Погрешности систем РА при типовых разновидностях внешних воздействий
17
E(p) = (C0 + C1p + C2p2/2! + …) X(p). (2.6)
(C0, C1, C2, … – коэффициенты ошибок).
В общем виде коэффициенты записываются как
Ck = d kKe(p)/dp
k
p=0
. (2.7)
Из соотношения (2.6) при различном виде воздействия x(t) даст ста-
ционарное значение ошибки в виде временного ряда
n
k
k
k
k
t
dt
txd
k
C
tete
0
.
)(
!
)(lim)(
д
(2.8)
Точность системы при любом дискретном детерминированном воздействии обратно пропорциональна указанным коэффициентам ошибок Ck,
которая на практике рассчитывается, ограничиваясь первыми тремя членами ряда (т.е. для применения АС не превышающих второй порядок) [3].
Согласно (2.7) первый коэффициент C0 записывается в виде
C0 = Ke(0) = piA(p)/[piA(p) + KiB(p)]
p=0
= pi/(pi + Ki)
p=0
.
(Для СС при i = 0 C0 = 1/(1 + K0, а для АС C0= 0).
Рассмотрим линейное воздействие напряжения, имеющего постоянную скорость x(t) = nxt для нахождения динамических ошибок СС и АС.
Согласно соотношению (2.8) динамическая ошибка по скорости находится
в виде eд(t) = C0xt + C1x. Эта ошибка в случае СС будет равна eд(t)
xt/(1 + K0), поскольку доля слагаемого C1nx во всю ошибку гораздо
меньше, чем доля вклада C0x(t).
Использование СС в применяющемся воздействии невозможно в
следствие того, что в таких системах происходит накопление скоростной
ошибки с ростом времени и со скоростью nx/(1 + K0), в случае АС будет
C0= 0 и eд(t) = C1x.
Второй коэффициент ошибок в (2.6) формула (2.7) находится гораздо сложнее, поэтому его рассчитывают при помощи более простого метода, построенного на использовании строгого выражения для передаточной функции Ke(p) и аппроксимирующего ее ряда:
C0 + C1p + 0,5C2p2 piA(p)/[piA(p) + KiB(p)]. (2.9)
Это соотношение записывается в виде
2. Точность систем РА при типовых внешних воздействиях
18
[piA(p) + KiB(p)](C0 + C1p + 0,5C2p2) = piA(p). (2.10)
Считая, что i = 1 (случай АС первого порядка) и определяя коэффициенты путём их приравнивания при параметре p различных степеней в
обоих частях (2.10), определяем из равенства C0(1+K1b
m-1
) + K1C1 = 1 зна-
чение C1 = 1/K1, поскольку C0 = 0 [3].
Следовательно, ошибка определения скорости в системах, имеющих
первый порядок астатизма, где eд= nx/K1, находится через коэффициент передачи разомкнутой системы K1 при отсутствии её временной зависимости.
Этот коэффициент передачи K1, ([c–1]) определяется как скоростная
добротность системы (точность системы прямо пропорциональна её добротности).
В случае АС второго порядка, когда C0 = C1 = 0 скоростная ошибка
также будет равна нулю. Равенство нулю параметра C1 следует из соотношения (2.10), поскольку в его правой части отсутствуют слагаемые, параметр p в первой степени (присутствуют только члены p2 и выше).
Рассмотрим типовые системы РА и их динамические ошибки в случае воздействия вида движения с постоянным ускорением x(t) = 0,5x& t2.
Для динамической ошибки по ускорению согласно (2.8) можно получить:
eз(t) = 0,5C
0x&
t2 + C
1x&
t + 0,5C
2x
&. (2.11)
При этом статическая ошибка по ускорению определяется как
eд(t) 0,5x& t2/(1 + K0), (2.12)
поскольку итоговая ошибка системы зависит в основном от первого слагаемого и слабо зависит от параметров C1 и C2. В случае рассмотрения задачи
об ускорении, использование СС невозможно из-за накопления ошибки по
квадратичному закону.
Ошибка в задачах по ускорению определяется в случаях систем первого порядка астатизма в виде
eд(t) C2x& t = x& t/K1, (2.13)
где членом C2x& /2 можно пренебречь из-за его малости. Таким образом,
накопление со скоростью x& /K1 ошибки системы во времени не дают возможность использовать подобные системы в условиях ускорения. При использовании АС второго порядка будем иметь ошибку по ускорению в виде
2.2. Влияние воздействия помех на точность систем РА
19
eд(t) = C2x& /2. (2.14)
Нахождение при помощи (2.7) коэффициента C2 производится путём
уравнивания соответствующих коэффициентов при p2 в обеих частях следующего равенства:
C0(1 + K2b
m-2
) + K2b
m-1C1
+ 0,5K2C2 = 1. (2.15)
(так как C0 = C1 = 0, то C2/2 = 1/K2).
В случае систем второго порядка астатизма динамическая ошибка
ускорения системы будет постоянной eд = x& /K2, где знаминатель K2 определяет точность системы и является добротностью по ускорению ([c–2]).
Применение системы третьего порядка астатизма, например, содержащего три интегратора, позволит исключить указанные ошибки по ускорениям. Недостатком такого метода являются сложности, которые сопутствуют обеспечению требуемого качества ПП и запаса устойчивости.
2.2. Влияние воздействия помех
на точность систем РА
Как известно, помехи, сопровождающие приёмные сигналы в большинстве радиотехнических систем, снижают точность получения выходной информации. Так как эти помехи, представляющие собой случайные
отклонения параметров элементов РА, а также шумы и тепловые эффекты,
являются процессами случайного характера, то и случайной будет являться
ошибка слежения при таких условиях воздействия.
Вследствие этого, важными параметрами и характеристиками точности следящих систем с позиции случайных процессов, являются среднее
значение выходного параметра или его математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение [1−3].
Образование ошибок слежения при оценке точности СС с воздействующими помехами довольно удобно использовать структурные блоксхемы (рис. 2.1).
Результатом сравнения (рис. 2.1,а) задающего воздействия x и управ-
ляемой величины y, которая образовывается при помощи фильтра передаточной функции Kз(p) замкнутой системы, образуется результирующая
ошибка e [3].
2. Точность систем РА при типовых внешних воздействиях
20
Рис. 2.1. Пояснение образования ошибки слежения
В связи с вышеизложенным блок-схема (рис. 2.1, а) может быть
изображена в виде (рис. 2.1, б), на котором отдельно динамическая ошибка
eд(t) обозначена отдельной ветвью с передаточной функцией 1–Kз(p). Эта
ошибка определена идеальностью передаточной функции ЗС от идеальной
(Kз(p) = 1), ветвь, которой иллюстрирует ошибку– eп(t), возникающую за
счёт действия помехи (эта ошибка eп(t) является случайной величиной).
В случае, когда помеха является стационарным случайным процессом, у
которого среднее значение равно нулю и имеется спектральная плотность
Sп(), стационарный случайный процесс со средним значением равным
нулю и дисперсией равной s2, будет являться ошибкой eп(t) [3].
Детерминированный или случайный характер воздействия x(t) будет
определять точность СС при воздействиях помех, которые оценивается
средним квадратом
22
вп
2
д
eee
, (2.16)
или дисперсией результирующей ошибки e(t)
22
вп
2
eд
eee
e
. (2.17)
Динамической ошибка eд (2.16) является средним значением ошибки
слежения при дискретном детерминированном воздействии, т.е. является
его математическим ожиданием. Если случайный процесс, является стационарным задающим воздействием со средним значением, равным нулю и
имеющим спектральную плотность Sx(), тогда случайному закону будет
подчиняться и динамическая ошибка eд(t), имеющая также среднее значение равное нулю и дисперсию s
2
ед
, поскольку из-за независимости процессов n(t) и x(t) дисперсия этой ошибки будет равна сумме дисперсий обеих
её составляющих.
Из рис. (2.1(б)) видно, что дисперсия шумовой ошибки равна
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]