Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы электротехники. Учебное пособие.pdf
∞
U
tu
=
)(
∑
k
=
1
−
k
1
[]
)12(
−π
)12(2sin
tfk
(7.7)
1
представляет собой периодическую последовательность прямоугольных
импульсов с периодом
T =
1
.
f
1
Рисунок 7.3
На практике вместо выражения (7.2) чаще используют синусную (7.8) или
косинусную (7.9) формы ряда Фурье:
a
0
)(
tf , (7.8)
)(
tf , (7.9)
∑
2
k
a
0
∑
2
k
где коэффициенты
A
, представляющие собой амплитуды k-х гармоник, в обоих
k
случаях определяются из выражения
∞
ψ+ω+=
tkА
1
=
1
)sin(
kk
∞
ψ+ω+=
tkА
1
=
1
)cos(
kk
191
22
Т
Т
baA +=
. (7.10)
kkk
а
Коэффициенты
а
, bk и
k
0
находят по формулам (7.3), (7.4) и (7.5)
2
соответственно.
ψ
Начальные фазы
k-х гармоник для синусного ряда (7.8) находят из
k
выражения
а
⎞
⎛
k
=ψ
arctg
k
, (7.11)
⎟
⎜
b
⎠
⎝
k
а для косинусного ряда (7.9) – из выражения
b
⎞
⎛
−=ψ
arctg . (7.12)
k
k
⎟
⎜
a
k
⎠
⎝
При расчете по формулам (7.11) и (7.12) необходимо учитывать знаки
а
коэффициентов
Множество амплитуд {
спектром
периодического сигнала, а множество начальных фаз {ψ
, и bk.
k
A
} принято называть дискретным амплитудным
k
} –
k
дискретным фазовым спектром.
Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное число слагаемых, однако
на практике он достаточно быстро сходится. Во многих практических случаях
для представления реальных сигналов с требуемой степенью точности
достаточно взять небольшое число гармоник.
7.2 Некоторые свойства ряда Фурье
Периодические несинусоидальные функции, описывающие ЭДС,
напряжения и токи в электрических цепях, часто обладают каким-либо видом
симметрии. Это может облегчить разложение таких функций в ряд Фурье.
Рассмотрим возможные случаи симметрии периодических функций.
Функция f(t) четная (то есть f(t) = f(– t)). График такой функции
1
симметричный относительно оси ординат (рисунок 7.4).
f(t)
−
2
2
t
Рисунок 7.4
192
Все коэффициенты b
π
π
Т
Т
ряда Фурье четной функции равны нулю (b
k
поэтому выражение (7.2) преобразуется к виду
∞
a
0
)(
tf . (7.13)
2
∑
k
=
cos
k
1
= 0),
k
ω+=
tka
1
Кроме этого начальные фазы ψ
0), либо
Для вычисления коэффициентов
π (если a
< 0).
k
k-х гармоник равны либо нулю (если ak >
k
a
при разложении четной функции в ряд
k
Фурье вместо формулы (7.3) можно использовать формулу
Т
2
4
a . (7.14)
k
∫
T
0
ω=
)cos(
tdtktf
1
2 Функция f(t) нечетная (то есть f(t) = –f(–t)). Пример графика такой
функции приведен на рисунке 7.5.
f(t)
−
2
2
t
Рисунок 7.5
а
При таком виде симметрии все коэффициенты
составляющая
а
0
равны нулю, поэтому выражение (7.2) примет вид
2
и постоянная
k
∞
ω=
∑
k
sin)(
k
1
=
tkbtf , (7.15)
1
то есть, нечетная функция при разложении в ряд Фурье содержит только
синусоидальные составляющие.
b
> 0).
k
Начальные фазы гармоник
Как и в случае четной функции, при вычислении коэффициентов
ψ
равны либо
k
(если bk < 0), либо
2
− (если
2
b
можно интегрировать на интервале, равном половине периода анализируемой
функции:
Т
2
4
b . (7.16)
k
∫
T
0
ω=
)sin(
tdtktf
1
k
193
3 Функция f(t) симметрична относительно оси абсцисс (оси t) при сдвиге
T
α−α
+
j
j
j
j
α
−−α
Т
на половину периода (то есть когда
функции показан на рисунке 7.6.
f(t)
Рисунок 7.6
Ряд Фурье такой функции содержит только гармоники с нечетными
номерами (то есть гармоники с номерами
Если функция, удовлетворяющая условию 3,
а
содержит только коэффициенты
функция
нечетная, то только коэффициенты b
с нечетными номерами, если же такая
k
7.3 Комплексная форма ряда Фурье
В соответствии с формулами Эйлера
cos
=α
=α .
sin
()(
)
tftf ±−= . Пример графика такой
2
k = 1, 3, 5, …).
с нечетными номерами.
k
ee
2
,
ee
j
2
t
четная, то ряд Фурье
Следовательно, ряд Фурье (7.2) можно записать следующим образом
∞
1
∑
2
1
k
=
tjk
[]
kk
tjk
ω−ω
11
++−+=
jbaejbae
kk
a
0
)(
tf . (7.17)
2
a
Учитывая, что
= a-k (функция косинус – четная), bk = – b-k (функция
k
синус – нечетная) и
jba
−
kk
tjk
ω
1
e
k
a
0
=
,
22
=
0
запишем ряд Фурье в комплексной форме следующим образом
194
)()(
A
Т
Т
∞
1
=
)(
2
k
∑
&
−∞=
tjk
ω
1
eAtf
k
, (7.18)
a
причем
равенства
00
= , а комплексные амплитуда k-ых гармоник определяются из
22
ψ
j
&
k
kk
jbaeAA
−==
. Коэффициенты аk, bk и
kk
а
0
, как и ранее,
2
находят по формулам (7.3), (7.4) и (7.5) соответственно, модуль и аргумент – по
формулам (7.10), (7.12).
7.4 Дискретные спектры периодических сигналов
Множество комплексных амплитуд }{
&
A
ряда Фурье называют
k
дискретным спектром периодического сигнала f(t). При этом множество
A
амплитуд {
начальных фаз {
} называют дискретным амплитудным спектром, а множество
k
ψ
} – дискретным фазовым спектром.
k
Рассмотрим пример разложения в ряд Фурье функции, представленной на
рисунке 7.7.
f(t)
U
–U
4
Рисунок 7.7
Получим коэффициенты разложения:
Т
a
0
2
4
Udt
T
0
11
T
T
4
2
=
a
k
U
T
0
cos(
2
π
k
)
dtt
T
T
2
2
−
cos(
U
∫∫
T
T
4
T
4
2
=
b
k
U
T
0
sin(
2
π
k
)
dtt
T
T
2
2
−
U
∫∫
T
T
4
sin(
2
π
k
T
4
Т
2
∫∫
T
4
Т
Udt
2
T
dtt
t
0
=−=
,
π
k
)
U
=
π
k
2
U
=
dtt
π
k
cos21()
−
sin(
k
2
π
k
)
,
2
π
)cos
π+
k
.
195
Дискретные амплитудный и фазовый спектры сигнала представлены на
k
ψ
рисунках 7.8, а и 7,8 б соответственно.
A
-f
1
k
0,64U
f
1
а
f
f
б
Рисунок 7.8
Как видно из рисунка 7.8, амплитудный спектр является четной функцией
k, а фазовый спектр – нечетной. Дискретный спектр амплитуд (рисунок 7.8, а)
принято называть линейчатым спектром, так как его графическая
интерпретация состоит из отдельных линий, высота которых
пропорциональна
амплитудам соответствующих гармоник.
Из двух спектров (амплитудного и фазового) более информативным
является дискретный амплитудный спектр, поскольку он позволяет судить о
количественной доле энергии каждой гармонической составляющей в общей
энергии сигнала.
В общем случае спектр сигнала (как и ряд Фурье) содержит бесконечное
число гармонических составляющих. Однако, как показано ранее, ряд Фурье
достаточно быстро сходится, а, следовательно, амплитуды высших гармоник
быстро убывают (уменьшаются). В связи с этим существует очень важное
понятие – практическая ширина спектра сигнала. Что же следует считать
шириной спектра сигнала, если число гармоник в его спектре бесконечно?
196
Существует несколько критериев для определения практической ширины
спектра сигнала. Например, можно отбрасывать все гармоники с амплитудами
меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся
гармоник и определят ширину спектра сигнала. Можно отбрасывать те высшие
гармоники, суммарная энергия которых меньше 10 % общей энергии сигнала. В
этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в
сигнале
гармоники.
На практике, в частности, при использовании в качестве сигналов
прямоугольных импульсов в качестве ширины спектра сигнала чаще всего
принимается диапазон частот от ω = 0 до ω = 2π / τ
, где τи – длительность
и
импульса.
Независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра
сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов закономерности: чем
круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между
импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, то есть тем
медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их
номера.
Для чего необходимо знать ширину спектра сигнала? На практике для
обработки сигналов (их усиления, передачи, фильтрации и т. д.) применяются
различные устройства. Если полоса пропускания такого устройства
недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, существенно
влияющие на форму сигнала, то форма сигнал на выходе этого устройства
будет искажена. Чтобы искажения формы
сигнала при обработке отсутствовали
(или, хотя бы, были минимальны), ширина полосы пропускания устройства
должна быть не меньше, чем ширина спектра сигнала.
7.5 Апериодические сигналы и их спектры
Ранее рассмотрен способ получения спектра периодического колебания
несинусоидальной формы разложением в ряд Фурье функции, описывающей
это колебание. Если периодическая функция бесконечна во времени, то ее
спектр является линейчатым с бесконечным числом гармонических
составляющих, амплитуды которых убывают по мере возрастания номеров
гармоник.
На практике приходится иметь дело с непериодическими
(апериодическими) сигналами
, например одиночными импульсами различной
формы (рисунок 7.9). Получить спектр таких сигналов разложением в ряд
Фурье не представляется возможным. Рассмотрим, как можно провести
гармонический анализ апериодической функции.
u2(t)u1(t)
t t t
а б в
Рисунок 7.9
u3(t)
197
Апериодический сигнал можно интерпретировать как периодический,
−
=
T
T
период которого Т→ ∞. Предположим, что некоторая функция f(t) описывает
аналитически одиночный импульс произвольной формы конечной
длительности. Если дополнить исходный сигнал такими же сигналами, но
сдвинутыми один относительно другого на некоторый интервал Т, то получим
периодическую последовательность одинаковых импульсов вида
k
. (7.19)
)()( kTtftf
В предельном случае, когда Т→ ∞, периодическая последовательность
f
(t) выродится в непериодическую функцию, описывающую один импульсный
k
сигнал.
Запишем ряд Фурье в комплексной форме для функции f
(t):
k
∞
1
)(
=
2
&
∑
k
−∞=
tjk
ω
1
eAtf
kk
. (7.20)
Представим комплексную амплитуду, используя формулы Эйлера:
T
2
&
jbaA
2
kkk
T
−−−
)cos(
∫∫∫
T
2
T
2
2
jtdtktf
T
)sin(
T
2
tdtktf
11
T
2
2
=ω−ω=−=
T
)(
T
2
tjk
ω−
1
dtetf
.
Тогда (7.20) можно переписать следующим образом
T
⎡
∞
=
tf
)( . (7.21)
k
k
∑
−∞=
2
1
⎢
T
⎢
⎣
)(
∫
T
−
2
⎤
tjk
ω−
tjk
ω
11
⎥
edtetf
⎥
⎦
2
π
Учитывая, что
=T , можно записать
ω
1
T
⎡
ω
2
⎢
1
⎢
⎣
)(
∫
T
−
2
∞
1
=
)(
k
∑
π
2
k
−∞=
⎤
tjk
ω−
tjk
ω
11
⎥
edtetftf
. (7.22)
⎥
⎦
Частотный интервал между отдельными гармониками в спектре сигнала
π
2
равен
1
. Если устремить период сигнала к бесконечности (Т→ ∞), то есть
=ω
перейти к апериодическому сигналу, то частотный интервал между отдельными
гармониками ряда Фурье станет бесконечно малым, поскольку
π
2
=ω=ω∆ d
1
198
ω→
. При этом произведение kω1 можно заменить текущей
частотой ω. С учетом этого в (7.22) можно перейти от суммы к интегралу Фурье
ω
∞
1
=ω
∫∫∫
π
2
∞−
tjtjtj
ω
)(
ωω
, (7.23)
∞
1
= dejFdtetfdetf
)(
π
2
∞−
∞
∞−
ω−ω
)(
где
∞
=ω dtetfjF
∫
∞−
ω−
tj
)()( . (7.24)
Формула (7.24) называется прямым преобразованием Фурье, а формула
∞
1
= dejFtf
)( (7.25)
∫
π
2
∞−
ω
tj
)(
ωω
представляет собой обратное преобразование Фурье. Пару формул (7.24) и
(7.25) еще называют двусторонним преобразованием Фурье. Для установления
связи между f(t) и F(jω) можно использовать обозначение f(t) → F(jω), где f(t)
является оригиналом, а F(jω) – изображением f(t) по Фурье.
Функцию F
(jω) называют спектральной функцией или спектральной
плотностью. Спектр апериодического сигнала (одиночного импульса) является
сплошным, поскольку расстояние между отдельными гармониками 0→
∆ .
При этом амплитуды отдельных гармоник бесконечно малы. Последнее
становится понятным, если учесть, что энергия сигнала, оставаясь неизменной,
перераспределяется между бесконечным числом гармоник. Естественно, доля
каждой гармоники в сигнале будет очень незначительной.
Следовательно, при переходе от периодического сигнала к
апериодическому в спектре последнего вместо отдельных гармоник содержится
бесконечно большое число синусоидальных
колебаний с бесконечно близкими
частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого
такого колебания становится исчезающе малой, потому что на его долю
приходится бесконечно малая часть энергии сигнала. Другими словами, в
любой бесконечно узкой полосе частот мы всегда обнаружим синусоидальное
колебание, правда, бесконечно малой амплитуды.
Таким образом, спектр непериодического сигнала
является в общем
случае не дискретным, а непрерывным.
Спектральную функцию F(jω) можно представить как огибающую
коэффициентов ряда Фурье, то есть как предел линейчатого спектра частот
периодической функции, когда период стремится к бесконечности.
Рассмотрим пример построения спектральной функции сигнала,
имеющего вид одиночного прямоугольного импульса.
199
Пример 7.1 – Построить график амплитудного спектра одиночного
τ≤≤
ω
τ
π
π
прямоугольного импульса, представленного на рисунке 7.10.
f(t)
1
u
t
Рисунок 7.10
Аналитически функцию f(t) можно представить следующим образом:
⎧
=
tf
)(
⎨
⎩
0если,1
0если,0
,t
τ>>
.t
С учетом (7.24) можно записать
∞
∞−
ω−
)()(
τ
u
ω−
∫∫
0
−===ω
dtedtetfjF
ω
j
τ
u
ω−
tjtjtj
e
11
=
ω
j
0
ωτ−
j
u
=−
)1(
ω
ωτ
2
sin
−
j
u
ee
2
Из полученного выражения выделим амплитудный спектр:
τ
2
)(
jF
sin
=ω
ω
u
.
2
График амплитудного спектра представлен на рисунке 7.11.
ωτ
u
2
.
)( ωjF
τ
и
π2
τ
и
4
τ
и
6
τ
и
ω
Рисунок 7.11
Как видно из рисунка, преимущественная часть энергии импульса
сосредоточена в гармониках, расположенных в первом (основном) лепестке
200