Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы электротехники. Учебное пособие.pdf
приводимых во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими или другими
двигателями. Такие генераторы применяют для питания энергией
электрических сетей, а также в других случаях, когда частота напряжения не
превышает единиц килогерц.
Конструктивно синхронный генератор переменного тока состоит из
вращающегося ротора и неподвижного статора (рисунок 3.19).
Рисунок 3.19
На роторе, как правило, располагаются электромагниты (обмотка
возбуждения, питаемая через кольца и щетки от источника постоянного тока),
либо постоянные магниты. Обмотка, в которой наводится переменная ЭДС,
расположена в пазах статора. Обмотку формируют определенным образом:
укладывают провод вдоль одного паза, затем переходят к следующему,
проходя, поочередно, то по лицевой стороне статора, то по обратной (на
рисунке 3.19 это показано сплошными и штриховыми линиями
соответственно). Магнитная цепь машины изготовляется из
электротехнической стали (статор и полюсные наконечники ротора – из
листовой стали, остальная часть ротора – из сплошного стального массива).
Когда ротор вращается внутри статора внешним двигателем, на внешних
клеммах статора возникает напряжение, которое направляется в электрическую
сеть потребителям.
Физическая основа появления напряжения на концах статорной обмотки
– движение заряда под действием силы Лоренца, возникающей при
перемещении заряда (вместе с проводом) в магнитном поле (или при
перемещении магнитного поля по отношению к неподвижным проводам). Сила
Лоренца пропорциональна скорости перемещения провода относительно
силовых линий магнитного поля и значению магнитной индукции. При
вращении ротора она совершает работу, перемещая заряды по проводам,
уложенным в пазы статора. Вследствие этого в проводах статора наводится
ЭДС, и на выходе генератора возникает переменное напряжение.
Циклическую частоту генерируемой ЭДС определяют по формуле
101
p
R
U
R
U
=ψ−ψ=
ϕ
f = , (3.44)
n
60
где р – число пар полюсов ротора, п – частота вращения ротора (число оборотов
в минуту).
В энергосистемах России и большинства других стран частота
промышленного тока равна 50 Гц. В США принята частота равной 60 Гц.
Часто с целью уменьшения массы оборудования (например, в авиации, в
военной технике) применяют электрические машины, обеспечивающие частоту
тока равной 400 Гц.
3.4 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Рассмотренные во втором разделе методы анализа электрических цепей
постоянного тока в полной мере могут быть использованы и при анализе
электрических цепей переменного тока. Но при этом большое значение может
иметь то, какой выбран способ представления синусоидальных величин. Этим
может определяться трудоемкость решения задачи, компактность записи
решения и т. п. В
частности, анализ электрической цепи можно проводить по
мгновенным значениям тока и напряжения, с использованием их
комплексных амплитуд или векторных диаграмм.
Рассмотрим некоторые особенности протекания переменного тока через
различные элементы электрической цепи.
Пусть задано некоторое напряжение u = U
соответствующими амплитудой U
m
Если такое напряжение подвести к
, угловой частотой ω и начальной фазой ψ
резистивному элементу с сопротивлением
sin(ωt + ψu) с
m
u
R, то согласно закону Ома через него пройдет ток
m
i ψ+ω=ψ+ω= , (3.45)
tIt
)sin()sin(
imu
ψ
где
– начальная фаза тока в резистивном элементе;
i
m
I
=
m
– амплитуда тока.
Поскольку сопротивление резистивного элемента чисто активное, то
начальные фазы напряжения на выводах элемента и тока, проходящего через
него, одинаковы. То есть фазовый сдвиг между напряжением и током равен
нулю:
0
. (3.46)
iи
Таким образом, при прохождении синусоидального тока через
резистивный элемент мгновенные, амплитудные и действующие значения
напряжения на резистивном элементе и тока в нем связаны законом Ома:
.
102
R
U
I
R
U
L
U
π=ψ−ψ=ϕ
ULU
ULU
ω
t
π
π
−=ψ−ψ=ϕ
m
m
= ,
I = .
Если аналогичное напряжение подвести к
соответствии с (3.38) в нем будет протекать ток
индуктивному элементу, то в
U
1
i ψ+ω=
udt
∫
L
m
−==
L
ω
t
U
m
ω
sin()cos(
L
=ψ+ω
u
π
−ψ=ψ
где
ui
m
=
I
m
ω
– начальная фаза тока в индуктивном элементе;
2
– амплитуда тока.
Как видно из (3.47), фазовый сдвиг между напряжением на индуктивном
элементе и током в нем составляет
iu
2
причем напряжение опережает ток по фазе.
Амплитуды и действующие значения напряжения и тока связаны
соотношениями, подобными закону Ома:
mm
,
I =
I =
=
m
ω
x
L
= .
π
−ψ+ω
2
tIt
, (3.47)
)sin()
imu
, (3.48)
x
L
В последних равенствах величина x
= ωL, имеющая размерность
L
сопротивления, называется индуктивным сопротивлением.
Если напряжение u = U
sin(ωt + ψu) подвести к емкостному элементу, то
m
согласно (3.30) ток в этом элементе будет равен
Ci ψ+ω=
d
sin()cos(
+ψ+ωω=ψ+ωω== , (3.49)
2
du
π
+ψ=ψ
где
ui
CUI ω=
– начальная фаза тока в емкостном элементе;
2
– амплитуда тока.
mm
С учетом (3.49) фазовый сдвиг между напряжением на емкостном
элементе и током в нем составляет
iu
. (3.50)
2
Из (3.50) видно, что напряжение на емкостном элементе отстает от тока в
нем по фазе.
tItUСtUС
)sin()
imumum
103
Амплитуды и действующие значения напряжения и тока связаны
U
U
C
Z
I
I
U
R
Z
+
=
R
Y
соотношениями, подобными закону Ома:
СUI =ω= ,
mm
m
x
C
СUI =ω= .
x
C
Величина
x
1
=
C
, имеющая размерность сопротивления, называется
ω
емкостным сопротивлением.
Введем некоторые понятия, характеризующие цепи переменного тока.
Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется
комплексным сопротивлением цепи и обозначается
&
. Используя
соответствующие обозначения для комплексных тока и напряжения, запишем
ψ−ψ
j
Ue
Ie
ψ
u
===
ψ
j
i
&
U
&
Z
&
U
j
I
)(
iu
ϕ
j
=
Zee
, (3.51)
где
Z = – модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление
электрической цепи);
ψ−ψ=ϕ
– аргумент комплексного сопротивления.
iu
Учитывая, что
&
,
jXRZ +=
где R и Х, соответственно, активное и реактивное сопротивления цепи, можно
записать
22
X
, (3.52)
arctg=ϕ . (3.53)
X
Отношение комплексного тока к комплексному напряжению называют
комплексной проводимостью цепи и обозначают
&
. Тогда
j
ψ
&
I
&
Y
&
U
Ie
Ue
i
j
u
1
===
. (3.54)
ϕψ
j
Ze
Комплексные сопротивления и проводимости элементов складываются по
тем же законам, что и сопротивления и проводимости резистивных элементов.
При этом необходимо алгебраически складывать отдельно активные
сопротивления (проводимости) и отдельно реактивные.
104
Используя введенные понятия о комплексном сопротивлении и
Z
комплексной проводимости, запишем выражение закона Ома для участка цепи
в комплексной форме
U
&
I
&
&&
. (3.55)
YU
==
&
В полученном выражении учитывается как связь между действующими
напряжением U и током I, так и сдвиг фаз между напряжением и током
ψ−ψ=ϕ
.
iu
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме имеет вид
n
=
I10&, (3.56)
∑
i
=
i
то есть, алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи
равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме имеет вид
n
&&&&
==
EZIU
∑∑∑
iii
k
, (3.57)
k
===
111
m
i
m
i
где т – количество пассивных элементов в контуре электрической цепи;
п – количество источников ЭДС, включенных в контур.
Рассмотрим, как представляются сопротивления и проводимости
пассивных элементов электрической цепи в комплексной форме.
Для резистивного элемента с сопротивлением R, если комплексная
j
ψ
амплитуда напряжения на нем составляет
&
=
u
eUU
mm
, в соответствии с
законом Ома ток определяется выражением
&
U
&
I
m
m
= .
&
Z
R
Отсюда получим
j
ψ
u
ReU
m
j
ψ
eU
m
R
===
u
, (3.58)
&
U
&
Z
R
m
&
I
m
то есть 0]Im[,]Re[ ==
ZRZ
RR
. Таким образом, резистивный элемент обладает
&&
активным сопротивлением, а напряжение на резистивном элементе и ток в
нем совпадают по фазе (то есть еще раз подтвердилось выражение (3.46)).
Аналогично для комплексной проводимости можно получить:
105
G
π
L
C
&
Y
R
Z
11
===
&
R
R
. (3.59)
Комплексные амплитуды тока в индуктивном элементе и напряжения на
нем, с учетом (3.47), (3.48), соответственно равны:
)
(
−ψ
j
j
ψ
&
i
mm
==
и
2
eIeII
m
,
&
=
j
ψ
и
eUU
mm
.
Получим выражение для комплексного сопротивления индуктивного
элемента
π
j
2
LjLe
ω=ω=
, (3.60)
j
&
U
&
Z
L
m
&
I
m
m
==
m
ω
eU
ψ
u
LeU
π
j
−
)
(
ψ
u
2
то есть
&&
xLZ,Z =ω== ]Im[0]Re[
.
LLL
Из полученных выражений следует, что индуктивный элемент обладает
реактивным сопротивлением, при этом напряжение на индуктивном элементе
опережает ток в нем по фазе на 90
°
.
Выражение для комплексной проводимости индуктивного элемента будет
иметь вид
&
Y
L
==
&
Z
L
ω
Lj
111
, (3.61)
j
−=
L
ω
то есть
&&
Y,Y −=
]Im[0]Re[
1
−==
ω
b
.
LLL
Комплексные амплитуды тока в емкостном элементе и напряжения на
нем, с учетом (3.49), (3.50), соответственно равны:
(π+ψ
ψ
j
&
i
mm
==
j
eIeII
m
)
u
2
&
,
=
j
ψ
u
eUU
mm
.
С учетом этого получим выражение для комплексного сопротивления
емкостного элемента
j
ω
ψ
u
eU
m
j
(
CeU
=
π
)
+ψ
u
ω
2
&
U
&
Z
C
m
==
&
I
m
m
C
π
j
−
2
11
, (3.62)
je
−=
C
ω
то есть
&&
Z,Z −=
]Im[0]Re[
1
−==
ω
x
.
CCC
Из полученных выражений следует, что емкостный элемент обладает
реактивным сопротивлением, при этом напряжение на реактивном элементе
°
отстает от тока в нем по фазе на 90
.
106
Выражение для комплексной проводимости емкостного элемента будет
−
иметь вид
&
Y
1
C
&
Z
C
Cj
ω==
, (3.63)
то есть
&&
bCYY =ω== ]Im[,0]Re[
.
CCC
Рассмотрим некоторые примеры анализа электрических цепей
переменного тока на основе введенных выше понятий и математических
соотношений.
Пример 3.1 – Для цепи, изображенной на рисунке 3.20, определить
мгновенные значения тока i(t) и напряжений uC(t), uL(t). Параметры элементов
схемы: L = 70 мГн, С = 2500 мкФ. Мгновенное напряжение источника ЭДС,
подключенного ко входу цепи, равно: e(t) = 18sin 100t В.
u
L
i
L
e(t)
Решение. Чтобы определить мгновенное значение тока в цепи, найдем ее
полное сопротивление:
Реактивные сопротивления соответственно равны:
Тогда
u
u
C
C
Рисунок 3.20
2
)(
xxZ −=
=
ω
Ом.
Lx
11
⋅
,
00250100
C
=
L
x
C
2
3)47(
=−=Z
.
CL
2
7107100
=⋅⋅=ω=
Ом,
Ом.
=
4
Аргумент комплексного сопротивления равен
107
π
R
x
x
Z
E
π−=π−=ϕ
−
π−=
π+π−=π
π
−
CL
arctgarctg
3
→==ϕ
0
2
Амплитуда и фаза тока соответственно равны
18
I
m
m
6
===
3
А,
рад.
ψ=ψ
ui
0
рад.
22
Следовательно, мгновенное значение тока в цепи равно
100sin(6)(
)
tti А.
2
Из полученного выражения видно, что ток в анализируемой цепи отстает
от напряжения на входе цепи по фазе. А, следовательно, на заданной частоте
полное сопротивление цепи носит индуктивный характер.
Напряжения на индуктивном и емкостном элементах соответственно
равны:
di
Lu
L
dt
100cos(1006070 ttt,
−⋅⋅== В,
2
100sin(42)
=
22
)100sin(42)
π
u
1
C
C
∫
idt
==
10000250
,
⋅
100cos([6
)]
−−⋅
t
2
100sin(24
−⋅=
3
π
π
+
2
2
)100sin(24)
π+⋅=
tt
В.
Пример 3.2 – Используя метод комплексных амплитуд, определить
мгновенное значение напряжения источника e(t) в разветвленной цепи, схема
которой приведена на рисунке 3.21, при условии, что мгновенное напряжение
на емкости С имеет значение uC(t) = 10sin(100t –
схемы: r = 1 Ом; L = 10 мГн; С = 10 000 мкФ.
Рисунок 3.21
108
) В. Параметры элементов
2
Решение. Запишем комплексную амплитуду напряжения на емкости:
π
C
t
t
=
&
mC
Комплексные сопротивления элементов схемы соответственно
равны:
&
Z
= jωL = j
L
&
Z
C
j
−=
ω
C
Найдем комплексные амплитуды токов в элементах схемы:
mC
U
U
&
&
I
&
I
mr
Комплексная амплитуда напряжения на индуктивности равна:
&&&
LmLmL
С учетом второго закона Кирхгофа в комплексной форме комплексная
амплитуда напряжения источника
mLm
Запишем мгновенное значение напряжения источника
e 100sin10)(
−
100 10 -2 = j
−=
&
mC
Z
C
mC
−==
r
&&&
mrmCmL
&&&
m
j
2
1010
jeU
−==
В.
1 Ом,
j
2
−
10100
⋅
j
−
10
−==
j
−
1
1
j
−=
Ом.
=
10
A,
10jj
−
1
10
−=
А,
−=+=
)1010( jIII
A.
+=⋅−==
)1010(1)1010( jjjZIU
B.
10101010 =−+=+= jjUUE
В.
В.
Как видно из приведенных примеров, использование метода комплексных
амплитуд позволяет записать решение задачи анализа в более компактном виде.
109
3.5 Последовательное соединение элементов R, L и C. Резонанс
E
(
)
C
C
ω
ω
(
)
C
ZeZ
Z
ψ+ω
=
напряжений
Воспользуемся полученными выражениями комплексных сопротивлений
пассивных элементов для анализа электрической цепи, содержащей
последовательно соединенные резистивный, индуктивный и емкостный
элементы (рисунок 3.22). Пусть ко входу цепи подключен источник
j
ψ
синусоидальной ЭДС, заданный в комплексной форме:
&&
==
u
UeU
Требуется определить значение тока i в цепи.
jx
L
-jx
C
Рисунок 3.22
Выберем направление обхода контура, как показано на рисунке 3.22, и
составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
&&&&
UUUU
=++ , (3.64)
CRL
или
j
L
j
R
C
=++
jj
ψψψψ
UeeUeUeU
uuCuRuL
. (3.65)
Согласно закону Ома
1
jIRILjIU
−+ω= ]
[
1
LjRI
−ω+=
&&&&&&&
ZI
=
, (3.66)
.
где
&
1
LjRZ −+=
−ω+=
ω
xxjR
ϕ
С учетом того, что
&
j
=
, по закону Ома получим
j
ψ
&
U
&
I
&
Z
Ue
u
j
ϕ
e
а мгновенный ток в цепи будет равен
110
)(
– комплексное сопротивление цепи.
CL
j
U
Z
j
)(
ϕ−ψ
u
ψ
i
Iee
====
, (3.67)
tIti
)sin()(
, (3.68)
im