Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории нечетких множеств. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
51
( , ) max ( , ), ( , ) .x y x y x y
SS
,XY
( , ) 1 ( , ), ( , ) .x y x y x y X Y
XY
: [0,1]XY
1
YX
1
: [0,1]YX
1
( , ) ( , ).y x x y
ij
r
( 1, ; 1, )i m j n
1
1
Т
ji ij
rr
1 2 3
,,X x x x
1 2 3 4
, , ,Y y y y y
XY
0,9 0,8 1 0,9
0,7 0,4 0,4 0,5
0,3 0,3 0,2 0,1
0,3 0,4 0,5 0,3
1 0,9 0,6 0,5
0,7 1 0,9 0,7
S
S
S
1
.
0,3 0,4 0,5 0,3
0,7 0,4 0,4 0,5 ;
0,3 0,3 0,2 0,1
0,9 0,8 1 0,9
1 0,9 0,6 0,5 ;
0,7 1 0,9 0,7
S
S
Опр. 4.9. Нечеткое отношение называется дополнением
(complement) нечеткого отношения , заданного на
если
Опр. 4.10. Пусть на
с функцией принадлежности
четким отношением (inverse fuzzy relation)
, называется отношение с функцией принадлежности
, где
Если носитель отношения дискретный и описывается матрицей
ния
сальные множества, а на
в матричном виде:
Заде, получаем:
будет транспонированной по отношению к исходной:
.
Пример 4.3. Пусть
Найти
► В соответствии с определениями операций, используя нормы
,
задано нечеткое бинарное отношение
. Обратным не-
, определенным на
, то матрица обратного нечеткого отноше-
,
заданы нечеткие отношения и S
и
, S,
– универ-
.
52
1
0,9 0,7 0,3
0,7 0,6 0,5 0,7
0,8 0,4 0,3
0 0,1 0,4 0,5 ; .
1 0,4 0,2
0,3 0 0,1 0,3
0,9 0,5 0,1
S
UV
VW
S
UW
( , ) sup min( ( , ), ( , )) .
yV
x z x y y z
SS
( , ) ( , ) ( , )
yV
x z x y y z
SS
max ,x y x y
min ,x y x y
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
mn
r r r
r r r
r r r
11 12 1
21 22 2
12
...
...
,
... ... ... ...
...
p
p
n n np
np
s s s
s s s
s s s
S
◄
Операции над бинарными отношениями, заданными на непрерывных носителях, уже невозможно представить в матричном виде,
приходится использовать трехмерные графики.
Перейдем к рассмотрению композиции бинарных отношений, которая имеет важнейшее прикладное значение в нечеткой логике. Здесь
возможны несколько вариантов, три наиболее значимых из которых
мы рассмотрим ниже.
Опр. 4.11. Пусть и S – два нечетких бинарных отношения,
заданных на универсумах
ной композицией (max-min composition)
бинарное отношение на
Часто используется более общая форма записи определения 4.11:
где значки и обозначают соответственно объединение и пересечение. Применительно к действительным числам обычно полагают
и
Проще всего понять смысл определения 4.11 на примере отношений с конечными дискретными носителями. Ведь в таком случае матрица максиминной композиции получается по обычным правилам
матричного умножения с учетом того, что в смысле норм Заде операция умножения заменяется на минимум, а операция суммы – на максимум, а именно, если
и
соответственно. Максимин-
называется нечеткое
с функцией принадлежности
,
.
и
то их максиминная композиция будет
53
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
p
p
m m mp
mp
t t t
t t t
t t t
TS
11
max[min( ( , ), ( , ))] max [min( , )]
ij i k k j i k kj
k n k n
t u v v w r s
S
( , ) ( , ) ( , )
yV
x z x y y z
SS
( , ): ( , ) max ( , ) ( , ) .
PROD
yV
x z x z x y y z
S
S
UV
VW
S
UW
( , ) min max( ( , ), ( , )) .
yV
x z x y y z
SS
( , ) ( , ) ( , ).
yV
x z x y y z
SS
( , ) ( , ) ( , ).
yV
x z x y y z
SS
12
,X x x
1 2 3
,,Y y y y
12
,Z z z
XY
YZ
0,3 0,7 0,2
1 0 0,9
0,8 0,3
0,1 0 .
0,5 0,6
S
,
где
.
Понятие максиминной композиции отношений может быть расширено за счет применения иных Т-норм (max-T-norm composition):
,
где Δ – произвольная Т-норма.
Например, если Т-норма – произведение, то получится композиция типа max-prod (максимультипликативная композиция):
Опр. 4.12. Пусть и S – два нечетких бинарных отношения,
заданных на универсумах
ной композицией (min-max composition)
бинарное отношение на
и
соответственно. Минимакс-
называется нечеткое
с функцией принадлежности
Альтернативная запись:
Понятие минимаксной композиции отношений может быть расширено за счет использования произвольных Т-конорм (min-T-conorm
composition):
Пример 4.4. Пусть
универсальные множества. Пусть на
,
и
отношения и Sсоответственно своими матрицами:
и
,
–
заданы нечеткие
54
;
S
;S
,
PROD
S
x y xy
0,8 0,3
0,3 0,7 0,2 0,3 0,3
0,1 0 .
1 0 0,9 0,6 0,6
0,5 0,6
S
:
S
max min 0,3;0,8 ,min 0,7;0,1 ,min 0,2;0,5
max 0,3;0,1;0,2 0,3
0,8 0,3
0,3 0,7 0,2 0,5 0,3
0,1 0 .
1 0 0,9 0,1 0
0,5 0,6
S
:
S
min max 0,3;0,8 ,max 0,7;0,1 ,max 0,2;0,5
min 0,8;0,7;0,5 0,5
0,8 0,3
0,3 0,7 0,2 0,24 0,12
0,1 0 .
1 0 0,9 0,8 0,54
0,5 0,6
PROD PROD
S
:
PROD
S
max 0,3 0,8; 0,7 0,1; 0,2 0,5 max 0,24; 0,07;0,1 0,24.
12
12
Найти: 1)
норма PROD.
►1. В соответствии с определением 4.11 имеем:
Пояснение. Покажем, как получен элемент с индексом 11 матрицы композиции отношений
2. В соответствии с определением 4.12
Пояснение. Покажем, как получен элемент с индексом 11 матрицы композиции отношений
3. Максимультипликативная композиция
2)
3)
где
.
.
– Т-
Пояснение. Покажем, как получен элемент с индексом 11 матрицы композиции отношений
Приведем в ознакомительном порядке некоторые свойства композиции отношений на примере максиминной композиции.
Утверждение. Операция максиминной композиции нечетких от-
ношений обладает следующими свойствами:
а) если
, то
,
◄
55
1 2 3 1 2 3
,=
1 2 3 1 2 1 3
,=
1 2 3 1 2 1 3
.
1
2
,XY
1
( , )xy
2
( , )xy
( , )yz
.YZ
12
,
( , )x y X Y
12
( , ) ( , ),x y x y
12
min ( , ) min ( , ).x y x y
( , )x z X Z
12
sup min( ( , ), ( , )) sup min( ( , ), ( , ))
y Y y Y
x y y z x y y z
12
( , ) ( , )x z x z
12
.
()UF
()VF
.UV
()UF
()VF
()AU F
()BV F
()
( ) ( ) sup min( ( ), ( , )) ;
B A A
xU
y y x x y
б) ассоциативна:
в) дистрибутивна относительно операции объединения:
г) недистрибутивна относительно операции пересечения:
► Докажем одно из свойств, например «а». Пусть функции принадлежности нечетких отношений
суть
и
дано произвольное нечеткое отношение своей функцией принадлежности
на универсуме
,
, заданных на универсуме
соответственно. Пусть также за-
Тогда, если
то
для любых
числе
имеет место
Следовательно, для любых
в том
справедливо
,
что эквивалентно по определению
, то есть
◄
Доказательство остальных положений утверждения предлагаем
читателю выполнить самостоятельно.
Опр. 4.13. Композиционное правило вывода Заде (Zadeh’s rule of
inference composition). Пусть U и V – два универсальных множества,
на которых заданы классы нечетких подмножеств
соответственно, а – нечеткое отношение на
1) отношение определяет отображение
образом, что каждому НМ
соответствует НМ
на
и
Тогда:
таким
функция принадлежности которого
,
56
()VF
()UF
()BV F
()AU F
11
()
( ) ( ) sup min( ( ), ( , )) .
B
A
B
yV
x x y y x
,BA
1
.AB
0 0,1 0,5 0,8 1
,
1 2 3 4 5
A
1 0,8 0,4 0,2
5 10 15 20
B
D
0,3 0,5 1 0,7 0,4
.
1 2 3 4 5
C
D
C
2) отношение определяет также и обратное отображение
НМ
таким образом, что каждому НМ
, функция принадлежности которого
соответствует
на
При этом нечеткое множество B называется образом, а НМ A – прообразом.
В матричном виде указанные выше композиционные правила записываются следующим образом:
Композиционное правило вывода лежит в основе нечеткого логического вывода, который подробнее будет рассмотрен в последующих
разделах. Пока лишь отметим, что нечеткое отношение можно рассматривать как выражение взаимосвязи между нечеткими множествами (нечеткими переменными). Следовательно, композиционные пра-
вила позволяют находить нечеткий образ B по заданному нечеткому
прообразу A и наоборот.
Если множества A и B имеют конечные дискретные носители,
то соотношения, выражающие композиционное правило вывода, реализуемы в наглядной матричной форме.
Пример 4.5. Пусть на соответствующих универсумах X и Y заданы нечеткие множества:
1. Полагая, что B – образ (выходной нечеткий сигнал), а A –
прообраз (входной нечеткий сигнал), определить значение на выходе
, если на вход подан сигнал
2. Взяв в качестве образа полученное в п. 1 нечеткое множество
, найти его прообраз – нечеткое множество
.
.
57
XY
( , )
ij
xy
( , ) min( ( ), ( )).
i j i j
B
x y x y
0 0 0 0
0,1 0,1 0,1 0,1
0,5 0,5 0,4 0,2
0,8 0,8 0,4 0,2
1 0,8 0,4 0,2
:DC
0 0 0 0
0,1 0,1 0,1 0,1
0,3 0,5 1 0,7 0,4
0,5 0,5 0,4 0,2
1 2 3 4 5
0,8 0,8 0,4 0,2
1 0,8 0,4 0,2
D
0,7 0,7 0,4 0,2
.
5 10 15 20
5 Y
min(0,3; 0) 0
min(0,5; 0,1) 0,1
(5) max max 0,7.
min(1; 0,5) 0,5
min(0,7; 0,8) 0,7
min(0,4;1) 0,4
D
► Сначала рассчитываем нечеткое отношение на
гласно правилу «если A, то B», применяя в качестве Т-нормы операцию min, то есть степень принадлежности элемента
нию вычисляется как
матрицу отношения
.
По композиционному правилу вывода (опр. 4.13, п.1) находим
образ D сигнала C, то есть
со-
отноше-
Получим
Поясним процесс расчета степени принадлежности первого эле-
мента
Аналогично рассчитываются степени принадлежности остальных
элементов D.
выходного множества D:
58
1
,
1
0 0,1 0,5 0,8 1
0 0,1 0,5 0,8 0,8
.
0 0,1 0,4 0,4 0,4
0 0,1 0,2 0,2 0,2
С
1
:CD
0 0,1 0,5 0,8 1
0 0,1 0,5 0,8 0,8
0,7 0,7 0,4 0,2
0 0,1 0,4 0,4 0,4
5 10 15 20
0 0,1 0,2 0,2 0,2
С
0 0,1 0,5 0,7 0,7
.
1 2 3 4 5
.CC
UU
( , ).xy
, , :x y z U
( , ) 1xx
( , ) 1 ( , ) 1x y y x
( , ) ( , ) 1 ( , ) 1x y y z x z
( , ) ( , ) 1 ,x y y x x y
Теперь составим матрицу обратного отношения
ляется транспонированной по отношению к исходной:
Используя композиционное правило (опр. 4.13, п.2), находим
прообраз
Интересно, что
ние нечеткого характера отношения.◄
Композиционное правило Заде лежит в основе различных алгоритмов нечеткого логического вывода, о чем подробно будет рассказано в последующих разделах.
Перейдем к обсуждению некоторых свойств нечетких отношений,
причем для лучшего понимания начнем с классического случая.
Опр. 4.14. Пусть – классическое (четкое) бинарное отношение
на
гда, если для любых
1)
2)
(symmetric);
3)
транзитивным (transitive);
4)
метричным (anti-symmetric).
сигнала D, то есть
Но это не ошибка в расчетах, а проявле-
, описываемое характеристической функцией
, то называется рефлексивным (reflexive);
, то называется симметричным
, то называется
то называется антисим-
которая яв-
То-
59
( , )xy
( , )xy
UU
( , )xy
, , :x y z U
( , ) 1xx
( , ) ( , )x y y x
( , ) min ( , ), ( , )x z x y y z
( , ) 0 и ( , ) 0 ,x y y x x y
, , , , ,U а б в г д е
UU
,.x y U
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
Переходя от характеристической функции
ношения к функции принадлежности
ния , получим следующее определение.
Опр. 4.15. Пусть – нечеткое бинарное отношение на
описываемое функцией принадлежности
любых
1)
2)
3)
зитивным (по Т-норме Заде, то есть мин-транзитивным);
4)
тисимметричным (anti-symmetric).
Отношение, удовлетворяющее одновременно свойствам 1-3, называется отношением эквивалентности (equivalence relation).
Для того чтобы лучше понять перечисленные свойства, рассмотрим следующий пример.
Пример 4.6. Пусть задано множество студентов: Алексей, Борис,
Валентина, Галина, Даниил, Егор, описываемое в виде универсума
бинарного отношения на
ного отношения = «x состоит в дружеских отношениях с y», где
Какими являются эти отношения?
►а) Так как отношение дискретное и конечное, то удобно его
описывать матричным способом:
, то называется рефлексивным;
, то называется симметричным;
, то называется тран-
. Предложить описание: а) классического (четкого)
= «x – друг y»; б) нечеткого бинар-
нечеткого отноше-
то называется ан-
четкого от-
. Тогда, если для
,
Из матрицы видно, что, например, Алексей дружит с Борисом,
Даниилом и Егором; Борис дружит с Алексеем, Валентиной и Дании-
.
60
1 0,8 0,1 0,2 0,7 1
0,8 1 0,9 0,1 0,8 0
0,1 0,9 1 0,1 0,2 0,8
0,2 0,1 0,1 1 0,7 0,6
0,7 0,8 0,2 0,7 1 0,7
1 0 0,8 0,6 0,7 1
( , ) 0,1 min ( , ), ( , ) min 0,8;0,9 0,8.а в а б б в
{1,2,3,4}X
{1,4,6,10}.Y
XY
,.x X y Y
лом и т.д. Ясно, что отношение симметрично, рефлексивно (мы
предполагаем по умолчанию, что индивидуум является другом по отношению к самому себе), но нетранзитивно (например, Борис – друг
Алексея, а Валентина – друг Бориса, но из этого не следует, что Алексей и Валентина – друзья).
б) Рассмотрим теперь нечеткое отношение = «x состоит в дру-
жеских отношениях с y». Учитывая неопределенный характер понятия
«дружеские отношения», можно предположить, что матрица отношения будет иметь вид:
Как и , отношение симметрично, рефлексивно, по-
прежнему нетранзитивно. Действительно,
Вопросы и упражнения к разделу 4
1. Определите понятия «нечеткое отношение», «нечеткое декар-
тово произведение НМ». Поясните разницу между ними.
2. Дайте определения носителя, ядра, α-сечения нечеткого отно-
шения . Как задаются бинарные отношения на непрерывных и дискретных носителях?
3. Перечислите известные вам операции над нечеткими множе-
ствами. Каковы их аналоги в случае нечетких отношений?
4. Какие виды композиций нечетких отношений вам известны?
5. Сформулируйте композиционное правило нечеткого вывода
Л.Заде. Где оно применяется?
6. Что такое симметричное, рефлексивное, транзитивное, анти-
симметричное нечеткое отношение?
7. Пусть
виде матрицы нечеткое бинарное отношение = «y близко к
х», где
,
.
Записать на
◄
в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]