Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории нечетких множеств. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
31
{1,2,3,4,5}U
0 0,5 1 0,5 0
1 2 3 4 5
A
()B f A
( ) 4 1f x x
0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,8 0,5 0,3 0,1
4 3 2 1 0 1 2 3 4
A
–5, –4,–3, –2, –1,0,1,2,3,{ .}4,5U
()B f A
2
( ) 2 3 1f x x x
( ) [ 2;0;1;2]( )
u
x tz x
:f X Y
( ) .y f x x
0,2 0,6 1 0,7 0,3 0,1
,
4 3 2 1 0 1
A
0,2 0,7 1 0,8 0,2
.
0 1 2 3 4
B
:f
22
( , ) .f x y x y
( , ).C f A B
( ) [3;4;5]( )
u
x tr x
( ) [1;2;3]( )
v
y tr y
:f
( , ) / .z f x y x y
/w u v
()wz
1,2,3,4,5.z
4. Пусть на универсуме
ство
, если
5. Нечеткое множество
задано на универсуме
Найдите нечеткий образ
6. Задано нечеткое число u, описываемое трапециевидной
функцией принадлежности
ясь принципом обобщения, найдите его образ, если отображение
ции принадлежности прообраза u и образа u в одной системе координат.
7. Решите предыдущее задание при помощи α-уровневого прин-
ципа обобщения. Результат представьте графически и сравните с ранее полученным.
8. Имеются два нечетких подмножества с конечными дискрет-
ными носителями на множестве целых чисел :
задано как
.
задано нечеткое множе-
. Найдите нечеткий образ
, если
. Пользу-
Изобразите функ-
.
Отображение
Найдите нечеткий образ
9. Имеются два треугольных числа u и v с функциями принад-
лежности
ветственно. Пусть отображение
формулой
найдите степени принадлежности нечеткого числа
то есть значения ФП
задано как
и
Применяя принцип обобщения,
при
соот-
описывается
,
32
12
[],А a a
12
[],В b b
12
aa
12
bb
1 1 2 2
[ ; ];A B a b a b
1 2 2 1
[ ; ];A B a b a b
12
21
,,если 0
,,если 0;
aa
A
aa
[min ; max ],A B P P
1 1 1 2 2 1 2 2
; ; ; ;P a b a b a b a b
0 B
12
21
11
[ ; ] ; .
A
aa
B b b
,[]А a a
,[]В b b
А
B
3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ
ЧИСЛАМИ
Арифметические операции над нечеткими числами являются основой нечеткой математики. Чтобы лучше понять их сущность, сначала рассмотрим классические арифметические операции с обычными
(четкими) промежутками действительной оси. Такие операции можно
рассматривать как расширение обычных арифметических операций
над действительными числами (в некоторых источниках это называется «интервальной арифметикой»).
Пусть – действительное число,
отрезка на действительной оси. Предполагается, что
Опр. 3.1. Результаты арифметических операций над отрезками
(сложения, вычитания, умножения, деления) определим следующим
образом [11]:
- сумма А и В – это отрезок
- разность А и В – это отрезок
- произведение А на скаляр – это отрезок
и
– два
и
.
единственной точки, то есть
выше операции просто превращаются в обычные арифметические опе-
рации над действительными числами а и b.
любую из четырех арифметических операций условным знаком .
Характеристические функции отрезков А и В будем обозначать
и
- произведение А на В – это отрезок
где
- частное от деления А на В (при условии
Нетрудно заметить, что если рассматривать отрезки, состоящие из
Для придания общности нашим рассуждениям будем обозначать
соответственно. Имеется в виду
) – это отрезок
и
, то определенные
33
12
12
1, если [ , ]
()
0, если [ , ].
А
х a a
х
х a a
12
[],А a a
12
[],В b b
АB
( , )|
( ) sup min ( ), ( )
А B A B
x y x y z
z x y
1, если и
min ( ), ( )
0, если или .
AB
x A y B
xy
x A y B
( , )|
( ) sup min ( ), ( ) .
А B A B
x y x y z
z x y
12
[],ax a
12
[],y b b
1 1 2 2
( ) [ ] ), (1
АB
aax y z b b z
( , )|
sup min ( ), ( ) min 1,1 1.
AB
x y x y z
xy
12
[],ax a
12
,[ ],y b b
1212
( ) [ ) 0, ] ( .
АB
aax y z b b z
( , )|
min 1,0 0.
sup min ( ), ( ) min 0,1 0 0.
min 0,0 0.
AB
x y x y z
xy
Докажем единый для всех арифметических операций принцип
обобщения, который позволит нам распространить операции над действительными числами на операции над отрезками действительной
оси. Это утверждение – своего рода «смычка» между обычной и нечеткой арифметиками.
Утв. 3.1. Пусть
тельной оси, а – одна из арифметических операций над ними. Тогда
характеристическая функция результата операции
► Легко убедиться, что
Докажем утверждение теоремы для одного из четырех частных
случаев. Так, если = +, то предстоит доказать, что
и
– два отрезка действи-
.
Действительно, если
ких x и y сумма
следует из непрерывности отрезков действительной числовой оси. Но
это равносильно
Если же хотя бы одно из слагаемых
то их сумма не должна попадать в результирующий промежуток, т.е.
Утверждение для операции сложения доказано. ◄
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что и остальные арифметические операции полностью удовлетворяют принципу обобщения.
и
, то для любых та-
или
Но это равносильно
, что
34
()
u
х
()vy
uv
( , )|
( ) sup min ( ), ( ) ;
uv
uv
x y x y z
z хy
uv
( , )|
( ) sup min ( ), ( ) ;
uv
uv
x y x y z
z хy
u
1
|
0
0
sup ( ), если 0
( ), если 0
()
( ), если 0,
( ), если 0
u
u
x x z
u
х
z
z
z
z
0
uv
( , )|
( ) sup min ( ), ( ) ;
uv
uv
x y xy z
z хy
/
( , )| /
( ) sup min ( ), ( )
uv
uv
x y x y z
z хy
0 ( ).supp v
Замечание: в случае арифметических операций над обычными
(четкими) отрезками верхнюю грань (supremum) в утв. 3.1, конечно,
можно опустить. Это связано с бинарностью характеристической
функции (возможные ее значения – только 0 или 1). Тем не менее, появление операции sup предполагает последующее распространение
доказанного утверждения на нечеткие промежутки, то есть на нечеткие числа (сравните формулу утв. 3.1 с принципом обобщения Заде,
обсуждавшимся в предыдущем разделе).
Теперь мы можем совершенно обоснованно сформулировать определения результатов арифметических операций над НЧ.
Опр. 3.2. Пусть u и v- нечеткие числа, заданные функциями
принадлежности
и
соответственно. Тогда:
1) суммой u и v называется нечеткое число
с функцией
принадлежности
2) разностью u и v называется нечеткое число
ей принадлежности
3) произведением НЧ u на обычное (четкое) действительное чис-
ло называется нечеткое число
где
- характеристическая функция элемента {0} (нечеткий сингл-
тон);
4) произведением u и v называется нечеткое число
функцией принадлежности
5) частным u и v называется нечеткое число u/v
с функцией принадлежности
с функци-
с
при условии
35
0,3 1 0,4
,
1 2 3
u
0,7 1 0,2
.
2 3 4
v
|min ( ), ( ) .
uv
x xy y
= +
1 2 3
2
3 | 0,3
4 | 0,7
5 | 0,4
3
4 | 0,3
5 | 1,0
6 | 0,4
4
5 | 0,2
6 | 0,2
7 | 0,2
0,3 max(0,3;0,7) max(0,2;1;0,4) max(0,2; 0,4) 0,2
,
3 4 5 6 7
uv
0,3 0,7 1 0,4 0,2
.
3 4 5 6 7
uv
= -
1 2 3
2
-1 | 0,3
0 | 0,7
1 | 0,4
3
-2 | 0,3
-1 | 1,0
0 | 0,4
4
-3 | 0,2
-2 | 0,2
-1 | 0,2
0,2 max(0,2;0,3) max(0,2;1;0,3) max(0,4; 0,7) 0,4
,
3 2 1 0 1
uv
0,2 0,3 1 0,7 0,4
3 2 1 0 1
uv
1 2 3
2
2 | 0,3
4 | 0,7
6 | 0,4
3
3 | 0,3
6 | 1,0
9 | 0,4
4
4 | 0,2
8 | 0,2
12 | 0,2
Внимательный читатель наверняка подметил, что определение 3.2
представляет собой известный нам принцип обобщения Заде, однако
конкретизированный для каждого вида арифметических операций.
Пример 3.1. Пусть даны два нечетких числа
Вычислить сумму, разность, произведение и частное данных НЧ.
► Для наглядности выполним расчеты в таблицах. Ячейки представлены в формате
А. Сумма:
Б. Разность:
В. Произведение:
.
36
0,3 0,3 max(0,2; 0,7) max(0,4;1,0)
2 3 4 6
0,2 0,4 0,2
,
8 9 12
uv
0,3 0,3 0,7 1 0,2 0,4 0,2
.
2 3 4 6 8 9 12
uv
uv
=
1 2 3
2
1/2 | 0,3
1 | 0,7
3/2 | 0,4
3
1/3 | 0,3
2/3 | 1,0
1 | 0,4
4
1/4 | 0,2
1/2 | 0,2
3/4 | 0,2
0,2 0,3 max(0,2; 0,3) 1,0
1/ 4 1/ 3 1/ 2 2 / 3
0,2 max(0,4; 0,7) 0,4
,
3/ 4 1 3/ 2
u
v
0,2 0,3 0,3 1,0 0,2 0,7 0,4
.
1/ 4 1/ 3 1/ 2 2 / 3 3/ 4 1 3/ 2
u
v
/uv
Заметим, что полученное в пункте «В» нечеткое множество уже
не выпуклое (степень принадлежности элемента 9 больше, чем у двух
соседних элементов), следовательно,
лом по определению.
Г. Частное:
не является нечетким чис-
Полученное в пункте «Г» нечеткое множество также не выпуклое
(степень принадлежности элемента 1 больше, чем у двух соседних
элементов), следовательно,
Безусловно, весьма желательной представляется замкнутость
множества всех нечетких чисел относительно любых арифметических
операций, т.е. чтобы их результат также был нечетким числом. Сформулируем соответствующее достаточное условие.
Утв. 3.2. (Dubois & Prade [12]). Если нечеткие числа u и v имеют непрерывные функции принадлежности, то результатом арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) над
ними также будут нечеткие числа.
Вместе с тем необходимо отметить, что объем вычислений с использованием принципа расширения существенно возрастает, если мы
не является нечетким числом.◄
37
1, если1 2
1, если 2 3
( ) [1,2,3,4]( )
4,если 3 4
0 в остальных случаях,
u
xx
x
х tz x
xx
2, если 2 3
1, если 3 4
( ) [2,3,4,8]( )
2,если 4 8
4
0 в остальных случаях.
v
yy
y
y tz y
y
y
( ).uv
( , )|
( ) sup min ( ), ( ) .
uv
uv
x y xy z
z хy
[1, 4]x
[2, 8]y
()uv
[2, 32]z
имеем дело с нечеткими числами, заданными при помощи непрерывных ФП.
Пример 3.2. Пусть даны два трапециевидных НЧ:
Найти нечеткое число
► По определению произведения нечетких чисел
Носитель НЧ u – промежуток
межуток
Решим поставленную задачу с использованием MathCad.
Сначала опишем исходные НЧ, используя возможность MathCad
задавать функции, определяемые различными аналитическими выражениями на разных промежутках (piecewise functions):
и построим графики этих функций принадлежности (рис. 3.1).
. Тогда носитель НЧ
, а носитель НЧ v – про-
будет
.
38
w u v
;u
Рис. 3.1. К примеру 3.2. Функции принадлежности исходных
НЧ u и v
Пусть
ми программирования в MathCad. Алгоритм достаточно прост и интуитивно понятен:
Пояснение к алгоритму. Организуется цикл (for), причем количество его проходов выбирается так, чтобы покрыть весь носитель числа
коэффициент 0,01 определяет степень дискретизации обработки
значений носителя сообразно требуемой точности результата.
Функция принадлежности результата w изображена на рис. 3.2.
Благодаря выбору достаточно высокой степени дискретизации,
результирующая ФП выглядит как бы сплошной. ◄
Вместе с тем становится очевидным, что без применения средств
вычислительной техники практическая реализация даже самых простых операций над НЧ, заданных непрерывными ФП, весьма затруднительна.
. Реализуем принцип расширения Заде средства-
39
w u v
01
,u v u v
, , ,
,u u u
,v v v
01
uv
,u v u v u v u v
uv
Рис. 3.2. К примеру 3.2. Функция принадлежности НЧ
Для сокращения объема вычислений можно использовать метод
α-сечений, правда, придется пожертвовать точностью. Здесь будет полезно следующее утверждение.
Утв. 3.3. Для любых
арифметической операции связаны следующим образом:
где – любая из четырех арифметических операций
► Данное утверждение является следствием α-уровневого принципа обобщения (см. утверждение раздела 2). Действительно, в качестве отображения f здесь выступает функция двух переменных –
арифметическая операция , являющаяся непрерывной. Тем не менее, заинтересованные читатели могут найти развернутое доказательство данной теоремы в [22].◄
Используя определения операций над отрезками, можно доказать
следующее следствие из утверждения 3.3.
Утв. 3.4. Пусть u и v – нечеткие числа, а
– произвольные их α-сечения,
- сумма u и v – это НЧ
α-сечения операндов и результата
. Тогда:
с α-сечениями
;
.
и
- разность u и v – это НЧ
с α-сечениями
40
,u v u v u v u v
,,если 0
,,если 0;
uu
uu
uu
uv
min ; maxu v u v P P
;;;P u v u v u v u v
0 suppv
11
[ ; ] ; .
uu
uu
v v v
v
1, если1 2
( ) [1,2,3]( ) 3 , если 2 3
0 иначе,
u
xx
х tr x x x
3, если 3 4
( ) [3,4,5]( ) 5 , если 4 5
0 иначе.
v
xx
х tr x x x
1 , 3u
3 , 5 .v
4 2 , 8 2 [4,6,8] ,u v u v tr
4 2 , 2 [ 4, 2,0] ,u v u v tr
2 2 2 2 , 6 2 [2,4,6] .u u tr
- произведение u на скаляр – это НЧ с α-сечениями
;
- произведение u на v – это нечеткое число
где множество
- частное деления u на v (при условии
вал
Доказательство данного утверждения предоставляем читателю в
качестве упражнения.
Пример 3.3. Даны два треугольных НЧ u и v с функциями принадлежности:
Применяя метод α-сечений, выполнить все арифметические операции над этими числами.
► Сначала запишем α-сечения исходных множеств:
и
Используя утв. 3.4, получаем
;
с α-сечениями
,
) – это интер-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]