Основы математического анализа (модуль «Неопределенный интеграл»). Учебное пособие

21

От формул



 dxxfxF )()(

)()( xfxF 





 duufuF )()(

)(xu 

   

xddxx 



 

bxddx 

constb 

 

axd

a

dx1

consta 

0a

 

baxd

a

dx 

1

constba ,

0a

 

2

1

xddxx 

 

bxddxx 

2

1

 

xddxx cossin 

 

xddxx sincos 

 

Idxx 



2

32

 

dxxd 232 

 

32

2

1

 xddx

     





3232

2

1

32

22

xdxdxxI

 

C

x



6

32

3

 

C

x

dxxI 







6

32

3

2

dxex

x





2

 

2

1

xddxx 

 

C

e

xdedxex

x

xx





22

1

2

22

2

и

перейдем к формуле

переменной x,

Рассмотрим несколько простейших преобразований дифференциала:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

, где

 любая дифференцируемая функция от независимой

.

,

;

,

;

,

;

7.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл:

Решение: Заметив, что

новую переменную, а просто записать:

.

Ответ:

Пример 3. Найти неопределенный интеграл:

Решение: Заметим, что

.

,

.

, мы можем не вводить

.

; значит,

.

22

Ответ:

C

e

dxex

x





2

)(tx 

 

t



dxx

3

tg

tx tg

xx arctg

2

1 t

dt

dx









 dt

t

dt

tdxx

2

3

2

33

11

tg

2

1 tu 

12 ut

dttdu 2

dudtt

2

1

























u

du

dudu

u

t

dttt

dt

t

dt

tdxx

2

1

2

11

2

1

111

tg

2

3

2

33

       

 CxxCttCuu

2222

tg1ln

2

1

tg1

2

1

1ln

2

1

2

1

ln

2

1

2

1

Cx

x

C

xx



 









 cosln

cos2

1

cos

1

ln

2

1

cos2

1

222

tax cos

tax sin

dxxa22I

0a

dxxa22I

0a

tax cos

.

б) Метод подстановки. Такое название применяется, когда в более сложных

задачах приходится вводить новую переменную t, такую, что

дифференцируемая функция этой переменной.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл:

Решение: Используем подстановку

или, что то же самое,

.

; используем новую подстановку:

тогда

,

.

, где



;

,

.

2.3 Тригонометрическая подстановка

Рассмотрим теперь подстановки

находить интегралы вида

, где

и

, которые позволят

. От того, какую из этих

подстановок мы используем, будет зависеть, в каком виде выражается функция,

получающаяся в результате интегрирования.

Пусть

где

. Применим подстановку

.

23

 















dttadttata

ta

tata

taaxa

dttadxtax

dxxa

22

222

22222

22

sinsinsin

sin

sincos1

cos

,sin,cos

I

 

Ct

a

t

a

Ctt

a

dtt

a



 



 







2

2sin

4

2sin

2

1

2

2cos1

2

2222

ta2sin

4

2

tatatt

a

tt

a

cossin

2

1

cossin

2

cossin2

4

22



222222

coscos1sincos xataatataxta 

C

a

xa

x

I  arccos

22

2

22

tax sin

 















dttadttata

ta

tata

taaxa

dttadxtax

dxxa

22

222

22222

22

coscoscos

cos

cossin1

sin

,cos,sin

I

 

Ct

a

t

a

Ctt

a

dtt

a



 



 







2

2sin

4

2sin

2

1

2

2cos1

2

2222

ta2sin

4

2

tatatt

a

tt

a

cossin

2

1

cossin

2

cossin2

4

22



222222

sinsin1cossin xataatataxta 

C

a

xa

x

I  arcsin

22

2

22

)()( xaxFxf 





Так как

Применим теперь вторую разновидность тригонометрической подстановки

.

; но

.

. Тогда

.

Так как

Продифференцируйте обе получившиеся функции и убедитесь, что в обоих

случаях получится функция

; но

.

. Тогда

.

24

2.4 Примеры решения задач



 bax

dx

baxy 

 

dxxydy

   

dxadxbaxbaxd 







bax

dx

 







bax

baxd

a

1

Cbax

a

ln

1



 bax

dx

Cbax

a

 ln

1

dx

x



4

cos

4

x

y 

 

dxxydy

444

dx

xx

d 



 



 





 



 



C

xx

d

x

dx

x



 



 







4

sin4

44

cos4

4

cos

C

x

dx

x





4

sin4

4

cos

dxx3sin

3

1

 

Cxxdxdxx 



3cos

3

1

33sin

3

1

3sin

Cxdxx 



3cos

3

1

3sin

dxe

x



2

Ce

x

dedxe

xxx



 



 







222

2

Задача 1. Найти неопределенный интеграл:

Решение: найдем дифференциал функции

, тогда

Ответ:

Задача 2. Найти неопределенный интеграл:

Решение: найдем дифференциал функции

, тогда получаем

.

по формуле

.

по формуле

,

.

,

.

Ответ:

Задача 3. Найти неопределенный интеграл:

Решение: умножим и разделим интеграл на 3 и внесём множитель 3 под знак

интеграла; затем вынесем множитель

Ответ:

Задача 4. Найти неопределенный интеграл:

Решение: умножим и разделим интеграл на 2 и внесём делитель 2 под знак

.

за знак интеграла:

.

интеграла, затем множитель 2 − под знак дифференциала:

.

25

Ответ:

Cedxe

xx





22

2

dxxe

x



cos

sin

xy sin

 

dxxxd cossin 

 

Cexdedxxe

xxx





sinsinsin

sincos

Cedxxe

xx





sinsin

cos

dx

x



 sin41

cos

 

dxxxd cos4sin41 

   

 



















Cx

x

xd

dx

x

2

1

2

1

sin412

4

1

2

1

sin4141

sin41

4

1

sin41

cos

Cx  sin41

2

1







dx

x

sin41

cos

Cx  sin41

2

1

dxxx



 2

2

 

dxxxd 222

 













C

x

xdxdxxxdxxx

1

2

1

2

1

22

2

1

22

1

2

1

2

2222

 

CxC

x





 2

3

1

2

3

2

1

2

3

2

dxxx



 2

2

 

Cx  2

3

1

2

dxxe

x



2

.

Задача 5. Найти неопределенный интеграл:

Решение: найдем дифференциал функции

получим:

Ответ:

.

Задача 6. Найти неопределенный интеграл:

Решение: умножим и разделим интеграл на 4; внесем множитель 4 под знак

интеграла и заметим, что

.

:

;

.

. Получим:

.

Ответ:

Задача 7. Найти неопределенный интеграл:

Решение: умножим и разделим интеграл на 2; внесем множитель 2 под знак

интеграла; заметим, что

.

; получим:

Ответ:

Задача 8. Найти неопределенный интеграл:

.

26

Решение: умножим и разделим интеграл на 2; внесем делитель 2 под знак

 

dxxxd 22

 

Cexdedxxe

xxx





222

2

1

2

1

2

Cedxxe

xx





22

2

1

dxxtg

xtg

x

cos

sin

 

  





 Cx

x

xd

dx

x

dx

x

dxx cosln

cos

sin

cos

sin

tg

Cxdxx 



coslntg

dx

x



21

arcsin

2

1

arcsin

1

arcsin

x







 

2

1

arcsin

x

dx

xd





 







xdxdx

x

arcsinarcsin

1

arcsin

2

 

CxC

x



3

2

3

arcsin

3

2

3

arcsin

dx

x



21

arcsin

 

Cx 

3

arcsin

3

2



dxx

x

2

4

2

arctg

2

arctg

x

y 

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

xx

d

2222

4

2

1

4

2

1

4

1

2

1

2

arctg

2

arctg















 



 





 



 









 



 





 



 



интеграла; внесём множитель 2 под знак дифференциала и применим формулу

; получим:

Ответ:

.

Задача 9. Найти неопределенный интеграл:

Решение: заменяя

выражением

, получим:

.

Ответ:

Задача 10. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: по свойству степени преобразуем подынтегральную функцию:

. Заметим, что

Ответ:

.

Задача 11. Найти неопределенный интеграл:

, тогда интеграл примет вид:

.

Решение: умножим и разделим интеграл на 2 и внесём множитель 2 под знак

интеграла; используем формулу дифференциала функции

.

:

.

27



 



 

















 

2

arctg

2

arctg

2

1

2

1

4

2

arcsin

2

1

4

2

arcsin 2

2

1

4

2

arctg

222

x

d

x

dx

x

dx

x

dx

x

C

x

C

x



 



 





 



 





4

2

arctg

2

arctg

2

1

22

C

x

dx

x



 



 









4

2

arctg

4

2

arctg

2

dx

xa

x





44

2

1

2

xy 

 

dxxxd 22

   

 

   















2

44

2

12

2

1

xa

xd

xa

dxx

dx

xa

x

C

a

x



2

arcsin

2

1

dx

xa

x





44

C

a

x



2

arcsin

2

1



 xxdxcossin

xcos

xy tg

 

x

dx

xd

2

cos

tg 

 

Cx

x

xd

xx

dx

x

xx

dx

xx

dx















tgln

tg

costg

cos

cossin

2

Cx

xx

dx







tgln

cossin

.

Ответ:

Задача 12. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: умножим и разделим интеграл на 2 и вынесем множитель

интеграла, затем используем формулу дифференциала функции

, и получим:

.

Ответ:

.

за знак

,

Получим:

Задача 13. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: умножим и разделим знаменатель подынтегрального выражения на

и воспользуемся формулой дифференциала функции

,

.

Ответ:

.

28

Задача 14. Найти неопределенный интеграл:



x

dx

sin

2

cos

2

sin2sinxxx 

2

cos

x

 



 



 

















2

tg

2

tg

2

1

2

cos

2

tg

2

1

2

cos

2

cos

2

cos

2

sin

2

1

2

cos

2

sin2

sin

2

x

d

xx

dx

x

xx

dx

xx

dx

x

dx

C

x

2tgln





























Ct

t

dt

t

dt

t

dt

t

x

t

dt

dx

txt

x

dx

ln

2

1

2

1

2

1

2

1

2

sin,

1

2

arctg2,

2

tg

sin

2

22

Cx2tgln



x

dx

sin

Cx2tgln



x

dx

cos



 2

2

xx

dx

t

x1



1

x

e

dx

tx ln

.

Решение: I способ. Представим

разделим знаменатель на

.

II способ. Воспользуемся так называемой универсальной тригонометрической подстановкой:

, затем умножим и

и получим:

.

Ответ:

.

Заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка наиболее

удобна при интегрировании дробей, в которые входят степени синуса и косинуса.

Попробуйте применить эту подстановку к предыдущей задаче и к интегралу

Задача 15. Применяя указанные подстановки, найти неопределенные

интегралы: а)

б)

,

;

.

29

в)

 



 dxxx

7

2

35

tx  35

2



1x

xdx

1 xt



 x

dxx

2

sin1

cos

xt sin









 



 











2

1

2

11

,

1

2

t

dt

tt

t

dt

t

dt

dx

t

x

xx

dx

 

























2222

2

21

2

1

21

212121

t

td

t

dt

t

dt

t

dt

t

dt

 

C

xx

tCt 

2

arcsin

2

11

2arcsin

2

1







 



 









 





 



















t

dt

t

dt

et

dt

e

dt

t

dt

dxtx

e

dx

t

tx

1

,ln

1

ln

CeetCt

t

dt

xx











1ln1ln

1

 

C

x

C

t

dttdtxdxtxdxxx 







80

35

810

1

10

1

10,3535

8

28

72

7

2

 





 





 

















Ct

t

dttdt

t

tt

dttdx

txxt

x

xdx

3

212

21

2

1,1

1

3

2

 

Cx

x





 





 







 1

3

1

2

3















Ctt

t

dt

dtxdxtx

x

dxx

2

22

1ln

1

cos,sin

sin1

cos





Cxx 

2

sin1sinln

,

;

г)

д)

Решение: а)

,

;

.

б)

в)

г)

д)

.

30

Ответ: а)



 2

2

xx

dx

Cx

2

arcsin

2

1



1

x

e

dx

Cex



1ln

 



 dxxx

7

2

35

 

Cx





80

35

8

2



1x

xdx

 

Cx

x





 





 







 1

3

1

2

3



 x

dxx

2

sin1

cos





Cxx 

2

sin1sinln

dxx29

 















dttt

x

tt

tx

dttdxtx

cos3cos3

3

arcsin,cos3

cos3sin19

sin999

,cos3,sin3

22





dtt

2

cos9

 

CttCttdtt 

 



 







2

9

2sin

4

9

2sin

2

1

2

9

2cos1

2

9

t2sin

4

9

tttttt cos3sin3

2

1

cossin

2

9

cossin2

4

9



222

9sin99sin13cos3sin3 xtttxt 

dxx29

C

x



3

arcsin

2

9

2

dxx29

C

x



3

arcsin

2

9

2

dxx16

2

;

б)

в)

г)

д)

;

.

Задача 16. Найти неопределенный интеграл:

Решение: применим тригонометрическую подстановку:

.

Так как

.

Ответ:

Задача 17. Найти неопределенный интеграл:

; но

. Тогда

.

Решение: здесь мы применим другую тригонометрическую подстановку: