Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия преобразования Лапласа. Учебное пособие.pdf
51
2
2
1
1
с0с00
τ
μexpμcos1
μ
2
τ,
R
a
R
x
TTTTxTT
nn
n
n
n
,
или
Foμexpμcos
τ,
θ
2
1
с0
с
nn
n
n
R
x
A
TT
TxT
,
где
1
1
μ
2
n
n
n
A
– начальная тепловая амплитуда,
2
τ
Fo
R
a
– число
Фурье.
Тогда в случае нагрева тела имеем
Foμexpμcosθ
2
1nnn
n
R
x
A
,
где
0с
0
0с
с
1θ
TT
TT
TT
TT
.
В окончательном виде имеем:
.Foμexpμcos
2
1
0c
c
nn
n
n
R
x
A
TT
TT
Проверим решение в программе Matlab R2013b:
syms z k z(t) s a % Объявляем переменные
ddz = diff(z,t,2); % Объявите дифференциальные
уравнения.
eqn1 = – a*ddz ==0
dz = diff(z,t,1); % Объявите дифференциальные урав-
нения.
eqn2 = dz ==0
eqn = eqn2+eqn1
eqn1LT = laplace(eqn,t,s) % Прямое преобразование
Лапласа
syms z_LT
eqn1LT = subs(eqn1LT,[laplace(z,t,s)],[z_LT])
eqns = [eqn1LT];
vars = [z_LT];
[z_LT] = solve(eqns,vars)
52
zsol = ilaplace(z_LT,s,t); % Обратное
преобразование Лапласа
zsol = simplify(zsol)
vars = [z(0)];% Задаем начальные условия
values = [1];
zsol = subs(zsol,vars,values
zsol = a*exp(t/a)*1 – a*1 + 1 % Задаем начальные
условия в полученном решении
x = -pi/3:pi/1000:0; % Задаем граничные условия
в полученном решении
k=1; % Допустим
a=1;
zsol = a*exp(x/a)*1 – a*1 + 1;
x2=-1:0.001:-0,5;
y=1*cos(x2)*exp(-0.5); % Записываем решение,
полученное с использованием преобразования Лапласа
figure
subplot(2,2,1)
plot(x, zsol) % Сроим 1 график с начальными
условиями и полученным решением
subplot(2,2,2)
plot(x2,y)% Записываем решение, полученное
с использованием преобразования Лапласа
subplot(2,2,3) % Сравниваем два решения на графике
hold on
plot(x, zsol)
scatter(x2,y)
hold off
eqn1(t) =
-a*D(D(z))(t) == 0
eqn2(t) =
D(z)(t) == 0
eqn(t) =
D(z)(t) – a*D(D(z))(t) == 0
eqn1LT(s) =
s*laplace(z(t), t, s) – z(0) + a*(D(z)(0) + s*z(0) – s^2*laplace(z(t), t, s)) ==
0
eqn1LT(s) =
s*z_LT – z(0) + a*(- z_LT*s^2 + z(0)*s + D(z)(0)) == 0
z_LT =
(z(0) – a*(D(z)(0) + s*z(0)))/(- a*s^2 + s)
53
zsol =
z(0) – a*D(z)(0) + a*exp(t/a)*D(z)(0)
zsol =
a*exp(t/a)*D(z)(0) – a*D(z)(0) + 1
zsol =
a*exp(t/a) – a + 1
Мы видим решение уравнения в виде графиков функций
(рис. 6.3).
-4 -3 -2 -1 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0
-1
-0.5
0
0.5
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
-0.5
0
0.5
1
Рис. 6.3. Графики функций
54
7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО РОДА
Если температура поверхности тела (Тп) значительно меньше
температуры печи (Тс), то вторым членом в скобках можно пренебречь, и получим постоянный тепловой поток, воспринимаемый
поверхностью тела [1]:
const
4
c
CTq
.
Данное граничное условие является частным (простейшим) случаем граничного условия второго рода, когда тепловой поток является
величиной постоянной. Решение задач с переменным тепловым пото-
ком
τпfq
можно получить из соответствующих решений для по-
стоянного теплового потока с помощью теоремы Дюамеля или методом интегральных преобразований Фурье и Ханкеля [1].
7.1. ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО
Примером полуограниченного тела может служить длинный
стержень, боковая поверхность которого изолирована, при условии,
что толщина и ширина стержня незначительны по сравнению с длиной
[1].
Постановка задачи [1]. Дано полуограниченное тело при температуре Т0. Ограничивающая поверхность нагревается постоянным тепловым потоком qc = const. Изменение температуры происходит в одном направлении. Найти распределение температуры по данному
направлению в любой момент времени.
Имеем [1]
2
2
τ,
τ
τ,
x
xT
a
xT
x0,0τ
(7.1)
при краевых условиях
const0,
0
TxT
– н.у., (7.2)
0
τ,0
λ
c
q
x
T
– г.у. II рода, (7.3)
0τ,
x
T
– г.у.
0
τ, TT
. (7.4)
55
Решение дифференциального уравнения (7.1) для изображения
sxTL,
имеет вид [1]
x
a
s
x
a
s
L
eBeA
s
T
sxT
11
0
,
. (7.5)
Граничные условия (7.3) и (7.4) для изображения можно написать
так [1]:
0,0λ
c
'
s
q
sT
L
; (7.6)
0,' sT
L
. (7.7)
Из условия (7.7) следует, что
01А
, так как при
x
темпера-
турный градиент стремится к нулю, а температура тела не может быть
бесконечно большой [при
0
τ, TTx
] [1].
Постоянную
1
B
определяем из граничного условия (7.6) [1]. Име-
ем
0
c
1
s
q
B
a
s
,
откуда
a
s
s
q
B
c
1
.
Следовательно, решение (7.5) примет вид [1]
x
a
s
L
e
s
aq
s
T
sxT
2
3
c0
λ
,
. (7.8)
Для нахождения оригинала воспользуемся табл. А.1 изображения,
согласно которой для нас подходит выражение (54) [1].
τ2
erfcτ4
1
2
2
1
1
1
k
ie
s
L
n
n
sk
n
. (7.9)
Окончательно будем иметь [1]
aτ2
erfcτ
λ
2
τ,
c
0
x
ia
q
TxT
.
56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данный учебное пособие позволит студентам направления
«Теплоэнергетика и теплотехника» решить задачи по темам: свойства
преобразования Лапласа, теоремы подстановки, обратное преобразование Лапласа, метод решения простейших дифференциальных уравнений, граничные условие первого и второго рода.
57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности : учебное пособие /
А. В. Лыков. – М. : Высшая школа, 1967. – 599 с. – URL :
https://djvu.online/file/xgw6k0PwkBfEk
2. Плескунов, М. А. Операционное исчисление : учебное посо-
бие / М. А. Плескунов. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. –
143 с.
3. Крайнов, А. Ю. Операционное исчисление. Примеры
и задачи : учебно-методическое пособие / А. Ю. Крайнов,
Ю. Н. Рыжих. – Томск : Том. ун-т, 2007. – 104 с.
4. Волков, И. К. Интегральные преобразования и операционное
исчисление : учебник для вузов / И. К. Волков, А. Н. Канатников. –
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 228 с.
58
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
А.1. Изображение некоторых функций [1]
№
п/п
Изображение функции
F(s) = L[f ()]
Оригинал функции f ()
1
s
1
1
2
2
1
s
3
n
s
1
...3,2,1n
!1
τ
1-nn
4
s
1
πτ
1
5
2
3
s
π
τ
2
6
2
1
n
s
...3,2,1n
τ12...531
τ2
2
1
-
n
n
n
7
m
s
mГ
0m
1-τm
8
11
П1Г
mm
s
m
s
m
1m
m
τ
9
аs
1
τa
e
10
аs
1
τae
11
2
1
аs
ττa
e
59
Продолжение табл. А.1
№
п/п
Изображение функции
F(s) = L[f ()]
Оригинал функции f ()
12
n
аs
1
...3,2,1n
!1
τ
τ1-
n
e
an
13
m
asm
Г
0m
τ1τame
14
bsаs
1
ττ1ba
eeba
15
bsаs
s
ττ1ba
beaeba
16
bsbsаs
1
accbba
ebaeacecb
cba
τττ
17
22
ksk
τsink
18
22
kss
τcosk
19
22
ksk
τshk
20
22
kss
τchk
21
2
2
kas
k
τsinτke
a
22
2
2
kas
as
τcosτke
a
23
22
1
kss
τcos1
1
2
k
k
24
222
1
kss
τsinτ
1
2
kkk
60
Продолжение табл. А.1
№
п/п
Изображение функции
F(s) = L[f ()]
Оригинал функции f ()
25
2
22
1
ks
τcosττsin
2
1
3
kkk
k
26
2
22
kss
τsin
2
τ
k
k
27
2
22
2
kss
τcosττsin
2
1
kkk
k
28
2
22
22
ksks
τcosτ k
29
22
2222
ba
bsas
s
22
τcosτcos
abba
30
2
2
1
kas
τsin
1
τ
ke
k
a
31
33
2
3ksk
2
3τ
sin3
2
3τ
cos
2
τ
τ
kk
ee
k
k
32
44
3
44ksk
ττshcosττchsin kkkk
33
44
4kss
ττshsin
2
1
2
kk
k
34
44
1
ks
τsinτsh
2
1
3
kkk
35
44
kss
τcosτch
2
1
2
kkk
36
122n
n
ks
s
!2
τsinτ
kn
k
n
n
37
n
s
s
s
11
ττ
τ
τ!
1
e
d
d
e
n
n
n
n