Основные понятия преобразования Лапласа. Учебное пособие

71

22)

xx

dy

dx

dy

xd

6

3

2



,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

23)

x

dy

dx

dy

xd

2sin

2



,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

24)

xx

dy

dx

dy

xd

6

2



,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

25)

x

dy

dx

dy

xd

4sin

2



,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

26)

122

2

 y

dy

dx

dy

xd

,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

27)

xy

dy

dx

dy

xd

 152

2

,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

28)

x

ey

dy

dx

dy

xd





2

,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

.

29)

x

e

dy

dx

dy

xd

2

3



,

 

00 y

,

 

00

dy

dx

,

 

0

2



dy

xd

.

30)

 

023

2

3

 x

dy

dx

dy

xd

,

 

10 y

,

 

10

dy

dx

,

 

1

0

2



dy

xd

.

72

II. Методом операционного исчисления найти частное решение

системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям [2].

1)



 



 





;0,0x

dx

dy

y

dy

dx

 

20 x

;

 

00 y

.

2)



 



 







;,yx

dx

dy

yx

dy

dx

 

10 x

;

 

00 y

.

3)



 



 







;0

,03

yx

dx

dy

yx

dy

dx

 

10 x

;

 

10 y

.

4)



 



 







;02

,04

yx

dx

dy

yx

dy

dx

 

00 x

;

 

10 y

.

5)



 



 







;,3zy

dy

dz

yz

dz

dy

 

00 y

,

 

00 z

.

6)

















;725

,22

,422

zyx

dy

dz

zyx

dx

dy

zyx

dy

dx

 

10 x

,

 

10 y

,

 

10 z

.

73

7)



 



 







;02

,04

yx

dx

dy

yx

dy

dx

 

20 x

;

 

30 y

.

8)

















;0

,0

dy

dz

zx

z

dx

dy

zy

dy

dx

 

20 x

,

 

2

1

0 y

,

 

2

5

0 z

.

9)



 



 







;052

,07

yx

dx

dy

yx

dy

dx

 

10 x

;

 

10 y

.

10)

















;

,

zyx

dy

dz

zyx

dx

dy

zyx

dy

dx

 

20 x

,

 

20 y

,

 

10 z

.

11)



 



 







;0243

,32

yx

dx

dy

dx

yx

dy

dx

 

00 x

;

 

00 y

.

12)















;

,

zx

dy

dz

yx

dx

dy

zy

dy

dx

 

10 x

,

 

20 y

,

 

30 z

.

74

13)



 



 







;02,0yx

dx

dy

dx

dy

dx

 

10 x

;

 

10 y

.

14)



 



 







;022

,0

yx

dx

dy

y

dy

dx

 

10 x

;

 

10 y

.

15)



 



 







;733

,02

t

ey

dx

dy

dx

y

dy

dx

 

30 x

;

 

10 y

.

16)



 



 







;

,03

t

eyx

dx

dy

x

dx

dy

dx

 

00 x

;

 

00 y

.

17)



 



 







;2sin8

,2sin84

tx

dx

dy

ty

dy

dx

 

20 x

;

 

20 y

.

18)



 



 







;sin2

,cos42

tyx

dx

dy

tyx

dy

dx

 

00 x

;

 

00 y

.

19)



 



 





;0

,1

2

x

dx

yd

y

dy

xd

при

00t

,

 

0

0 

dy

dx

x

;

 

0

0 

dx

dy

y

.

75

III. Найти оригинал по данному его изображению методом разло-

жения на простейшие дроби [2].

1)

ppp3

1

2





;

2)

 

2

11pp

p

;

3)

 

521

35

2





ppp

p

;

4)

  

4122 pp

p

;

5)

  

21

43

2

ppp

pp

;

6)

  

94

22

2

 pp

p

;

7)

ppp

pp

6

2

23

2





;

8)

 

2

1

464

pp

pp

;

9)

32

2

1

ppp 

.

76

IV. Пользуясь теоремой умножения, найти оригиналы, соответ-

ствующие следующим изображениям [2]:

1)

 

412 pp

p

;

2)

 

1

2

pp

;

3)

  

2

211 pp

;

4)

  

94

22

2

 pp

p

;

5)

  

106136

1

22

 pppp

;

6)

   

32

211 pp

;

7)

 

14p

p

;

8)

 

2

1p

p

;

9)

 

41

1

2

 pp

.

77

V. Найти оригиналы, используя одну из теорем обращения [2].

1)

 

1

22

pp

;

2)

 

1

2

pp

;

3)

  

9122 pp

p

;

4)

 

11

1

2

 pp

;

5)

 

3

2

11p

;

6)

 

2

1p

p

;

7)

 

11

1

3

 pp

;

8)

23

2

4

pppp



;

9)

pppp 6116

1

234



.

78

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Суть метода операционного исчисления.

2. Определение оригинала.

3. Определение изображения.

4. Теорема существования.

5. Теорема единственности.

6. Свойства оригиналов.

7. Теорема линейности (свойство линейности изображений).

8. Теорема подобия.

9. Теорема смещения.

10. Дифференцирование оригинала (изображение производной).

11. Интегрирование оригинала (изображение интеграла).

12. Дифференцирование изображения.

13. Интегрирование изображения.

14. Теорема запаздывания.

15. Теорема умножения.

16. Формула Дюамеля.

17. Изображение периодических функций.

18. Единичная функция Хевисайда и ее применение к аналити-

ческому описанию разрывных функций. Изображение функции Хевисайда.

19. Изображение по Карсону–Хевисайду и его связь с изображе-

нием по Лапласу.

20. Отыскание оригинала. Метод разложения на простейшие

дроби.

21. Отыскание оригинала. Первая теорема разложения.

22. Отыскание оригинала. Вторая теорема разложения.

23. Формула обращения Меллина. Условия ее применения.

24. Решение линейных дифференциальных уравнений операци-

онным методом.

25. Решение систем линейных дифференциальных уравнений

операционным методом.

26. Свертка функций и ее свойства.

79

27. Применение формулы Дюамеля для решения дифференци-

альных уравнений.

28. Решение дифференциальных уравнений с графически задан-

ной правой частью.

29. Дельта-функция, ее свойства и ее изображение. Обобщенные

производные разрывных функций.

30. Теорема о вычислении некоторых несобственных интегра-

лов.

31. Решение интегральных уравнений специального вида опера-

торным методом.

32. Изображение функций Бесселя и Кельвина.

80

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………

3

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ……………………...…………………………

4

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ………………….

12

2.1. Свойство линейности ……………………..…………………..

12

2.2. Изображение производной ………………..………………….

12

2.3. Интегрирование оригинала функции ………………………..

14

3. ТЕОРЕМЫ ПОДСТАНОВКИ ……………………………………..

15

3.1. Теорема подобия ……………………………………………...

15

3.2. Теорема смещения ……………………………………………

17

3.3. Теорема запаздывания ………………………………………..

18

4. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА …………………..

19

4.1. Основные правила преобразования Лапласа ………………..

19

4.1.1. Дифференцирование изображения ……………………

19

4.1.2. Интегрирование изображения …………………………

20

4.1.3. Умножение изображений ………………………………

20

4.1.4. Теорема Эфроса ………………………………………...

20

5. МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ………………………………………………………

22

6. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРВОГО РОДА …………………….

38

6.1. Полуограниченное тело ………………………………………

38

6.2. Неограниченная пластина ……………………………………

46

7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО РОДА ……………………..

54

7.1. Полуограниченное тело ………………………………………

54

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………..

56

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………….

57

ПРИЛОЖЕНИЕ А ……………………………………………………..

58

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ……………………………………………………..

69

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………...

78