Основные понятия преобразования Лапласа. Учебное пособие

61

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

38

 

2

3

kss

 

τ21

πτ

1

τkek



39

 

bsas 

 

ττ

3

πτ2

1

ab

ee 

40

ks 

1

τerfc

πτ

1

τ

2

kkek

41

2

kss

τerf

πτ

1

τ

2

kkek

42

2

kss





τ

0

τ

22

π

2

πτ

1

k

xk

dxee

k

43

 

2

1

kss 

τerf

1

τ

2

ke

k

k

44

 

22

1

kss 





τ

0

τ

22

π

2

k

xk

dxee

k

45

 

sbas

ab

2

22

 

τerfcτerf

ττ

22

bbeaabe

ba



46

 

kss 

1

τerfc

τ

2

ke

k

47

 

bsks 

1

 

τerf

1

τ

kbe

kb

k



48

 

bskss

kb

2

22

τerfc1τerf

ττ

22

bek

k

b

e

bk

















49

 

0ke

sk

τ4

3

2

πτ2

k

e

k



50

 

01ke

s

sk

τ2

erfc

k

62

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

51

 

01ke

s

sk

τ4

2

πτ

1

k

e



52

 

01ke

ss

sk

τ2

erfc

π

τ

2

τ2

erfcτi2

τ4

2

k

ke

k







53

sk

e

s



2

1

4τ

2

π

τ

τ2

erfc

2

τ

τ2

erfcτi4

k

ek

kk

k





 





 







54

 

01ke

ss

sk

n

 

τ2

erfciτ4

2

k

n

55

 

0

1

2

ke

ss

ks

n

 

z

dz

ez

n

z

k

n

π

τ

!1

1

τ

0

1





56

 

0





k

sbs

be

sk



 





 







τ2

τerfc

τ2

erfc

τ

2

k

b

ee

k

bbk

57

 

0





k

sbs

e

sk



 





 



τ2τerfc

τ

2

k

bee

bbk

58

sk

e

b

s



1

1



 





 











τ

τ2

erfc

πτ

τ

τ4

2

b

k

bee

b

bbk

k

63

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

59

 

sk

e

bsss





1



 





 









 





 











τ

τ2

erfc

1

τ2

erfc

1

π

τ2

τ

2

τ4

2

b

k

e

b

k

b

bk

e

b

bbk

k

60

   

sk

n

e

bss



1

1

 



 





 







 





 















τ2

erfciτ2

1

τ

τ2

erfc

1

0

τ

2

k

b

k

e

b

m

n

m

n

bbk

n

61

 

sk

e

bs

2

1

 



 





 











τ

τ2

erfc

τ21

π

τ

2

τ

2

τ4

2

b

k

e

bbkeb

bbk

k

62

 

sk

e

bss

2

1

 

 



 







 



 







τ

τ2

erfcτ21

1

π

τ2

erfc

1

τ2

2

τ4

2

b

k

ebbk

b

e

b

k

b

bbk

k

63

 

sk

e

bs

1





 



 



 





 

 





 



 





τ

τ2

erfc

τ

τ2

erfc

2

1

2

b

k

e

b

k

ee

b

k

b

k

bk

64

sk

n

e

s

n





 



 





212

2

1



 





 





 



 







τ2

erfc

2

1

2

1

τ

2

211

k

i

n

64

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

65

sk

e

s



43

1



 





 





8ττ2π

1

2

41

τ8

2

k

Ke

k

66

bsk

e

s



1

 



 



 





 





 



 





τ

τ2

erfc

τ

τ2

erfc

2

1

b

k

e

b

k

e

bk

67

bsk

ebs

s

2

1







 





 





 







 







 





 









 





 





 





 







τ2

erfc

τ2

erfc

2

τ2

τ4

exp

πτ

1

2

b

k

e

b

k

e

b

k

bk

68

bsk

e

bss

2

1







 





 





 







 







 





 





τ2

erfc

τ2

erfc

22

1

2

b

k

e

b

k

e

b

bk

69

22

1

ks 

 

τ0kJ

70

22

1

ks 

 

τ0kI

71

12

sks

   

 

ττ

10

τ

kIkIke

k

72

   

bsks 

1

 

 



 







τ

2

0

τ

2

1

bk

Ie

bk

65

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

73

 

   

 

0;Гm

bsks

m

mm

 

 



 







 



 









τ

2

τ

π

2

1

τ

2

1

2

1

bk

I

e

bk

m

bk

m

74

   

2

3

2

1

bsks 

 

 

  



 







 





 



 







τ

2

τ

2

τ

1

0

τ

2

1

bk

I

bk

Ie

bk

75

sks

2

2

 

τ

1

τ

kIe

k

76

 

2

1

1

n

s

 

τ

πτ!2

!

2n

H

n

77

 

2

3

1

n

s

 

τ

π!12

!

12 





n

H

n

78

 

1;

22





 



 





v

ks

sks

v

 

τkJk

v

79

 

0;

1

22

m

ks

m

 

τ

2

τ

mГ

π

21

kJ

k

mm



 



 



80

 

0;

1

22

m

ks

m

 

τ

2

τ

mГ

π

21

kI

k

mm



 



 



81

sk

e

s



1

 

τ20kJ

82

sk

e

s



1

τ2cos

πτ

1

k

83

sk

e

s

1

τ2ch

πτ

1

k

66

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

84

sk

e

ss



1

τ2sin

πτ

1

k

85

sk

e

ss

1

τ2sh

πτ

1

k

86

 

01me

s

sk

m

 

τ2

τ

1-

2

1-

kJ

k

m

 



 



87

 

01me

s

sk

m

 

τ2

τ

1-

2

1-

kI

k

m

 



 



88

 

bss

e

bssk

 

 





 



 









kkbIe

k

b

τкогда,τ

2

1

,τ0когда,0

22

0

τ21

89

 

22

bs

e

bsk





 





 



 







kkbJ

k

τкогда,τ

,τ0когда,0

22

0

90

 

22

bs

e

bsk





 





 



 







kkbI

k

τкогда,τ

,τ0когда,0

22

0

91

 

0

22











 





k

bs

e

sbsk

 



 



 τ2τ

2

0

kbJ

92

 

1

;

2222

22



 



 







v

sbsbs

eb

v

bskv

 

 

 





 



 





 



 









kkbJ

k

v

τ,τ

τ

,τ0когда,0

22

21

93

sslg

1

   

 

5772,01Г'τ;lg1Г' 

94

s

k

lg

1

 

 

 





 







 





k

Г

τlg

Г

Г'

τ

2

1-

67

Продолжение табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

95

 

0lg1ks

ks

 

 

   

0ττEi

;τEilge

τ











x

dx

e

kk

x

k

96

1

lg

2

s

s

   

ττcisinττsicos 

97

   

0,1lg

1

 kks

s

 



 





k

τ

Ei

98

bsks



lg

 

ττ

τ

1

kb

ee 

99

2

22

lg

s

ks 

 

τcos1

τ

2

k

100

2

22

lg

s

ks 

 

τch1

τ

2

k

101

s

k

arctg

τsin

τ

1

k

102

s

k

s

arctg

1

 

τsik

103

)0(erfc

22

s

kkse

k

e

k

4

τ

2

π

1



104

)0(erfc

1

22

s

kkse

s

k

k2

τ

erf

105

)0(erfc

s

kkse

k

 

kkττπ

106

ks

s

erfc

1

 

   













kkτπτ

τ00

21

107

)0(erfc

1

s

kkse

s

k

 

kτπ

1

108

s

k

erfc

 

τ2sin

πτ

1

k

68

Окончание табл. А.1

№

п/п

Изображение функции

F(s) = L[f ()]

Оригинал функции f ()

109

s

k

e

s

k

erfc

1

2

τ2

πτ

1

ke

110

 

ksK

0

 













kk

kτττ00

21

22

111

 

skK

0









 





τ4

exp

τ2

1

2

k

112

 

ksKe

s

ks

1

 

kk2ττ1

113

 

skK

s

1



 





 





τ4

exp

1

2

k

114

 



 



s

k

Ke

s

sk0/

1

 

τ22

πτ

2

0

kK

115

sk

sks

th

1

 



 





 











2

1

2

4

τπ12

exp

π12

8

1

k

n

116















 





 





 





 







 





 





 





 



1

;

xx

x

a

s

Kx

a

s

I

xx

x

a

s

Kx

a

s

I

vv

 

0

τ2τ4

exp

τ2

1

2

1

2



 



 





 





 





 v

a

xx

I

a

xx

v

117

 

skKs

v

v 2/

 

1

2

τ2

4τ

τ

exp





 





 





v

k

118

 

skKs

v

12









 







4τ

,Г

2

1

k

v

k

v

69

Приложение Б

I. Методом операционного исчисления найти частное решение

дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям [2].

1)

t

ex

dx

td

2

9

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

2)

tx

dx

td

3cos9

2



,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

3)

t

exdx3

2



,

 

00 x

,

 

20

dx

dt

.

4)

t

ex

dx

td

2

102

,

 

20 x

,

 

60

dx

dt

.

5)

14

2

 tx

dx

td

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

6)

tt

dx

dt

dx

td

2



,

 

40 x

,

 

20

dx

dt

.

7)

t

te

dx

dt

dx

td



2

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

8)

0sin2

2

 t

dx

dt

dx

td

,

 

10 x

,

 

20

dx

dt

.

9)

023

2

 x

dx

dt

dx

td

,

 

10 x

,

 

00

dx

dt

.

10)

065

2

 x

dx

dt

dx

td

,

 

10 x

,

 

00

dx

dt

.

70

11)

122

2

 x

dx

dt

dx

td

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

12)

ttx

dx

dt

dx

td

cos3sin2

2



,

 

20 x

,

 

30

dx

dt

.

13)

tx

dx

dt

dx

td

423

2



,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

.

14)

023

2

 x

dx

dt

dx

td

,

 

10 x

,

 

00

dx

dt

.

15)

2

123 ttx

dx

dt

dx

td



,

 

00 x

,

 

10

dx

dt

.

16)

1

2



dx

dt

dx

td

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

,

 

0

2



dx

td

.

17)

14

2



dx

dt

dx

td

,

 

00 x

,

 

00

dx

dt

,

 

0

2



dx

td

.

18)

t

dx

tddxtd

sin

2

3



,

 

10 x

,

 

10

dx

dt

,

 

0

2



dx

td

.

19)

42

2

3



dx

dt

dx

td

dx

td

,

 

10 x

,

 

20

dx

dt

,

 

2

0

2



dx

td

.

20)

t

e

dx

dt

dx

td

 4

2

,

 

0

0 xx 

,

 

0

0dxdt

dx

dt



. Найти общее решение.

21)

x

e

dy

dx

dy

xd

2



,

 

30 y

,

 

00

dy

dx

.