Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
2.2. Длина дуги плоской кривой
2.2.1. Определение длины дуги плоской кривой
2.2.2. Вычисление длины дуги
2.2.3. Дифференциал дуги
Содержание
Содержание
2.2.1. Определение длины дуги плоской кривой
Пусть имеем плоскую простую кривую, заданную параметрически ,
, причем , – непрерывные функции на отрезке , причем такие, что
каждым двум различным значениям параметра из
точки кривой. Пусть значению
соответствует точка A, а значению – точка
B.
Разобьем отрезок
на n частей точками
.
Каждому значению параметра
соответствует точка дуги .
Соединим точки
прямолинейными отрезками.
В результате получим ломаную
, вписанную в дугу AB (рис. 20).
соответствуют различные
последовательно
Рис. 20. Ломаная, вписанная в дугу
Длину каждого звена ломаной можно легко определить, длина P всей ломаной есть
сумма длин звеньев ломаной. Увеличивая число делящих точек, будем получать новые
ломаные и последовательность длин ломаных, вписанных в дугу.
Определение.
ломаных, вписанных в эту дугу, при условии
частичного отрезка стремится к нулю, т. е. диаметр разбиения
Длиной l дуги AB будем называть предел последовательности длин P
– длина каждого
. Итак,
(1).
Кривые, для которых предел (1) существует, называются спрямляемыми.
Содержание
2.2.2. Вычисление длины дуги
Опираясь на введенное определение, выведем формулу для вычисления длины дуги.
Будем предполагать, что функции
имеют непрерывные производные
, – непрерывные функции на отрезке и
, .
Вычислим длину звена ломаной:
На отрезке функции , удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа.
Применим ее к этим функциям.
Тогда
Длина периметра ломаной (2).
Если во втором слагаемом подкоренного выражения заменить
на , то
полученная (3) будет интегральной суммой для
функции
В силу непрерывности , на : будет
существовать и представлять
Для того чтобы показать, что достаточно показать,
что
Содержание
Оценим разность:
Применим к каждому слагаемому элементарное неравенство
Получим
В силу непрерывности функции по любому заданному можно найти такое
, что из следует .
Возьмем все
, тогда .
Тогда
Замечание.
Если кривая задана явным уравнением в декартовых координатах
, параметризуем это уравнение:
Получаем .
Пример.
Вычислим длину циклоиды
, что доказывает
Содержание
Содержание
2.2.3. Дифференциал дуги
Пусть плоская самонепересекающаяся кривая задана уравнениями ,
,
, где ,
непрерывны на отрезке . Возьмем на кривой две
точки: M
, соответствующую параметру и M, соответствующую параметру t, тогда
0
длина дуги l есть функция от t.
Применяя правило дифференцирования по верхнему пределу, получим
или
Это формула дифференциала дуги. Ее можно записать .
Возведя в квадрат, получим
, откуда
.
Содержание
2.3. Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x), отрезками прямых x = a,
x = b и отрезком
оси Ox, вращается вокруг оси Ox (рис. 21).
Рис. 21. Тело вращения
Пример.
Пусть эллипс
полученного тела вращения.
Выразим из уравнения эллипса
вращается вокруг оси Ox. Найдем объем
2.4. Площадь поверхности вращения
2.4.1. Определение площади поверхности вращения
2.4.2. Вычисление площади поверхности вращения
Содержание
Содержание
2.4.1. Определение площади поверхности вращения
Рассмотрим поверхность П, образованную вращением вокруг оси Ox графика
функции
, заданной на отрезке .
Определим понятие площади поверхности вращения.
Пусть Т – разбиение отрезка
точками:
и пусть
– соответствующие точки графика функции.
Построим ломаную
.
При вращении ломаной получим поверхность П
конусов, образованных при вращении трапеции
, составленную из усеченных
, (рис. 22).
Рис. 22. Дуга и вписанная в неё ломаная
Если , а , – длина k-го звена ломаной, т. е. отрезка , то
– площадь поверхности П .
Определение 1.
Число P называется пределом площади
, если для любого
можно найти такое , что для любого разбиения T отрезка , диаметр
которого
Определение 2.
, выполняется неравенство .
Поверхность вращения П назовем квадрируемой, если существует
. При этом число P назовем площадью поверхности вращения P.
2.4.2. Вычисление площади поверхности вращения
Содержание
Теорема.
Если функция f имеет на отрезке
непрерывную производную f ', то
поверхность П, образованная вращением графика функции f вокруг оси Ox,
квадрируема, а площадь P может быть выражена формулой:
Доказательство:
Длина
звена ломаной равна
По формуле Лагранжа
Почему здесь применима теорема Лагранжа?
Тогда
Площадь, образованная вращением k-го звена ломаной
Площадь поверхности, образованной при вращении ломаной, будет равна
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]