Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность технических систем и техногенный риск. Учебное пособие
.pdf
11
распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы
x
exf )(
x
exF 1)(
x
exFxP )(1)(
;
1
0
2
dxexM
x
x
.
11
22
0
2
dxexD
x
x
f(x) x 0
элементов радиоэлектронной аппаратуры.
Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей
машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может
быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры - превышение допустимого тока или температурного режима.
Риc. 2.1. График плотности экспоненциального распределения
Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 2.1) описывается соотношением
; (2.3)
функция распределения этого закона – соотношением
; (2.4)
функция надежности
; (2.5)
математическое ожидание случайной величины Х
(2.6)
дисперсия случайной величины Х
(2.7)
Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона
оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.
12
Пример 2.3. По данным эксплуатации генератора установлено, что нара-
.998,0)(
100102
5
eetP
t
.105
102
11
4
5
чM
x
,
2
1
)(
2
2
2
)( mx
exf
;
1
1ni
ix
x
n
M
.)(
1
1
1
2
n
i
xi
Mx
n
ботка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10-5 ч-1
Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ [2].
Решение
Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (2.5), в соответствии с которой
Математическое ожидание наработки на отказ равно
2.3. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения [4] часто называют законом Гаусса.
Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по
сравнению с другими законами распределения.
Основная особенность этого закона состоит в том, что он является пре-
дельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В
теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда
распределение времени безотказной работы вначале имеет низкую плотность,
затем максимальную и далее плотность снижается.
Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на измене-
ние случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные
факторы.
Нормальный закон распределения описывается плотностью вероятности
(2.8)
где е = 2,71828 – основание натурального логарифма; π = 3,14159;
т и σ - параметры распределения, определяемые по результатам испытаний.
Колоколообразная кривая плотности распределения приведена на рис. 2.2.
Параметр т = Мx представляет собой среднее значение случайной величины X, оцениваемое по формуле
(2.9)
параметр σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины X, оцениваемое по формуле
(2.10)
13
Интегральная функция распределения имеет вид
,
2
1
)()(
2
2
2
)(
dxedxxfxF
x
mx
x
.
2
1
)(
2
0
2
t
etf
.
2
1
)(
2
0
2
dtetF
t
t
1)()(
00
tFtF
)(1)(
00
tFtF
;
)(
x
Mx
t
x
Mx
P(х)
х
f(х)
а)
б)
х
0,399/σ
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ
(2.11)
вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно
Q(x)=F(x), Р(х)=1 - F(x).
Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц нормального
распределения, при котором М = 0 и σ = 1. Для этого распределения функция
плотности вероятности имеет одну переменную t и выражается зависимостью
(2.12)
Величина t является центрированной (так как Мt = 0) и нормированной
(так как σt = 1).
Функция распределения соответственно запишется в виде
(2.13)
Из этого уравнения следует, что
или
.
При использовании табл. П.1 приложения следует в формулу (2.13) вместо t подставить ее значение:
при этом t называют квантилью нормированного нормального распределе-
ния (обычно обозначают up).
Плотность распределения и вероятность отказа соответственно равны:
f(x)=f0(t)/σ; Q(x)=F0(t); тогда вероятность безотказной работы Р(х) = l – F0(t), где
f0(t) и F0(t), определяют по таблицам.
В табл. П. 1 приведены значения Ф*(х) в зависимости от t=
.
Рис. 2.2. Кривые плотности вероятности (а)
и функции надежности (б) нормального распределения
14
В работах по надежности часто вместо интегральной функции распреде-
.
2
1
)()(
0
2
0
0
*
2
dtedttfxФ
t
t
t
).(5,0)()()(
*
0
0
0
00
tФdttfdttftF
t
.5,0)(,5,0)(
**
xx
Mx
ФxP
Mx
ФxQ
.)(
**
xx
M
Ф
M
ФXP
.2
10
104102
4
44
x
p
Mt
u
.697,0
30
650600
30
650670
)670600(
**
ФФXP
ления F0(t) используют функцию Лапласа:
Очевидно, что
Вероятности отказа и безотказной работы, выраженные через функцию
Лапласа:
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал значений от α до β вычисляют по формуле
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Пример 2.4. Определить вероятность безотказной работы в течение
t=2∙104 ч подшипника скольжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределения с параметрами Mt = 4∙104 ч, σ = 104 ч [2].
Решение
Находим квантиль:
По табл. П.1 определяем, что Р(t) =0,0228.
Пример 2.5. Пусть случайная величина Х представляет собой предел те-
кучести стали. Опытные данные показывают, что предел текучести имеет нормальное распределение с параметрами M = 650 МПа, σ = 30 МПа. Найти вероятность того, что полученная плавка стали имеет предел текучести в интервале
600 – 670 МПа [2].
Решение
Для определения вероятности воспользуемся формулой (2.17):
Пример 2.6. Случайная величина X распределена по нормальному закону
и представляет собой ошибку измерения датчика давления. При измерении датчик имеет систематическую ошибку в сторону завышения на 0,5 МПа, среднее
квадратическое отклонение ошибки измерения составляет 0,2 МПа.
Найти вероятность того, что отклонение измеряемого значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 0,7 МПа [2].
15
Решение
.77,0
2,0
5,02,0
2,0
5,07,0
)7,02,0(
**
ФФXP
,
)(
)(
)(
xd
xdF
xf
По формуле (2.17) с использованием табл.П.1 определим:
3. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
3.1. Функциональные зависимости надежности
Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут
быть вызваны неблагоприятным сочетанием различных факторов — рассеянием действующих нагрузок, отклонением от номинального значения механических характеристик материалов, неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т. п. Поэтому в расчетах надежности [2] различные параметры рассматривают как случайные величины, которые могут принимать то или
иное значение, неизвестное заранее.
Различают случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывно-
го типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими
буквами, а их возможные значения - соответствующими малыми. Для каждого
числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х) того, что Х не превышает значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения:
F(х) = Р(Х<х). (3.1)
Функция распределения - универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин.
Функция (х) относится к неубывающим функциям - х монотонно возрастает при
непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В
пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1:
F(-∞) = 0; F(∞) = 1;
Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотностью распределения
(3.2)
которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности.
Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента
f(x)≥0.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен
единице:
16
.1)( dxxf
6/1)(
m
АР
2/1)(
m
АР
В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в
теории надежности наиболее употребительными являются математическое
ожидание (среднее значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее
квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние
случайной величины). Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.
В теории вероятности [4] применяется следующая классификация для
определенных событий: а) достоверное событие – событие, которое наблюдается в каждом опыте (Р(Д) = 1); б) невозможное событие – событие, которое при
данных испытаниях произойти никогда не может (Р(А) = 0); в) случайное событие - событие, которое в данных испытаниях может произойти, а может и нет
(Р(р) = 0…1).
В аппарате теории вероятности используются математические методы
сложения и умножения, которые обозначают следующее:
1) суммой событий А+В является событие С, характеризующее, что
наступило событие или А или В;
2) произведением событий А∙В является событие Д, характеризующее,
что наступают события А и В.
Если происходит ni испытаний из общего количества mi испытаний, то
отношение ni/mi называется частотой или частостью событий Р(А) = n/m.
При большом количестве испытаний отношение n/m стремится к конкретной величине, которая называется вероятностью появления данного события.
Пример 3.1. 1. Посчитать вероятность выпадения числа 3 при броске играль-
ной кости. 2. Посчитать выпадения «орла» или «решки» при броске монеты [4].
Решение: 1)
; 2)
.
Вероятность суммы появления нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А1 + А2 +…+ Аn) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).
Пример 3.2. На заводе изготовили партию деталей диаметром 5 см. Для вы-
явления брака производят выборку этой партии. Посчитать вероятность появление
бракованных деталей (несовпадение диаметра), если вероятность появления деталей с диаметром больше 5 см равна 0,03, а диаметром меньше 5 см – 0,01.
Решение:
Р(Д
) > 5 см = 0,03 и Р(Д2) < 5 см = 0,01; Р(Д1 + Д2) = 0,03 + 0,01 = 0,04.
1
Случайная величина [4] - величина, которая может принимать различные
значения, но сказать заранее, какое значение, нельзя.
17
Для оценки вероятности появления каких-то событий и закона появления
.pxM
n
i
iix
1
.)( dxxxfM
x
,
1
1ni
i
x
n
x
.)(
1
2
i
n
i
xix
pMxD
.)()(
2
dxxfMxD
xx
.)(
1
1
1
2*
n
i
ix
xx
n
D
.
xx
D
этих случайных величин служат математическое ожидание и дисперсия [4].
Для дискретных случайных величин математическое ожидание Mx равно
сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:
(3.3)
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения:
(3.4)
Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано
с ее средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому
ожиданию и называется оценкой среднего значения:
(3.5)
где n – общее число опытов; xi – текущее значение случайной величины.
Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание
квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.
Для дискретной случайной величины дисперсия равна:
(3.6)
Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется так:
(3.7)
Оценка дисперсии случайной величины:
(3.8)
Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния -
разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной
величины. Для наглядности в качестве характеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратическое
отклонение σ
, которое определяется как корень квадратный из дисперсии:
x
(3.9)
18
Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют
.
x
x
x
M
n
i
ii
pххМ1)(
5,36
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1
6
1
2
1
2
))(()( xMpxхД
n
i
ii
917,25,3
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1
2222222
)()( хДх
708,1917,2
.11
;10
;00
)(
3
xпри
xприax
xпри
xF
.10
;103
;00
)(
)(
2
xпри
xприx
xпри
dx
xdF
xf
коэффициент вариации, который равен:
(3.10)
Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение
или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.
Медиана характеризует расположение центра группирования случайной
величины.
Площадь под графиком функции плотности распределения делится медиа-
ной пополам.
Квантиль - значение случайной величины, соответствующее заданной ве-
роятности.
Квантиль, соответствующий вероятности 0,5, называют медианой.
Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медианы даны в статистической трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего
один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.
Пример 3.3. Посчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение появления случайной величины при броске игральной кости [4].
Решение:
Пример 3.4. Функция распределения непрерывной случайной величины
Х задана выражением
Найти коэффициент а и плотность распределения f(x).
Решение
Так как функция распределения случайной величины Х непрерывна, то
при х = 1, а∙х3 = 1, откуда а = 1.
Плотность распределения выражается соотношением
;
;
.
19
Пример 3.5. Плотность распределения случайной величины Х описывает-
.100
;10
)(
xилиxпри
xприax
xf
.
3
)(
1
0
1
0
a
dxxaxdxxxfM
x
.
189
2
4
1
3
2
1
0
2
aa
aaxdx
a
xD
x
.
189
2
4
1
2
aa
aD
xx
xi 0 1 Pi q
P
.ppqpxM
i
iix
10
1
0
.pqD
x
ся выражением
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-
клонение случайной величины.
Решение
Математическое ожидание найдем по формуле (3.4):
Для определения дисперсии используем формулу (3.7):
Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:
Пример 3.6. При проведении одного опыта может появиться или не по-
явиться некоторое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность непоявления этого события равна 1- p = q.
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – число появлений события А.
Решение
Ряд распределения случайной величины Х можно записать в виде таблицы:
По формуле (3.3) находим математическое ожидание:
Дисперсию величины Х определим по формуле (3.6).
Среднее квадратическое отклонение равно:
Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом
числе испытаний [2], можно установить определенные закономерности появления этого события. Если при проведении n1 испытаний событие А имело место
20
т
.)(
1
1
*
n
m
AP
.;...;;
*
2
2
*
2
1
1
*
1
i
i
i
n
m
P
n
m
P
n
m
P
раз, то относительную частоту появления события А определяют из соот-
1
ношения
(3.11)
Если событие А имело место в каждом из n1 испытаний, т. е. m1 = n1, то
Р*(А)=1. Если событие А не наступило ни в одном из n1 испытаний, т. е. m1= 0,
то Р*(А)=0. При проведении серии последовательных испытаний получим соотношения:
Относительная частота становится более устойчивой при увеличении
числа испытаний. Такая закономерность была замечена давно и подтверждена
результатами решения различных примеров. Самыми известными примерами
являются примеры бросания монеты или игральной кости. Так, при большом
числе бросаний монеты относительная частота выпадения герба равна 1/2 и
равна относительной частоте выпадения цифры. При большом числе бросаний
игральной кости относительная частота выпадения каждой стороны, на которой
изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.
Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина
(в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота
свершения случайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается
относительная частота случайного события, называют вероятностью случайно-
го события А и обозначают символом Р(А). На практике при большом числе
испытаний вероятность случайного события приближенно принимают равной
относительной частоте этого события:
Р(А) ≈ Р*(А).
Математическим основанием этого утверждения является закон больших
чисел (Я. Бернулли) - вероятность отклонения относительной частоты некото-
рого события А от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно
заданную величину ε > 0 становится сколь угодно малой, если число испытаний
n неограниченно возрастает.
Таким образом, вероятность события Р(А) представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т. е. справедливо неравенство
0 ≤ P(A) ≤ 1. (3.12)
Пример 3.7. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по
щиту. В результате проведения 500 выстрелов число попаданий оказалось равным 450. Найти вероятность попадания по щиту при одном выстреле.
Решение
Общее число проведенных опытов n = 500, при этом число попаданий m =450.
Используя формулу (3.11), найдем вероятность попадания: Р(А) = 0,9.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]