Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность технических систем и техногенный риск. Практикум
.pdf
)(5.0
1
*
)(
)(
)(
UФt
U
t
,
(3.4)
где Ф(U) – функция Лапласа, обладающая свойствами
Ф(0) = 0,
(3.5)
Ф(-U) = - Ф(U).
(3.6)
k
to
etP*)(
,
(3.7)
k
to
etQ
*
1)(
,
(3.8)
)(*
1
**)( tP
k
tkotf
,
(3.9)
1
**)(
k
tkot
,
(3.10)
k
a
k
Г
k
tm
1
)1(
1
)(
,
(3.11)
)
2
*2
2
exp()(
t
t
tP
,
(3.12)
)
2
*2
2
exp(1)(
t
t
tQ
,
(3.13)
Значения функции Лапласа Ф(U)приведены в приложении А.
Значения функции φ(U) даны в приложении Б.
Для распределения Вейбулла времени безотказной работы
элемента формулы (2.1) – (2.5) имеют вид
где a, k– параметры закона распределения Вейбулла;
Г (x) – гамма-функция, значения которой приведены в прило-
жении В.
Для закона распределения Релея времени безотказной ра-
боты изделия формулы (3.1) – (3.5) имеют вид
31
)
2
*2
2
exp(*
2
)(
t
t
t
t
tf
,
(3.14)
2
)(
t
t
t
,
(3.15)
2
)(
t
tm
,
(3.16)
2
2
2
)(
exp
*2
1
)(
t
t
mt
t
tf
)()(;
2
2
1
)(
2
UU
U
eU
где σt – мода распределения случайной величины Т;
t – время безотказной работы изделия.
П р и м е р ы р е ш е н и я з а д а ч
1. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному
закону с параметрами mt = 8000 час, t = 2000 час.
Вычислить количественные характеристики надежности для
t = 10000 час:
- вероятность безотказной работы P(t);
- частоту отказов f(t);
- интенсивность отказов λ (t);
- среднее время безотказной работы mt .
Решение
Исходные данные: mt = 8000 час, t=2000 час; t = 10000 час.
P(t) = 0.5Ф(U),
U=(t - mt)/σt,
U = (10000 - 8000)/2000 = 1,
Ф(1) = 0,3413,
P(10000) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587.
Введем обозначения
,
,
f(t)=(U)/σt ; U=(t-mt)/σt,
f(10000)=(1)/2000=0,242/2000 = 12,11 10-5 1/час,
λ(t) = f(t)/p(t),
32
λ (10000) = f(10000)/P(10000) = 12,1 10-5 /0,1587 = 76,410-5 1/час,
606,0
5,0
)
2
1000*2
2
1000
exp()
2
*2
2
exp()(
e
t
t
tP
1253253,1*1000
2
)(
t
tm
mt = 8000 час.
Результаты расчета: P(10000) = 0,1587; f(10000) = 12,1 10-5 1/час;
λ (10000) = 76,410-5 1/час; mt = 8000 час.
2. Время работы изделия до отказа подчиняется закону рас-
пределения Релея.
Вычислить количественные характеристики надежности изделия для t = 1000 час, если параметр распределения σt= 1000 час:
- вероятность безотказной работы P(t);
- частоту отказов f(t);
- интенсивность отказов λ(t);
- среднее время безотказной работы mt.
Решение
Исходные данные: σt= 1000 час; t=1000 час.
,
f(t) = t * p(t)/σ
f(1000) = 1000 * 0,606/10002 = 0,606 10-3 1/час,
λ (t) = t/σ
λ(1000) = 1000/10002 = 10-1 1/час,
Результаты расчета: P(1000) = 0,606; f(1000) = 0,606 10-3 1/час;
λ (1000) = 10-1 1/час; mt = 1253 час.
3. Время безотказной работы изделия подчиняется закону
Вейбулла с параметрами k = 1,5; a = 10
делия t = 100 час.
Вычислить количественные характеристики надежности изделия:
- вероятность безотказной работы P(t);
- частоту отказов f(t);
- интенсивность отказов λ(t);
- среднее время безотказной работы mt.
Решение
Исходные данные: k = 1,5; a = 10
2
,
t
2
,
t
-4
1/час, а время работы из-
-4
1/час; t= 100 час.
33
час.
P(t) = exp(-a tk); P(100) = exp(-10-4 100
666,2
10
)666,0(*666,0
5,1/1)4
10(
)
5,1
1
(
5,1
1
1
)1(
1
)(
Г
Г
k
a
k
Г
k
tm
666,2
10
)666,1(
)(Гtm
1,5
); x = 100
1.5
,
lg x = 1,5 lg 100 = 3x = 1000,
P(100) = e
f(t) = akt
f(100) = 10-4 * 1,5 100
-0,1
= 0,9048,
k-1
* P(t),
0,5
* 0,9048 = 1,35 10-3 1/час,
λ(t) = f(t)/P(t),
λ(100) = f(100)/P(100) = 1,35 10-3 /0,9048 = 1,5 10
-3
1/час,
.
Так как zГ(z) = Г(z+1), то
,
-2,666
Х = 10
,
lg Х=-2,666 lg10 =-2,666,
Х = 0,00215,
mt = 0,90167/0,00215 = 426 час
(значение вычислено с использованием данных приложения В).
Результаты расчета: P(100) = 0,9048; f(100) = 1,35 10-3 1/час;
λ (100) = 1,5 10
-3
1/час; mt= 426 час.
В о п р о с ы
1. Какие существуют законы распределения наработки до от-
каза и области их применения?
2. Какие законы распределения используются в надежности.
3. Какие процессы в техносфере аппроксимируют распределе-
нием Вейбулла?
4. Какие процессы в техносфере аппроксимируют распределе-
нием Релея?
5. Какие процессы в техносфере аппроксимируют распределе-
нием Гаусса?
З а д а н ия
1. Время работы изделия подчинено нормальному закону с
параметрами mt = 8000 час, σt= 1000 час. Требуется вычислить ко-
34
личественные характеристики надежности p(t), f(t), λ (t) , mt для t =
8000 час.
2. Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея
с параметром σt = 1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t) для t =
1000 час и среднее время безотказной работы прибора.
3. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников
подчинено закону Вейбулла с параметрами к = 2,6, а = 1,65*10-7 1/час.
Вычислить количественные характеристики надежности р(t),
f(t), λ(t) для t = 150 час и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.
4. Вероятность безотказной работы изделия в течение t = 1000
час. Р(1000) = 0,95. Время исправной работы подчинено закону
Релея.
Определить количественные характеристики надежности f(t),
λ(t), m
.
t
5. Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час.
Время исправной работы подчинено закону Релея.
Найти его количественные характеристики надежности P(t),
f(t), λ (t) для t = 1000 час.
6. По результатам наблюдений за работой объекта средняя
наработка до отказа равна 2000 часов, среднеквадратическое отклонение 400 часов. Определить значения наработок до отказа,
которые соответствуют вероятности отказа 0,9; 0,5; 0,005. Закон
распределения отказов – нормальный.
7. Предельно допустимое значение ресурса составляет 7000
часов, среднее квадратическое отклонение 1000 часов. Определить
средний ресурс, вероятность отказа и вероятность безотказной работы при 5000 часах.
8. В результате изучения процесса изнашивания клыка роторного экскаватора установлено, что средняя величина износа соответствует 5 мм, дисперсия 0,01 мм2. Какова вероятность того, что
найденное значение износа превышает среднее, не более чем на 5 %.
9. Средняя наработка на отказ соответствует 1500 часам, ко-
эффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для
наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов.
10. Среднее квадратическое отклонение ресурса равно 400 ча-
сам, коэффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов.
35
11. На испытания установлено 200 задвижек. Через 1000 часов
работы отказало 50 задвижек, через 2000 часов еще 20 задвижек.
Определить количество отказавших задвижек в промежутке времени от 1500 часов до 3000 часов работы, если среднее квадратическое отклонение ресурса 500 часов.
12. На испытания установлено 100 долот. Через 150 часов ра-
боты отказало 50 долот, через 50 часов еще 2 долота. Определить
количество отказавших долот в промежутке времени от 200 часов
до 250 часов работы, если коэффициент вариации ресурса 0,1.
13. Минимальная наработка на отказ составляет 3000 часов,
средняя наработка 1200 часов. Определить количество отказавших
изделий при наработке 9000 часов и характеристики надежности.
14. Определить вероятность отказа изделия при наработке
1500 часов, если коэффициент вариации равен 0,2, нижнее предельно-допустимое значение наработки составляет 2000 часов.
15. Предельно допустимое значение наработки на отказ со-
ставляет 1600 часов, максимальное значение 2000 часов. Определить вероятность отказа при наработке 1200 часов и характеристики данного распределения.
16. Наработка до отказа изделия подчиняется закону Вейбулла с
параметрами α=1,5 и λ=10-4 1/час. Определить количественные характеристики надежности изделия за время работы изделия 100 час.
17. Вероятность безотказной работы автоматической линии
изготовления штоков бурового насоса в течение 120 час равна
0,95. Определить интенсивность отказов линии для момента времени 120 часов и среднее время безотказной работы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности.
18. Среднее время безотказной работы автоматической систе-
мы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив
экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить
вероятность безотказной работы в течение 120 часов, частоту отказов для момента времени 120 часов и интенсивность отказов.
19. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников
подчинено закону Вейбулла с параметрами α = 2,6; λ = 1,65·10-7 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности
для времени 150 часов и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.
36
20. Определить вероятность безотказной работы и интенсив-
ность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы
Мt = 1500 часов и среднее квадратическое отклонение t = 100 час.
Л и т е р а т у р а
1. Надежность технических систем и техногенный риск: учебник и
практикум для бакалавриата и магистратуры / С. П. Тимошенков,
Б. М. Симонов, В. Н. Горошко. М.: Изд-во Юрайт, 2017. 502 с.
2. Малафеев С. И. Надежность технических систем: примеры и задачи: учеб. пособие для вузов / С. И. Малафеев, А. И. Копейкин. СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2012. 313 с.
3. Акимов В. А., Лапин В. Л., Попов В. М., Пучков В. А., Томаков В. И.,
Фалеев М. И. Надежность технических систем и техногенный риск:
учебное пособие. М.: ЗАО ФИД «Деловой экспресс», 2012. 368 с.
4 Абдулина Е. Р. Надежность технических систем и техногенный
риск: учеб. пособие / ФГАОУ Сев-Кав. Федер. ун-т. Ставрополь: Изд-во
СКФУ, 2012. 275 с. (С. 264-273).
37
Тема 4
t
dttf
t
dtttP
0
)(1
0
)(exp()(
.
(4.1)
)(1)( tPtQ
.
(4.2)
dt
tdP
dt
tdQ
tf
)()(
)(
.
(4.3)
Теоретические законы распределения отказов
Занятие 4
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ УСТРОЙСТВ
ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
Цель: сформировать способность использовать методы расчетов элементов технологического оборудования по критериям работоспособности
и надежности; изучить количественные показатели оценки надежности
восстанавливаемых систем; получить аналитические выражения для показателей надежности восстанавливаемой системы и рассчитать их.
Знания и умения, приобретаемые студентов в результате освоения темы семинара, формируемые компетенции или их части:
Формируется компетенция ПК-4. Формируются умения по аналитической оценке количественных показателей надежности при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы.
Актуальность темы. Аналитическая оценка количественных показателей надежности при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы важна для оценки качества элементов и систем,
поэтому актуально владеть методикой их оценки.
Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь
Основные расчетные формулы
Вероятность безотказной работы изделия на интервале
времени от 0 до tP(t)
до tQ(t)
Вероятность отказа изделия на интервале времени от 0
Частота отказов изделия f(t)
38
Интенсивность отказов изделия λ(t)
)(
)(
)(
tP
tf
t
.
(4.4)
n
i
i
a
о
t
1
,)(
(4.5)
0
)( dttP
t
m
.
(4.6)
t
etP
)(
,
(4.7)
t
etQ
1)(
,
(4.8)
t
etf
*)(
,
(4.9)
t
e
t
et*
)(
,
(4.10)
1
t
m
.
(4.11)
Зависимость интенсивности отказов
(t) от условий экс-
плуатации изделия (климатических, механических, радиаци-
онных воздействий и т. п.)
где
– интенсивность отказов изделий при нормальных условиях
0
эксплуатации;
ai – поправочный коэффициент i-го эксплуатационного фактора.
Среднее время безотказной работы изделия m(t)
Для экспоненциального закона распределения времени
безотказной работы изделия формулы (2.1) – (2.5) имеют вид
П р и м е р ы р е ш е н и я з а д а ч
1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненци-
альному закону распределения с параметром λ =2,5 10-5 1/час.
Вычислить количественные характеристики надежности эле-
мента для t = 1000 час:
- вероятность безотказной работы P(t);
39
- вероятность отказа Q(t);
9753,0
1000*10*5,2
)1000(
5
е
t
eP
,/1
5
10*439.29753.0*
5
10*5.2
1000*10*5.2
*
5
10*5.2)(
,
*10*5.2
*
5
10*5.2)(*)()(
5
5
часetf
t
etPttf
40000
5
10*5.2
11
t
m
100
1
Т
502Т
203Т
- частоту отказов f(t);
- среднее время безотказной работы mt.
Решение
Исходные данные: λ = 2,5 10-5 1/час; t = 1000 час.
(значение вычислено с использованием данных приложения Г)
Q(1000) = 1 - P(1000) = 0.0247
час.
Результаты расчета: P(1000) = 0,9753; Q(1000) = 0,0247;
f(1000) = 2439 10-5 1/час; mt = 40000 час.
В о п р о с ы
1. Какие существуют законы распределения наработки до от-
каза и области их применения?
2. Какие законы распределения используются в надежности.
3. Какие процессы в техносфере аппроксимируют экспонен-
циальным распределением?
З а д а н и я
1. Вероятность безотказной работы автоматической линии из-
готовления цилиндров автомобильных двигателей в течение 120
час равна 0,9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный
закон надежности.
Рассчитать интенсивность отказов и частоту отказов линии
для момента времени t = 120 час, а также среднее время безотказной работы.
2. Для схемы соединения элементов по надежности
ч;
ч;
ч.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]