Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование матричных уравнений в задачах управления на базе MatLabSimulink. Учебное пособие
.pdf
Из сравнения (2а) и (2б) находим
s
s
B
L :
н
7610
t
L
н
1086
Для проверки вычислений найдем передаточную функцию
1
()sI A LC
:
() ( 3)
Ws s
ss
s
100
2
00 69
001
. (3)
69 0 0
s
s
()
Ws
s
.
Отметим, что динамические свойства наблюдателя описываются
двумя автономными контурами второго порядка с полюсами, равными –3.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какими коэффициентами определяются собственные свойства
канала «первый вход–первый выход»?
2.
Какими коэффициентами определяются собственные свойства
канала «второй вход–второй выход»?
3.
Коэффициенты первого столбца матрицы
A соответствуют
н11
коэффициентам какого характеристического полинома?
4.
Коэффициенты второго столбца матрицы
A соответствуют
н22
коэффициентам какого характеристического полинома?
Какие команды используются для формирования матриц
5.
и
C из матриц размером 2×2?
н
6.
Дайте определение наблюдателя полного порядка.
7.
Какие значения полюсов надо задать, чтобы обеспечить время
,
A
н
н
переходного процесса наблюдателя по крайней мере в три раза меньше
по сравнению с переходными процессами в системе?
8.
С помощью какого уравнения описываются динамические свой-
ства наблюдателя?
9.
Каким образом задается ошибка оценки вектора состояния?
41
10.
s
x
x
F
E
С какой целью вводится обратная связь
Исходя их каких условий можно вычислить матрицу обратной
11.
связи
ную функцию
L ?
н
С использованием какой формулы можно вычислить передаточ-
12.
s
()
?
Ws
L ?
н
5. НАБЛЮДАТЕЛЬ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА
Для объекта
Ax Bu
, yCx ,
где dim( ) 6xn, dim( ) 2ym
zFzGyGu
z
размерность вектора
равна размерности вектора x, уменьшенной на
размерность векторов «входа-выхода» объекта dim( ) 4znm
довательно, матрицы
, dim( ) 2um, в наблюдателе [26]
12
,
ˆ
Hz Gy
. Сле-
,, ,,
GG HG имеют размерности 44,42,
12
42,64 и 64 соответственно.
Матрица
меры
, связывающая переменные z и x,
T
46
. Искомые матрицы F и
G выбираются из условия требу-
1
zTx
, имеет раз-
емого быстродействия наблюдателя и его управляемости, а матрицы
,G ,HG и
2
где
– единичная матрица. При необходимости будем указывать раз-
E
мер матрицы
T
находим, решая уравнения
TA FT G C
.
i
, 2GTB
1
HT GC E
,
,
Стандартная процедура нахождения наблюдателя следующая [27].
1. Задаем матрицу
наблюдателя – собственные числа должны быть равными {5, 5,
исходя из требований на быстродействие
F
5, 5}. Здесь имеем значительную неопределенность в выборе, за-
дадим матрицу так:
42
F
E
E
5100
0510
F
0051
0005
.
2. Задаем матрицу
каналу
:
y
G из условия управляемости наблюдателя по
1
0100
G
1
0001
t
.
Проверка показывает, что матрица
,, ,
FG F G F G
имеет ранг четыре, т. е. наблюдатель управляется по каналу
3. Уравнение
ной неизвестной
TA FT G C
, используя соответствующий оператор, например в
T
23
111
можно решить относительно матрич-
1
.
y
MatLab. Решим его, преобразовав к уравнению с векторной неизвестной посредством использования оператора Кронекера:
()1
FE E Atgc
64
и
где
6
GC, развернутая построчно в столбик;
рица
тая построчно в столбик;
– единичные матрицы размером 6 × 6 и 4 × 4; 1gc – мат-
4
1
– операция Кронекера. Соответствующая
t
.
– матрица T, разверну-
t
программа может выглядеть следующим образом:
1 1* , 6 eye(6), 4 eye(4), 1 kron( , 6),GC G C E E W F E
2 kron( 4, ), 1 2, 1 reshape( 1 , 24,1),
WEFWWWgc GC
tt
\1, eshape(,6,4)
tWgcT r t
43
t
.
Получили матрицу
X
0.0260 0.0123 0.0057 0.0021 0.0021 0.0007
0.1749 0.0353 0.0139 0.0050 0.0049 0.0016
T
0.0055 0.0016 0.0227 0.0111 0.0110 0.0031
0.0114 0.0023 0.1650 0.0330 0.0228 0.0046
4. Вычисляем
5. Для определения
по формуле
G
2
G
0.0123 0.0353 0.0016 0.0023
2
0.0021 0.0050 0.0111 0.0330
H и
(,)
Матрицу (,)HG размером
ttt
(,)
TC
размером
66
– через Q . Получили уравнение
решение которого очевидно:
ца из
, получим H, а оставшиеся два столбца дадут G:
X
H
0000
86 59 10 0
0000
2602 897 306 101
6506 2243 545 102
13705 4741 502 1
GTB
2
G
из
HT GC E свернем последнее:
T
HG E
C
66
обозначим через X, а матрицу
1
Q
. Выделив первые четыре столб-
.
:
t
.
6
.
6
,QX E
6
10
80
,
G
01
90 12
225 10
.
475 1
Вычисления можно выполнить так:
2 * , [ ; ], ^ ( 1), (:,1: 4), (:,5 : 6)GTBQTCXQ HX CX .
Наблюдатель пониженного порядка рассчитан.
44
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение наблюдателя пониженного порядка.
Какую размерность имеет матрица
2.
z
ные
и x?
3.
Из каких условий выбирается матрица
На основе каких предположений выбирается матрица
4.
С помощью каких уравнений находятся матрицы
5.
Перечислите основные этапы процедуры нахождения наблюда-
6.
, связывающая перемен-
T
?
F
2
теля пониженного порядка.
45
G ?
1
,,,GHGT?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Основы вычислений и программирования в пакете MathCAD: учеб. по-
собие / Ю.Е. Воскобойников [и др.]; под ред. Ю.Е. Воскобойникова; Новосиб.
гос. архитектурно-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2013. – 212 с.
2. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Система МАТЛАБ 5 для студентов. –
2-е изд., испр. и дополн
3. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.Н. МАТЛАБ 7: программирование, численные методы. – СПб.: БХВ – Петербург, 2005. – 752 с.
4. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в МАТЛАБ: учебный
курс. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. – 512 с.
5. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. –
1973. – 320 с.
6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / под ред.
Я.З. Цыпкина. – М.: Наука, 1991. – 432 с.
7. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир,
1975. – 683 с.
8. Mehra R.K. Optimal input signal for parameter estimation in dynamic system – survey and new results // IEEE Trans. Aut. Contr., 1974 – Vol. AC – 19. –
№ 6. – P. 753-768. – doi: 10.1109/TAC.1974.1100701.
9. Mehra R.K. On the Identification of Variences and Adaptive Kalman Filtering. // IEEE Trans. Autom. Control. – Vol. AC-15. – 1970. – № 2. – P. 175–184. –
doi: 10.1109/TAC.1970.1099422.
10. Воевода А.А., Трошина Г.В. Оценивание параметров моделей динамики
и наблюдения для линейных стационарных дискретных систем с использованием информационной матрицы Фишера // Научный вестник. НГТУ. – 2006. –
№ 3(24). – С. 199–200.
11. Трошина Г.В. Активная идентификация линейных динамических дискретных стационарных объектов во временной области: дис. … канд. техн.
наук: 05.13.01 / Г.В. Трошина; Новосиб. гос. техн. ун-т. – Новосибирск, 2007. –
171 c.
12. Трошина Г.В.
состояния для модели с неточно заданными параметрами. // Сб. науч. тр.
НГТУ. – 2008. – Вып. 3(53). – С. 25–34.
13. Воевода А.А., Трошина Г.В. Вычисление информационной матрицы
Фишера для линейных стационарных дискретных систем с неизвестными па-
. – М.: ДИАЛОГ=МИФИ, 1999. – 448 с.
М.: Мир,
Вычислительные аспекты задачи восстановления вектора
46
раметрами в моделях динамики и наблюдения. // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2006. –
Вып. 2(44). – С. 29–34.
14. Трошина Г.В. D-оптимальный план эксперимента в задачах активной
идентификации по данным установившегося режима для линейных стационарных дискретных систем / Г.В. Трошина // Наука. Промышленность. Оборона: Труды VII Всероссийской научно-технической конференции. – 2006.–
С. 445–449.
15. Трошина Г.В.
тификации // Сборник научных трудов НГТУ. – 2012. – № 1 (67). – C. 69–78.
16. Voevoda A. Troshina G. Active identification of liner stationary dynamic objects on base of the Fisher information matrix: the steady state / A. Voevoda,
G. Troshina // Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE–2014):
Труды XII международной конференции «Актуальные проблемы электронного
приборостроения», Новосибирск, 2–4 окт. 2014 г.: в 7 т. – Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2014. – Т. 1. – С. 745–748. – doi: 10.1109/APEIE.2014.7040785.
17. Воевода А.А., Трошина Г.В. О некоторых методах фильтрации в задаче
идентификации // Сборник
С. 16-25.
18. Трошина Г.В. Об использовании фильтра Калмана при идентификации
динамических систем // Сборник научных трудов НГТУ. – 2014. – № 3 (77). –
C. 37–52.
19. Трошина Г.В. Об активной идентификации динамических объектов //
Сборник научных трудов НГТУ. – 2014. – № 4 (78). – C. 41–52. – doi: 10.17212/
2307-6879-2014-4-41-52.
20. Воевода А.А., Трошина Г.В. Об оценке вектора состояния и
метров в задаче идентификации // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2014. – Вып. 4(78). –
С. 53–68. – doi: 10.17212/2307-6879-2014-4-53-68.
21. Troshina G.V., Voevoda A.A. Parameters estimation with fischer information matrix on the example of the control system of the inverted pendulum
[Electronic resource] / G.V. Troshina, A.A. Voevoda // International Siberian
Conference on Control and Communications (SIBCON–2015): proceedings.
Omsk, Russia, 21–23 May, 2015, pp. 1-4. doi: 10.1109/SIBCON.2015.7147243.
22. Трошина Г.В., Воевода А.А. Активная идентификация системы управления перевернутым маятником / Г.В. Трошина, А.А. Воевода // 18 international conference on soft computing and measurements (SCM'2015) = 18 меж-
дународная конференция по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2015),
Санкт-Петербург, 19–21 may 2015: сб. докл
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015. – Т. 1. – С. 153–156. – ISBN 978-5-7629-1613-4. –
Работа выполнена: При поддержке РФФИ.
23. Воевода А.А., Трошина Г.В. Моделирование фильтра Калмана с обнов-
ленной последовательностью в среде Simulink // Сборник научных трудов
НГТУ. – 2015. – Вып. 2(80). – С. 7–17. – doi: 10.17212/2307-6879-2015-2-7-17.
О методах оценивания вектора состояния в задачах иден-
научных трудов НГТУ. – 2014. – Вып. 2(76). –
вектора пара-
. – Санкт-Петербург: Изд-во
47
24. Воевода А.А., Трошина Г.В. Моделирование динамического объекта в
среде Simulink // Сборник научных трудов НГТУ. – 2015. – Вып. 3(81). –
С. 16–25.
25. Воевода А.А., Шоба Е.В. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний // Сборник научных трудов
НГТУ. – 2010. – № 1 (59). – C. 25–34.
26. Воевода А.А., Шоба Е.В. Стабилизация трехмассовой
ный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного
порядка // Сборник научных трудов НГТУ. – 2010. – № 4 (62). – C. 13–24.
27. Chen C.-T. Linear System Theory and Design. – Holt, Reinhart and Winston, New York, 1984. – P. 635.
48
системы: модаль-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]