Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Сопротивление материалов. Учебное пособие
.pdf
Модели нагружения. Под внешними силами понимаются силы,
действующие со стороны какого-либо тела или системы на рассматриваемое тело или систему. Внешние силы могут быть классифицированы по нескольким признакам.
По месту расположения точек приложения сил к телу все силы
разделяют на объемные и поверхностные.
Объемные, или массовые,
силы непрерывно распределены по всему
объему, занятому телом. К числу таких сил относятся силы веса, инерции, магнитные; все они являются результатом взаимодействия тел, не
обязательно соприкасающихся друг с другом. Интенсивность объемной силы имеет размерность [Н/м
3
] – (Ньютон/метр3).
Поверхностные силы приложены к поверхности тела; они могут
быть следствием воздействия на тело другого соприкасающегося с ним
тела – твердого, жидкого или газообразного. Различают следующие
модели поверхностной нагрузки.
1. Если размеры площадки контакта сопоставимы с размерами тела,
то применяется модель нагрузки, распределенной по площади. Интенсивность нагрузки имеет размерность [Н/м
2
].
2. Если площадка контакта очень мала по сравнению с размерами
тела, то используется модель сосредоточенной силы, как равнодействующей сил, распределенных по указанной площадке. Размерность
сосредоточенной силы [Н] – (ньютон).
3. Если один из размеров площадки контакта взаимодействующих
тел (например, длина) гораздо больше другого (ширины), то поверхностную нагрузку можно представить распределенной по линии, или
погонной (например, соприкосновение двух цилиндрических тел при
параллельном расположении осей цилиндров). Интенсивность силы,
распределенной по линии, имеет размерность [Н/м].
Внешние силы могут быть классифицированы по характеру из-
менения силы в процессе ее приложения. Если сила изменяется очень
медленно, возникающие при этом силы инерции малы, то
ими можно
пренебречь и считать, что нагрузка прикладывается статически. Примеры: нагружение крыши здания снегом, нагружение планера самолета
в условиях установившегося горизонтального полета.
Если же силы инерции не малы по сравнению с остальными силами,
то такое нагружение называется динамическим. Часто встречается динамическое ударное нагружение (соударения элементов конструкции,
взрывное нагружение
и т. п.), для которого характерна очень высокая
скорость возрастания нагрузки за короткий промежуток времени.
11
Переменное нагружение – это нагружение, изменяющееся во времени.
G
G
G
G
Наиболее важный класс переменных нагружений – циклические
нагружения. Если циклы образуются за счет запуска и остановки ма-
шины, то нагружение обычно не превышает 10
4
…105 циклов, и такое
нагружение называется малоцикловым. При нагружении, связанном с
упругими колебаниями элементов конструкции, число циклов нагружения часто превышает 10
5
…106 циклов, и такое нагружение называ-
ется многоцикловым.
К внешним силам в сопротивлении материалов относятся и ре-
акции опор. Типы опор и методы определения реакций опор рассматриваются в теоретической механике.
Пример. Построить возможные расчетные схемы (модели) для подкрановой балки (рис. 1.4, а). По балке перемещается тележка с грузом
массой m.
Решение
Для построения расчетной схемы подкрановой балки принимаем
модель формы – стержень, так как длина балки много больше ее размеров поперечного сечения. На схеме балка условно заменяется прямой линией с опорами на концах.
На рис. 1.4 показаны возможные мо-
l
c
дели нагружения – сосредоточенные
силы, моделирующие вес груза G = mg,
и равномерно распределенная нагрузка
а
по линии от собственного веса балки
q = γA (γ – удельный вес материала
балки, А – площадь поперечного сече-
G = mg
ния балки):
простейшая расчетная схема, изоб-
б
G
ражённая на рис. 1.4, б, принимается в
случае, если база тележки с мала по срав-
в
/2
/2
нению с длиной пролёта l (c < l / 20);
если с > l
/20, то рекомендуется
принять расчетную схему, изображен-
/2
г
/2
ную на рис. 1.4, в;
если необходимо учесть соб-
ственный вес балки, что существенно
q = γA
Рис. 1.4
для длинных балок, то используется
расчетная схема, представленная на
рис. 1.4, г.
12
1.3. Виды деформации стержня
F
F
F
F
M
F
F
7
Любую деформацию стержня можно
представить в виде сочетания простых (элементарных) видов деформации: растяжение
и сжатие (осевая деформация), кручение, из-
Растяжение
гиб, сдвиг.
Растяжение и сжатие. Растяжение (или
сжатие) стержня имеет место в случае, когда
внешние силы приложены по нормали к поперечному сечению (вдоль оси) (рис. 1.5).
Экспериментально установлено, что
при рас-
Сжатие
Рис. 1.5
тяжении стержень удлиняется, поперечные размеры уменьшаются; при
сжатии стержень укорачивается, поперечные размеры увеличиваются.
На растяжение работают болт в болтовом соединении деталей, тросы, провода высоковольтных передач. Сжатие возникает в колоннах,
поддерживающих перекрытия зданий, в фаб-
φ
φ
ричной трубе и кирпичной кладке от собственного веса.
M
M
Кручение. При кручении стержень нагру
жен моментами M, которые расположены в
перпендикулярной оси плоскости (рис. 1.6).
Под действием моментов стержень упруго
деформируется так, что его сечения повора-
Рис. 1.6
чиваются на некоторый угол φ по отношению
друг к другу.
Стержень, работающий на кручение, называется валом. Кручение
испытывают валы двигателей, машин, различных грузоподъемных механизмов, элементы пространственных стержневых
конструкций.
-
Изгиб. Изгиб стержня возникает при дей-
ствии на него сосредоточенных и (или) распределенных сил, перпендикулярных оси, и
(или) сосредоточенных и (или) распределенных моментов, действующих в плоскости,
проходящей через ось или параллельной ей
(рис. 1.7). Стержень при этом искривляется в
13
Рис. 1.
плоскости действия сил и принимает форму, показанную на рис. 1.7
F
F
C
F F
C
C
F
для двух случаев нагружения.
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. Большинство
силовых элементов конструкций являются балками и работают главным образом на изгиб – это балки перекрытий зданий, пролетные
строения кранов, валы и оси механизмов, крыло самолета и т. д.
Сдвиг (срез)
. Деформация сдвига осуществляется двумя равными
силами, приложенными перпендикулярно оси стержня в противопо-
а
б
в
ложных направлениях (рис. 1.8). Во избежание изги-
B
ба стержня такие силы должны быть приложены как
можно ближе друг к другу (расстояние между точками B и C по оси стержня должно быть очень малым).
В этом случае короткий участок
ками B и C вначале испытывает деформацию сдвига
B
(рис. 1.8, б), а при больших значениях перерезываю-
стержня между точ-
щих сил F наступает разрушение (срез) стержня и
разделение его на две части (рис. 1.8, в). Так работают ножницы, разрезающие лист. Если зазор между
лезвиями велик, то лист изгибается и среза не
ходит.
B
Примерами деталей, работающих на срез, являют-
проис-
ся заклепочные и болтовые соединения.
В сопротивлении материалов изучается и де-
Рис. 1.8
формация общего вида (сложная деформация), яв-
ляющаяся комбинацией простых видов деформации.
Так, вал редуктора с цилиндрическими косозубыми колесами испытывает совместное действие растяжения (сжатия), изгиба и кручения;
крыло самолета – совместное
действие изгиба с кручением.
1.4. Метод сечений. Внутренние силы
Рассмотрим стержень, на который действует
система внешних сил F
, F2, …, Fn, удовлетво-
1
ряющая условиям равновесия (рис. 1.9).
Метод сечений. Для определения внутренних сил используется метод сечений, состоящий из четырёх шагов.
1. Рассекаем мысленно сечением В стержень
на две части I и II.
F
2 F
B
I
F
1
Рис. 1.9
i
II
F
n
14
2. Отбрасываем одну из частей стержня, например правую часть II,
z
x
N
z
x
С
С
и рассматриваем левую часть I.
3. Заменяем действие отброшенной части внутренними силами,
приложенными к оставшейся (отсеченной) части в месте рассечения и
уравновешивающими действие внешних сил F
(рис. 1.10, а). Другими
i
словами, внутренние силы – это силы взаимодействия между мысленно рассеченными частями тела.
Применяя правила статики, изложенные в теоретической механике,
приводим внутренние силы к центру тяжести С сечения и получаем
главный вектор R и главный момент М (рис. 1.10, б).
F
2
y
а
б
I
F
1
F
2
R
I
F
F
1
M
F
1
Рис. 1.10
M
y
Q
2
y
M
I
Q
z
M
в
4. Составляем уравнения равновесия для всех сил, приложенных к
оставшейся (отсеченной) части и определяем внутренние силы. Для
этого введем следующую систему координат: направим ось х по нормали к сечению, т. е. по оси стержня, оси y и z расположим в плоскости сечения (рис. 1.10, в). Проектируя главный вектор R и главный
момент М на оси x, y, z, получаем шесть составляющих (рис. 1.10, в),
которые называются внутренними силовыми факторами, или обобщенно внутренними силами, они обозначаются N, Q
, Qz, Mx, My, Mz.
y
В том же сечении правой части II будут те же внутренние силовые
факторы, но имеющие противоположное направление.
Для определения внутренних сил составляем уравнения равновесия
всех сил, приложенных к отсеченной (левой) части I стержня:
0X .
лев
NF
лев
0,
ix
лев
0
M
x
лев
()0
MMF
xxi
15
лев
0Y
QF
yiy
лев
0,
M
y
лев
0
MMF
yyi
лев
()0
лев
0Z
QF
ziz
лев
0,
лев
0
M
z
лев
()0
.
MMF
zzi
Из этих уравнений определяем внутренние силовые факторы (внут-
ренние силы) N, Q
, Qz, Mx, My, Mz.
y
Внутренние силы:
N – нормальная, или продольная сила; внутренний силовой фак-
тор, нормальный к рассматриваемому поперечному сечению стержня
(направленный вдоль оси стержня); имеет место при растяжении и
сжатии;
, Qz – перерезывающие силы; внутренние силовые факторы,
Q
y
действующие в плоскости поперечного сечения и перпендикулярные к
оси стержня; возникают при сдвиге, изгибе;
– крутящий момент; внутренний силовой фактор, действую-
M
x
щий в плоскости поперечного сечения; имеет место при кручении;
, Mz – изгибающие моменты; внутренние силовые факторы,
M
y
плоскости действия которых перпендикулярны к плоскости поперечного сечения; возникают при изгибе.
На рис. 1.10, в показаны положительные направления внутренних
сил.
Эпюры внутренних сил. Внутренние силовые факторы в разных
сечениях стержня в общем случае различны. Графики, изображающие
изменение внутренних сил по длине стержня называются эпюрами.
Эпюры внутренних сил строят для нахождения опасных сечений, т. е.
сечений, в которых внутренние силы достигают наибольших значений,
которые затем используются в расчетах на прочность.
1.5. Понятие о напряжении
Напряжение как мера интенсивности внутренних сил. Внутрен-
ние силы распределяются по сечению непрерывно, неравномерно и в
общем случае в разных точках сечения отличаются по величине. Метод сечений позволяет определить два статических эквивалента –
главный вектор и главный момент, однако закон распределения внутренних сил по сечению остается неизвестным. Методы решения задачи
о распределении внутренних сил для простых
16
видов деформации
стержня (растяжения, сжатия, кручения, изгиба, сдвига) будут рас-
R
R
K
смотрены далее. При этом определяется интенсивность внутренних
сил в разных точках поперечного сечения.
Величина, характеризующая интенсивность внутренних сил,
называется напряжением.
Рассмотрим сечение В отсеченной части стержня (рис. 1.11).
В окрестности точки K выделим элементарную площадку ΔА, в пределах которой действуют равнодействующие
внутренних сил ΔR (часть главного вектора)
и ΔM (часть главного момента).
Отношение
p
ср
A
есть среднее напряжение на площадке ΔА.
F
2
F
1
Рис. 1.11
ΔR
ΔM
ΔА
В
Предел отношения внутренней силы ΔR к площади ΔА, выделен-
ной в сечении площадки при стремлении последней к нулю,
lim
p
A
0
A
представляет собой полное напряжение, или напряжение в точке K.
Полное напряжение является вектором, и направление этого напряжения совпадает с направлением внутренней силы ΔR.
При определении термина «напряжение» предполагается, что внутренние силы распределены достаточно равномерно и вследствие этого
отношение главного момента ΔM к величине площадки ΔА стремится к
нулю вместе с ΔА, т. е.
M
lim 0
0
A
Размерность напряжения dim p = [сила / площадь]. В Международной системе единиц (СИ) размерность напряжения [Н/м
называется
дутся с использованием больших величин:
1 Н/м
паскаль (Па), т. е. 1 Н/м
2
= 1 Па (паскаль)
3
Н/м2 = 1 кПа (килопаскаль)
10
6
10
Н/м2 = 1 МПа (мегапаскаль)
9
10
Н/м2 = 1 ГПа (гигапаскаль).
17
.
A
2
2
= 1 Па. Практически расчеты ве-
]. Эта единица
Нормальное и касательные напряжения. Разложим вектор ΔR по
N
x
K
С
N
K
С
x
осям координат на составляющие ΔN, ΔQ
, ΔQz (рис. 1.12, а) и запи-
y
шем выражения
Q
lim ,
x
A
где σ
– нормальное напряжение; τxy, τxz – касательные напряжения.
x
Скалярные величины σ
0
A
lim ,
xy
A
, τxy, τxz являются компонентами полного
x
y
0
A
xz
lim
A
Q
z
,
0
A
напряжения p (рис. 1.12, б) и представляют собой интенсивность силы
на единицу площади. Размерность напряжений [Па] (
паскаль). Полное
напряжение в точке на данной площадке
p .
22 2
xy xz
ΔА
xz
y
τ
xy
p
σ
x
z
б
, τxz. Для
xy
ΔА
F
2
ΔQ
y
ΔQ
y
ΔR
z
Δ
x
τ
F
1
z
а
Рис. 1.12
Составляющая вектора полного напряжения, направленная вдоль
нормали к элементарной площадке поперечного сечения, на которой
действует это напряжение, называется нормальным напряжением и
обозначается σ. На рис. 1.12, б нормаль к площадке совпадает с осью х,
имеем σ
, где индекс х указывает на ось, которой параллельно нор-
x
мальное напряжение.
Составляющие вектора полного напряжения, расположенные в
плоскости сечения, называются касательными напряжениями и обозначаются τ. На рис. 1.12, б в плоскости сечения с нормалью х дей-
ствуют в направлении осей y и z касательные напряжения τ
18
касательных напряжений принята двойная индексация: первый индекс
указывает на ось, которой параллельна нормаль к рассматриваемой
площадке, а второй – на ось, которой параллельна сама касательная составляющая напряжения.
Совокупность напряжений σ и τ, действующих по различным
площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется
напряжённым состоянием в этой точке.
Если через точку K в теле провести другую секущую площадку,
напряжение p в той же точке будет другим.
1.6. Понятие о деформации и перемещении
Деформация как мера интенсивности изменения размеров и
формы
ризующей интенсивность внутренних сил в теле. Здесь рассмотрим
второе базовое понятие в сопротивлении материалов – деформацию
как меру интенсивности изменения размеров и формы тела.
стержень 1 имеет начальную длину
= 500 мм. Положим, что в каждом случае стержни испытывают удли-
нение, которое обозначим Δ
что это удлинение более существенно для короткого стержня (его длина меняется от 50 до 51 мм), чем для длинного (его длина меняется от
500 до 501 мм). Таким образом, интенсивность деформации стержня
больше, чем стержня
ется величина Δ
(рис. 1.14). Тогда
. Ранее мы ввели понятие напряжения как величины, характе-
Рассмотрим два стержня 1 и 2, изготовленных из стали (рис. 1.13):
(1)
l 50 мм, стержень 2
0
(2)
l
0
l, и пусть, например, Δl = 1 мм. Очевидно,
1
2. В качестве меры этой интенсивности принима-
l / l
, где l0 – начальная длина стержня.
0
1 2
(2)
l
= 500 мм
0
Рис. 1.13
(1)
l
= 50 мм
0
Δl
Δl
Пусть стержень с начальной длиной
l
удлиняется до длины l
0
l = l – l
Δ
19
.
0
l
l
0
Рис. 1.14
Δl
Отношение удлинения Δl стержня к
его начальной длине
деформацией
:
ср
l
называется средней
0
ll
l
ll
00
0
.
Деформация ε
является безразмерной величиной или измеряется в
ср
процентах. Для упругих тел деформация изменяется обычно в пределах
тысячной доли единицы. Так, для стального стержня, имеющего начальную длину
l0 = 1,0 м и удлинение Δl = 5·10
510
ср
1, 0
3
–3
м, средняя деформация
3
510
.
Если стержень деформируется равномерно по всей длине, его деформация ε по оси остается одной и той же, равной своему среднему
значению ε
по длине.
ср
В случае неравномерной деформации стержня вдоль его продольной оси определяется деформация ε в каждом поперечном сечении
стержня путем предельного перехода к малому участку длиной
dl.
Типы деформации. Рассмотрим деформируемое твердое тело, на
которое наложены связи, не позволяющие ему перемещаться в пространстве. Под действием внешних сил тело и
его элементы будут деформироваться, как показано на рис. 1.15.
Для того чтобы описать деформацию тела,
рассмотрим малый плоский прямоугольный
элемент со сторонами
dx и dy (рис. 1.16, а).
Элемент может испытывать два типа деформации:
1) элемент может изменить размеры: ли-
нейный размер (длина)
dx изменяется до dx
*
; подобным образом dy
Рис. 1.15
до dy*. В этом случае элемент сохраняет прямоугольную форму
(рис. 1.16,
2) элемент может изменить форму без изменения длины
этом случае элемент становится параллелограммом (рис. 1.16,
кое искажение элемента может быть описано изменением угла от первоначально прямого угла
а);
BKD до B*KD
dx или dy; в
б). Та-
*
. Это изменение в угле
обозначим как γ.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]