Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Сопротивление материалов. Учебное пособие
.pdf
где С1 и С
FkE
– постоянные интегрирования. Постоянные С
2
, С2 должны
1
быть выбраны так, чтобы были удовлетворены граничные условия задачи. Чтобы их сформулировать, необходимо знать характер закрепления стержня. В нашем случае торцы стержня не должны иметь прогибов:
(1) при x = 0 y = 0,
(2) при x = l y = 0.
Из граничного условия (1), подставляя значения x = 0 и y = 0 в общее решение, находим: 0
= C2 cos 0 → C2 = 0. Следовательно,
sin .yC kx
1
Отсюда, используя граничное условие (2), получаем
0 sin .Ckl
Этому равенству удовлетворяет либо C
Если допустить, что С
= 0, то прогиб будет тождественно равен
1
1
= 0, либо sin(kl) = 0.
1
нулю: y = 0. Это решение соответствует одной из возможных форм
равновесия сжатого стержня, а именно – прямолинейной.
При наличии искривленной формы стержня, которая и представляет
интерес, должно быть выполнено второе равенство
sin(kl) = 0.
Но тогда для аргумента kl получаются значения kl = 0, π, 2π, … и, во-
, при произвольном целом числе n = 1, 2, 3,…
обще
n
kl = nπ, или
k
.
l
2
Учитывая обозначение
, находим следующее выражение для
I
z
сжимающей силы:
22
nEI
F
.
n
z
2
l
Это соотношение определяет бесконечную последовательность значений силы F, при которых могут существовать изогнутые формы равновесия стержня.
121
Основной целью является нахождение критической силы Fкр, т. е.
E
E
силы, до которой устойчива лишь прямолинейная форма равновесия
стержня. Следовательно, из всех возможных значений силы F
следует
n
выбрать наименьшее. Для этого, во-первых, нужно положить n = 1, вовторых, принять наименьшую жесткость, т. е. подставить I
, так как
min
очевидно, что изгиб может начаться, прежде всего, относительно оси с
наименьшим моментом инерции. Окончательно для критической силы
получаем
2
I
F
.
кр
min
2
l
Полученная формула есть формула Эйлера. Необходимо помнить,
что она соответствует шарнирному закреплению концов стержня в
плоскости изгиба. Критическая сила обратно пропорциональна квадрату длины стержня. Это означает, что сжатие особенно опасно для относительно длинных стержней, обладающих большой гибкостью.
4.3. Зависимость критической силы
от условий закрепления концов стержня
Формула Эйлера дает значение критической силы для стержня с
шарнирно закрепленными концами. В этом случае изгиб при потере
устойчивости происходит по полуволне синусоиды. Результаты расчетов для различных схем закрепления стержня дают основание для записи обобщенной формулы для критической силы:
2
I
F
кр
min
2
()
l
,
где коэффициент μ называется коэффициентом приведения длины. Под
приведенной длиной здесь понимается длина, которую должен был бы
иметь стержень, если бы его концы были шарнирно оперты, а критическая сила была бы равна критической силе в рассматриваемых условиях закрепления.
Коэффициент приведения длины зависит от способа закрепления
концов стержня. На рис. 4.4 показаны пять наиболее часто встречающихся случаев закрепления стержня и указаны соответствующие
122
E
E
F
F
F
l
0,5l
F F
0,25l
0,7l
0l
0,5l
точки
перегиба
0,25l
μ = 1 μ = 2 μ = 0,7 μ = 0,5μ = 0,5
Рис. 4.4
значения коэффициента приведения длины μ. Произведение (μl) означает длину между точками перегиба изогнутой оси стержня, в которых
изгибающие моменты равны нулю.
4.4. Критическое напряжение
По значению критической силы можно определить критическое
сжимающее напряжение σ
нейная форма равновесия стержня становится неустойчивой:
кр
, т.е. напряжение, при котором прямоли-
кр
F
222
EI Ei
кр
A
min min
222
() ()
lA l
2
,
или в окончательном виде
2
.
кр
2
Здесь введены следующие новые обозначения:
I
iA – минимальный радиус инерции сечения стержня;
min
min
l
– гибкость стержня; с увеличением длины стержня и
i
min
уменьшением радиуса инерции сечения стержень становится более
гибким.
123
Зависимость σкр от λ графически изображается при помощи гипер-
Е
Е
болы, называемой эйлеровой (рис. 4.5). При выводе формулы Эйлера
использовалось дифференциальное уравнение упругой линии, вывод
которого основан на законе Гука. Закон Гука, как известно, справедлив
до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности σ
σ
кр
σ
т
σ
пц
(см. рис. 4.3, г). Следовательно, критерием обоснованности
пц
применения формулы Эйлера есть от-
Гипербола
Эйлера
ношение
2
кр пц
Е
2
,
откуда
2
λ
пред
λ
Рис. 4.5
.
пц
Правая часть полученного выражения для λ представляет собой то
наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера
еще применима – это так называемая предельная гибкость λ
2
пред
.
пц
пред
:
Предельная гибкость λ
его модуля упругости и предела пропорциональности. Так, для стали
Ст3 принимаем Е = 2 10
.
пред
формулой Эйлера для критического напряжения
При
пред
зависит только от свойств материала –
пред
5
МПа, σпц ≈ 200 МПа и, следовательно,
25
3,14 2 10
99,3 100
200
пользоваться нельзя. На рис. 4.5 участок гиперболы Эйлера, которым
можно пользоваться, показан сплошной линией.
На рис.4.5 также изображена сплошная кривая линия, описывающая
действительное поведение стержней при
напряжения превосходят предел пропорциональности σ
. В этом случае
пред
(или предел
пц
упругости) и стержень вступает в упруго-пластическую стадию работы.
124
Здесь естественно считать, что при длине стержня, приближающейся к
нулю (l → 0), критические напряжения σ
приближаются к разруша-
кр
ющему напряжению, полученному в опытах на сжатие весьма коротких образцов. Таким разрушающим напряжением в случае пластичного материала является предел текучести σ
σ
= σт. Наиболее распространенным здесь является расчет по экспе-
кр
, т. е. полагаем в пределе
т
риментальным формулам для критических напряжений. Эти формулы
обычно определяют критическое напряжение в зависимости от гибкости. Для получения таких формул на графике σ
–λ по эксперимен-
кр
тальным точкам проводится средняя линия. В связи со значительным
разбросом экспериментальных точек проведение средней линии представляет собой непростую задачу.
4.5. Расчет стержня на устойчивость
за пределом упругости
При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если его определять по формуле Эйлера, получается выше предела
пропорциональности. Так, например, для стержня, изготовленного из
стали Ст3, при гибкости λ = 50 по формуле Эйлера получаем
225
3,14 2 10
кр
Е
22
50
789
МПа,
т. е. величина
значительно больше не только предела пропорцио-
кр
нальности, но также предела текучести и предела прочности.
Действительные критические силы и критические напряжения для
стержней, гибкость которых меньше предельной гибкости, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких
стержней критические напряжения определяются по экспериментальным формулам. Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинский (1856–1899) предложил экспериментальную формулу критических напряжений для стержней, имеющих
гибкость λ, меньшую предельной гибкости λ
–,ab
кр
:
пред
где a, b – коэффициенты, определяемые экспериментально и зависимые от свойств материала. Зависимость Ясинского применима для
125
стержней при гибкостях
F
р
где λ0 – значение гибкости,
0 пред
,
при котором критическое напряжение равно пределу текучести. Значения a, b, λ
, λ
0
приводятся в литературе.
пред
σ
, МПа
σт = 240
σпц = 200
к
Формула Ясинского
σкр = a – bλ
Формула Эйлера
2
кр
2
E
0
λ0 = 61
λ
пред
Рис. 4.6
= 100
λ
На рис. 4.6 изображен график зависимости критического напряжения σ
ке λ = 61…100 критическое напряжение σ
от гибкости λ стержня, изготовленного из стали Ст3. На участ-
кр
изменяется по закону пря-
кр
мой, определяемой зависимостью Ясинского; при λ >100 напряжение
σ
определяется по формуле Эйлера.
кр
4.6. Практические расчеты на устойчивость
Расчет на устойчивость должен обеспечить такие соотношения
между величиной сжимающей нагрузки, размерами стержня и упругими свойствами его материала, при которых будет обеспечена работа
стержня на сжатие без потери устойчивости. Это значит, что сила F,
сжимающая стержень, должна быть не больше допускаемой [F], т. е.
F ≤ [F].
При этом допускаемая
сила составляет некоторую часть от критиче-
ской силы
126
кр
[]
у
[]
Fn ,
где у[]n – допускаемый (нормативный) коэффициент запаса устойчи-
F
вости.
Условие устойчивости с учетом действительных напряжений в
стержне можно записать в следующем виде:
F
A
брутто
[]
– допускаемое напряжение при расчете на устойчи-
где
вость; А
кр
у
[]n
у
– полная площадь сечения стержня, т. е. без его ослабле-
брутто
[]
,
у
ний. Ослабление сечений стержня, например заклепками или болтами,
происходит не по всей его длине, а лишь на отдельных небольших
участках. Сопротивление же стержня выпучиванию зависит от жесткости стержня на всем его протяжении. Поэтому местные ослабления
практически не влияют на величину
критической силы.
Сжатые стержни, сечение которых имеет ослабления (например,
от отверстий) и площадь ослабленного сечения А
, должны удовле-
нетто
творять и условию прочности:
F
.
A
нетто
[]
Пример. Для заданной стойки длиной l = 6 м (рис. 4.7), имеющей
форму двутаврового поперечного сечения № 24 (по таблице сортамента А = 34,8 см
значение сжимающей силы F. Материал стойки – сталь
Ст3 (Е = 2 · 10
устойчивости [n]
2
, Iz = 3460 см4, Iy = 198 см4), определить допускаемое
5
МПа, σпц = 200 МПа), коэффициент запаса
= 2. Как изменится допускаемая нагруз-
у
ка, если длину стойки уменьшить вдвое?
Решение
Предельная гибкость стойки:
225
.
пред
пц
3,14 2 10
Е
99,2 100
200
127
l
Рис. 4.7
Гибкость стойки:
где μ = 0,7; I
= Iy = 198 см4;
min
Так как λ = 175 > λ
силы F
применяем формулу Эйлера:
кр
2
EI
F
кр
min
22
() (0,76)
l
l
i
min
пред
25 8
3,14 2 10 198 10
175
,
2,37
I
iA
min
min
198
34,8
2,37
см.
= 100, то для определения критической
221,3 10
3
МН ≈ 221 кН.
0,7 600
Допускаемое значение сжимающей силы
F
[ ] 110,5
кр
Fn кН. Ответ
[]
у
При уменьшении длины стойки вдвое гибкость укороченной
стойки
= 87,5 < λ
λ
1
пред
= 100,
и формула Эйлера не применима. Допускаемую нагрузку определяем с
помощью эмпирической зависимости Ясинского
σ
= a – bλ,
кр
где для стали Ст3 a = 310 МПа, b = 1,14 МПа. Тогда
FA
F
[]
3 м
l
(310 1,14 87,5) 34,8 10
.
кр кр
nn n
[] [] []
уу у
ab A
()
4
1
0,366 МН = 366 кН
Ответ
2
Допускаемая нагрузка возросла лишь в 2,34 раза, а не в четыре раза,
если бы использовалась формула Эйлера. Следовательно, использование формулы Эйлера в области ее неприменимости дает завышенное
значение допускаемой нагрузки и критической силы.
128
Пример. Подобрать размеры стойки квадратного попе-
F
речного сечения, имеющего размер стороны а (рис. 4.8),
если F = 20 кН, l = 1 м, [n]
Ст3: E = 2 10
5
МПа, σпц = 200 МПа, λ
Решение
= 3. Материал стойки – сталь
у
= 100.
пред
а
l
Допустим, что справедлива формула Эйлера. Для расчетной схемы μ = 2. Тогда
[]( )
I
Fn l
min
2
у
225
E
20 10 3 (2 1,0)
32
3,14 2 10
84
12,17 10 м
.
Рис. 4.8
Определяем размер стороны квадрата:
34
bh a
I м4 →
12,17 10
8
12 12
82
4
12 12,17 10 3,48 10 мa
≈ 35 мм. Ответ
Проверка. Убедимся в допустимости применения формулы Эйлера
(в начале расчета эта проверка была невозможна, так как размеры се-
чения, а следовательно, и гибкость стержня были неизвестны). Минимальный радиус инерции поперечного сечения винта
а
12
4
2
a
i
min
Ia a
A
35
12 12
10,086 мм
.
Гибкость стойки
2 1000
li
,
min
10,086
198 100
пр
следовательно, формула Эйлера была использована в области ее применения.
129
5. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
F
F
t
НАПРЯЖЕНИЯХ
5.1. Основные понятия
Понятие об усталостном разрушении. В процессе работы дета-
ли машин (оси, валы, рессоры и др.) испытывают циклические нагрузки (напряжения). Рассмотрим, например, вал прямозубой цилиндрической передачи, опирающийся на два подшипника (рис. 5.1). При работе
в месте зацепления зубчатых колес возникает усилие, которое здесь
разложено на радиальное усилие F
ствием радиального усилия F
вал изгибается, верхние волокна растя-
r
гиваются, а нижние сжимаются. За один оборот вала фиксированная
точка на его поверхности последовательно переходит из точки 1 в точки 2, 3, 4. При вращении вала фиксированная точка испытывает циклически изменяющиеся напряжения: растягивающие напряжения –
разгрузка (ноль) – сжимающие напряжения – разгрузка (ноль) – растягивающие напряжения. При каждом обороте вала цикл
Следует отметить, что этот процесс происходит при постоянном значении внешней силы F
. Для рассмотренного случая цикл переменных
r
напряжений можно представить графиком, где по горизонтальной оси
обозначено время t, по вертикальной оси – нормальные напряжения σ.
Многократное повторение циклов может привести к разрушению вала,
которое принято называть усталостным разрушением.
2
Рис. 5.1
Экспериментально установлены следующие факты при работе деталей в условиях действия переменных напряжений (
няющихся напряжений):
детали разрушаются при напряжениях, значительно меньших,
чем предел текучести и предел прочности;
и окружное усилие Ft. Под дей-
r
повторяется.
σ
1
4
3
Растяжение
Сжатие
циклически изме-
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]