Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы творчества в интеграционной механике для преодоления «информационного цунами»
.pdf
4.8. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРИЙ УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ 121
• теория Сен-Венана (синтез волновой и энергетической теорий);
• теория поперечного удара по балке (теория С. П. Тимошенко — синтез
волновой и контактной теорий);
• линеаризованные теории контактного взаимодействия тел.
К третьей группе относятся прикладные теории удара в комбинирован-
ных системах:
• теория повторных затухающих соударений в механических процессах
Р. Ф. Нагаева [79];
• теория соударения трехмерных упругих тел С. А. Зегжды [42];
• теория соударения упругих систем, учитывающая местные и общие
деформации, В. Л. Бидермана [14];
• теория продольного упруго-пластического удара Г. С. Батуева [9].
Данная классификация по третьей группе является условной, так как
представляет практически основу всех классических работ в теории удара.
Классификацию третьей группы удара можно существенно расширить за
счет работ известных учёных в области удара (Кильчевский Н. А. [54, 55],
Алабушев П.М. [2], Гольдсмит В. [26], Ишлинский А.Ю. [47, 48]).
Автору посчастливилось беседовать с В. А. Карпуниным, Р. Ф. Нагае-
вым, С. А. Зегждой, В. Л. Бидерманом, Г. С. Батуевым, Н. А. Кильчевским,
Б. А. Малышевым, А. Ю. Ишлинским.
В ИжГТУ для более полного объяснения имеющихся эксперименталь-
ных результатов на основе синтеза теорий колебаний, устойчивости, статики и удара с применением модели винтового тонкого бруса автором создана обобщенная теория цилиндрических пружин [126], в которую составной
частью входят теории удара четвертой группы:
• теории удара, определяющие зоны максимальных напряжений в пружине, — синтез нелинейной статики и динамики при кинематическом
нагружении (модель эквивалентного бруса, плоского кольца);
• теории удара как синтез нелинейной статики и ударного нагружения
по модели эквивалентного бруса;
• модернизированная волновая теория удара в механизмах;
• модернизированная контактная теория инерционного соударения вит-
ков;
• синтезированная теория удара в пружинных механизмах.
Синтезированная теория удара в рамках обобщенной теории пружин
стала основой создания интеграционной механики — единство математики,
физики и прикладной философии. Основная область интеграционной механики — системно-нелинейные задачи, в которых основному экспериментальному эффекту соответствуют различные физические задачи. Поэтому
нельзя применять единую математику для задачи, так как физические задачи различны.
ГЛАВА 5
Единая физика механики винтового
тонкого бруса
5.1. О постановке задач единой физики механики
винтового тонкого бруса
Классические уравнения механики сплошных сред не имеют аналитического решения, кроме некоторых задач: контактная теория Герца удара двух шаров, расчёт прочности трубы, ламинарного течения жидкости
в прямой трубе. Уравнения Кирхгофа – Клебша предназначены для тонких
стержней, как показал А. И. Лурье [71], они выводятся из классических
уравнений механики сплошных сред. Применялись уравнения Кирхгофа –
Клебша и для пространственных задач нелинейной теории упругости [45],
но реальных технических решений автор не получил. Частный случай пространственных тонких стержней — цилиндрическая пружина с круглым сечением витков — имеет аналитическое решение, но оно необычайно громоздкое и сложное. Для всех трёх основных задач авторам пришлось разработать новые математические методы решения [133, 138].
Единая физика механики винтового тонкого бруса представлена в данной монографии тремя разновидностями, которые отличаются только основанием информационной пирамиды. В данной главе рассматривается единство граней физической пирамиды (колебания, устойчивость, статика), а основание имеет варианты: физико-математический полигон (задача Н. В. Азбелева, глава шестая); экспериментальная интеграционная механика (глава шестая), интеграционная механика объекта (глава седьмая), экспериментальная качественная модель единой физики природы (глава восьмая).
5.1.1. Исходные уравнения винтового тонкого бруса
Классические уравнения пространственного бруса описываются шестью уравнениями равновесия:
∂Q
∂s
∂Q
∂s
∂Q
∂s
∗
χ
∗Q∗
+ q
∗
ξ
+ q
∗
ρ
+ q
∗Q∗
∗Q∗
− r∗Q
ρ
− r∗Q
χ
− r∗Q
χ
∗
ξ
∗
ρ
∗
ξ
= a
= a
= a
∂2u
1
∂2v
2
∂t
∂2w
3
∂t
∂t
,
2
,
2
,
2
∂M
∂s
∂M
∂s
∂M
∂s
χ
ξ
ρ
∗
∗
∗
− Q
+ Q
− q
∗
− r∗M
ξ
∗
+ r∗M
χ
∗M∗
+ p∗M
χ
∗
+ q∗M
ξ
∗
− p∗M
χ
ξ
∗
= a
ρ
6
∗
∗
ρ
∂2γ
= a
= a
∂t
∂2θ
4
∂t
∂2ϕ
5
∂t
, (5.1)
2
,
2
,
2
5.1. О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ ЕДИНОЙ ФИЗИКИ 123
где все величины со звездочками обозначают конечные значения сил, моментов, главных компонентов кривизны и кручения. Кроме уравнений равновесия Кирхгофа – Клебша входят три уравнения, определяющие зависимость углов вращения недеформированного состояния малого элемента от
перемещений:
θ = −
0=
δq =
∂w
∂s
∂ϕ
∂s
∂v
+ r
u − p0w; ϕ =
0
∂s
− q
u + p0v; δp =
0
+ r
θ −p0γ; δr =
0
∂u
∂s
∂θ
∂s
∂γ
∂s
− r
− r
− q
v + q0w;
0
ϕ + q0γ;
0
θ + p0ϕ.
0
(5.2)
Чтобы связать силовые параметры с приращениями кривизны и кручения, применяется гипотеза Бернулли– Эйлера:
−1
· Mξ; δp = B
ξ
−1
· Mχ, (5.3)
χ
где B
−1
δr = C
и Bχ— соответственно жесткость при изгибе относительно осей ξ
ξ
· Mρ; δq = B
и χ, C — жесткость при кручении.
Система из трёх групп уравнений (5.1, 5.2, 5.3) использовалась в работах [126, 127, 174, 179]. В компактном матричном виде эта система представлена в [126]: ρ — направление касательной к геометрической оси центров тяжести сечений тонкого стержня; χ — направление нормали; ξ —
направление бинормали (рис. 5.1)
∂2X
i
= a
i
∂t
,
2
i
,i=(1, 2,...6),
(5.4)
∂X
∂s
∂Y
∂s
i
−|B|·X
i
+ |A|·Y
=
i
H
Y
i
i
x
Q
M
x
x
Q
c
M
c
V
U
Рис. 5.1
j
g
W
c
q
M
r
r
Q
r
124 ГЛАВА 5
где
Y
= Qχ; Y2= Qξ; Y3= Qρ;
1
= Mχ; Y5= Mξ; Y6= Mρ;
Y
4
= u; X2= v; X3= w;
X
1
= θ; X5= ϕ; X6= γ.
X
4
Матрица A включает в себя главные компоненты кривизны и кручения
деформированного состояния:
0 −rq 000
r 0 −p 000
−qp 000 0
A =
0 −10 0−rq
100r 0 −p
000−qp 0
, (5.6)
(5.5)
где r = r
+ δr; q = q0+ δq; p = p0+ δp; p0,q0,r0—кривизны
0
и кручения недеформированного состояния,
cos α
sin α
0
=
r
0
α
— угол подъёма винтовой линии тонкого бруса при недеформированном
0
состоянии; R
=0, 5D0, где D0— средний диаметр винтового тонкого
0
0
R
,q
0
=
0
cos α
R
2
0
,
0
бруса.
Матрица B является транспонированной матрицей A,гдеглавныекомпоненты кривизны и кручение соответствуют недеформированному состоянию:
B =
0 r
−r
0
q
0
0000r
000−r
000q0−p
0
0 p
−p
−q
0
010
0
−10 0
0
000 0
0
0
0 p
0
. (5.7)
−q
0
0
0
Математическое единство основных физических задач
винтового тонкого бруса
Поиск математического единства последовательной цепочки основных
физических задач (рис. 5.2) целесообразно вести в матричном исчислении.
В теории винтового тонкого бруса (технический аналог цилиндрических
пружин) выбор матричного исчисления как основного для модульных задач
был наиболее важным и трудным. Для нелинейных задач построить фундаментальную матрицу решения нельзя, но для системы дифференциальных
уравнений с «замороженными» коэффициентами это сделать можно.
5.1. О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ ЕДИНОЙ ФИЗИКИ 125
Исходные уравнения Кирхгофа Клебша–
Колебания
Характеристическое
уравнение
Устойчивость
Единое уравнение
различных видов
Статика
Характеристический
определитель
упругой потери
устойчивости
Рис. 5.2
Для решения системы (5.4) надо преодолевать несколько видов нелинейности. Если бы исходные уравнения пространственного бруса были записаны в неподвижной системе координат [31], то пришлось бы преодолевать дополнительные математические нелинейности.
Учтем особенность цилиндрической пружины (типовой прием системного анализа — учет особенности объекта), наличие больших перемещений
при малых деформациях пружины. Поэтому исходные уравнения равновесия сил и моментов можно линеаризовать по известной методике [126, 174,
179]:
∗
= Q
Q
χ
∗
Q
= Q
ρ
∗
Q
= Q
ξ
+ Qχ,M
χ
0
+ Qρ,M
ρ
0
+ Qξ,M
ξ
0
∗
= M
χ
∗
= M
ρ
∗
= M
ξ
χ
0
ρ
0
ξ
0
+ Mχ,
+ Mρ,
+ Mξ.
(5.8)
Рассматриваются колебания около статического равновесия, поэтому выполняются условия:
∂Q
∂s
∂Q
χ
0
=
∂s
∂Q
ρ
0
=
∂s
∂M
ξ
0
=
∂s
∂M
χ
0
=
∂s
∂M
ρ
0
ξ
=
0
=0. (5.9)
∂s
Влиянием сдвиговой деформации и инерционных членов, учитывающих
вращения элемента пружины, пока пренебрежем.
Математически это приводит к выражениям a
= C6=0. С учетом этого исходные уравнения (5.1) можно записать
= C
5
= a6= a5=0и C4=
4
следующим образом:
∂Q
∂S
χ
+ q
0Qρ
∂Q
∂S
= a
∂Q
∂S
= a
+ δqQ
ξ
+ r
∂2V
2
∂t
ρ
− (q
∂2W
3
∂t
− (r0Qξ+ δrQ
ρ
0
+ δrQ
0Qχ
− δrQχ+ δρQρ− r0Q
2
+ δqQ
0Qχ
− δρQξ+ δqQχ− ρ0Q
2
ξ
− (ρ0Qρ+ δρQ
χ
0
)+ρ0Qξ+ δρQ
χ
0
0
)=a
1
χ
0
ξ
0
∂2U
− δqQρ+ δrQξ;
2
∂t
)=
ρ
0
+ ρ0Q
ρ
0
=
ξ
0
+ q0Q
χ
0
;
;(5.10)
126 ГЛАВА 5
∂M
χ
− Q
∂S
+ q0Mρ+ δqM
ξ
∂M
ξ
+ Q
∂S
χ
= −δrM
∂M
ρ
− (q
∂S
= −δρM
+ r0Mχ+ δrM
+ δρMρ− r0M
χ
0Mχ
− (r0Mξ+ δrM
ρ
0
χ
+ δqM
+ δqMχ− ρ0M
ξ
)+ρ0Mξ+ δρM
χ
0
)=−δρMρ+ δrMξ;
ξ
0
− (ρ0Mρ+ δρM
0
+ ρ0M
χ
0
ξ
0
ρ
0
+ q0M
)=
ρ
0
− Q
;
χ
0
=
ξ
0
. (5.11)
χ
0
В системе (5.10)–(5.11) учтены следующие геометрические соотношения [179]:
q
0Qρ
− r0Q
0
=0; q0M
ζ
0
ρ
0
− r0M
ζ
0
− Q
=0. (5.12)
ζ
0
В уравнениях (5.10)–(5.11) нелинейности существуют как в правой, так
и в левой части. Существенно упрощает систему ограничение рассматриваемой задачи цилиндрической формой пружины
p
0
= M
= Q
χ
0
=0 (5.13)
χ
0
и круглого поперечного сечения витка.
Исходная система уравнений равновесия для цилиндрических пружин
будет следующая:
∂Q
∂S
∂Q
∂S
∂Q
∂S
∂M
∂S
∂M
∂S
∂M
∂S
χ
ξ
ρ
χ
ξ
ρ
+ q
0Qρ
+ r
− q
− Q
+ Q
− q
− δp·Q
0Qχ
0Qχ
+ q0Mρ+ δqM
ξ
+ r0Mχ− δpM
χ
0Mχ
− r0Qξ+ δqQ
= a
ρ
0
+ δp·Q
+ δpM
= a
ξ
0
=0.
ξ
0
− δrQ
ρ
0
∂2V
2
∂t
∂2W
3
∂t
− r0Mξ− δrM
ρ
0
=0;
ρ
0
ξ
;
2
;
2
0
= a
1
∂2U
∂t
ξ
0
;
2
=0;
(5.14)
В уравнениях равновесия (5.14) учтём соотношения Бернулли (5.3).
Это позволяет записать уравнения равновесия (5.14) и обе группы геометрических соотношений теории упругой линии пространственных стержней (5.2) после разделения переменных по S и t как систему:
∂Y
i
∂S
+ |A|·Y
¨
T + ω
=0; (5.15)
i
2
T =0, (5.16)
где
5.1. О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ ЕДИНОЙ ФИЗИКИ 127
Y
= Qξ; Y2= Mχ; Y3= Mρ; Y4= θ;
1
Y
= γ; Y6= V ; Y7= Qχ; Y8= Qρ;
5
Y
= Mξ; Y10= ϕ; Y11= U; Y12= W,
9
0 −C
−10 q
0 −q
0 −C
00 −C
00 01000000r
A =
−r
0
0 C
0 r
00 0r
00 000−r
00 00000000−q00
1Qρ
0
0
1
0 −C3Q
1Qξ
0
1
000aw2r000 000
000 00−r
3
000
2
0000000000
00q0000 0−r000
−q000 00 0 0 0
3
0
000 0q0C2Q
ξ
0
ρ
0
0 aw20
0000−q100 00aw
0000100000
00 00−C2000
0
00 0 −10 q
0
0
2
0
(5.17)
q
= q0− C1M
1
= r0− C1M
r
1
; q3= q0− C3M
ξ
0
; r2= r0− C2M
ρ
0
;
ξ
0
.
ρ
0
Математическая громоздкость матричного исчисления для исследования пространственных колебаний компенсируется возможностью анализа
с использованием характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение системы (5.15)
det |A + λE| =0
удобнее записать в безразмерном виде, для чего внесём радиус в определяемые корни λ, освободимся от мнимости корней и учтём выражения типа
(для круглого сечения витка)
w2C2=w ·p
a
1
2
−1
·4(1+μ) ·R4· i
0
−1
2
,
а также введём безразмерную величину поджатия:
m = Q
ξ
0
· R
2
0
· C3· q0· r
−1
. (5.18)
0
Ввод относительного поджатия m в виде (5.18) позволяет учитывать
большие перемещения при статическом нагружении. Математически это
нелинейная задача, определяемая выражением типа
sin α =sinα
· (1 + m).
0
128 ГЛАВА 5
Ввод в исходную матрицу информации в недеформированном состоянии позволяет одновременно с анализом колебаний исследовать и единую
трактовку различных видов упругой устойчивости.
Характеристическое уравнение в неявном виде следующее:
w (2ip
4
−1
)
0
· d0−w (2ip0)
2
−1
· d1+ d2=0, (5.19)
d
0,d1,d2
= f(m, α, α0,μ),
где m — относительное поджатие, μ — коэффициент Пуассона.
Динамический метод (необходимо собственную частоту положить равной нулю) позволяет получить единое уравнение для различных видов
упругой потери устойчивости
=0. (5.20)
d
2
Из уравнения (5.20), полагая m =0, мы должны получить характерис-
тическое уравнение задачи статики, где также необходимо положить m =0.
Статическая задача обладает нелинейностью в исходных уравнениях
равновесия.
Систему (5.4) для описания статики тонкого винтового бруса запишем
ввидеa
где
= a2= a3= a4= a5= a6=0;H
1
d¯Y
+ A¯Y =0, (5.21)
dS
B 000
DB 00
A =
0 NB
00DB
B =
N =
Y
Y
Y
0 −rq
r 00
−q 00
−C
1
0 −C
00
2
00−C
= Qχ; Y4= Mχ; Y7= θ; Y10= U ;
1
= Qξ; Y5= Mξ; Y8= ϕ; Y11= V ;
2
= Qρ; Y6= Mρ; Y9= γ; Y12= W.
3
; D =
0
0 −10
100
000
; B
3
−1
χ
0
0
=
0
= H
;
0
0 −r
r
0
−q
−1
ξ
;
0
−1
= H
ρ
0q0
00
00
,
=0,
Параметры q и r связаны нелинейно с углом α (угол винтовой ли-
нии деформированного состояния). Первые шесть уравнений (5.21) — уравнения равновесия сил и моментов — не зависят от последующих шести
5.2. ПРОДОЛЬНЫЕ, КРУТИЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН 129
уравнений, описывающих геометрию деформированного бруса. Итак, все
три основные задачи интеграционной механики объекта (тонкий винтовой
брус) являются нелинейными.
5.2. Продольные, крутильные и поперечные колебания
пружин по модели эквивалентного бруса
Для расчета собственных частот цилиндрических пружин первоначально, еще в прошлом веке, А. Лявом [190] использовались уравнения
Кирхгофа– Клебша. Решить задачу колебаний пружин, используя модель
винтового тонкого бруса, было сложно, и в 1909 году А. Н. Крылов [64]
предложил модель эквивалентного бруса, что позволило рассматривать
независимо продольные, поперечные и крутильные колебания и использовать для цилиндрических пружин известные решения теории прямых
балок.
В этом случае продольные колебания описываются волновым уравнением [126]:
где a — скорость распространения перемещения U = U(x, t) вэквивалентном брусе;
где l
— эквивалентная длина бруса, D — средний диаметр пружины, i —
экв
число рабочих витков.
Частотный спектр в этом случае:
= π · n · a · l
p
n
Частотный спектр линейный и не зависит от выбора краевых условий
(если заделка одинакова по обоим концам) и выбора эквивалентной длины.
Частота продольных колебаний не зависит от выбора эквивалентной длины,
следовательно, выбор эквивалентной длины непринципиален. Обычно за
эквивалентную длину принимают высоту пружины, но А. В. Штода [112 —
Обзор работ по основным задачам статики и динамики цилиндрических
пружин — 1980 г.] принял длину проволоки.
Крутильные колебания по модели эквивалентного бруса имеют аналогичный, не зависящий от эквивалентной длины линейный частотный
спектр. Для круглого сечения проволоки собственная частота крутильных
колебаний [126]:
p
=1+μ · n, где n =1, 2, 3 ... .
p
0
a =
2
∂
∂t
u
2
= a
2
∂2u
∂x
,
2
2
4Cl
экв
ρF π2D4i
−1
, где n =1, 2, 3 ... .
экв
2
,
130 ГЛАВА 5
При первых применениях теории эквивалентного бруса для поперечных колебаний задача решалась с большими допущениями: Birnbaum W.
[112] не учитывал сдвиг и вращение, Dick J. [112] учитывал сдвиг и вращение, но не учитывал предварительного поджатия.
Дальнейшее развитие теория поперечных колебаний получила в работе
В. М. Макушина [72], в которой получены простые формулы собственных
частот для различных краевых условий с учетом поджатия, одновременно
решалась задача продольной потери устойчивости. В данной работе применялся энергетический метод.
Модель эквивалентного бруса [112], предложенная П. Е. Товстиком,
значительно точнее. П. Е. Товстик применил балку Тимошенко с учетом
инерции вращения витков и сдвига от действия перерезывающей силы
и осевого нагружения. Отдельно рассматривались симметричные и несимметричные колебания относительно плоскости, перпендикулярной оси пружины и проходящей через ее середину. Уравнения поперечных частот анализировались при фиксированном значении коэффициента Пуассона μ =
=0, 3. П. Е. Товстик дал табулированную методику расчета низших частот
поперечных колебаний и выяснил причину погрешности теории В. М. Макушина для коротких пружин — неудачное использование в методе Ритца
в качестве координатных балочных функций в одном из краевых условий.
М. В. Хвингия [178, 179] получил биквадратное уравнение для определения частотного спектра при различных граничных условиях. Им использовалась модель балки Тимошенко, но сравнительного анализа частотного спектра, по М. В. Хвингия и П. Е.Товстику, сделано не было. П. Е. Товстик и М. В. Хвингия проводили экспериментальные исследования частотного спектра поперечных колебаний, при этом П. Е. Товстиком была обнаружена частота, не объясняемая моделью эквивалентного бруса. В работе [178] М. В. Хвингия и Д. Б. Мгалоблишвили было показано, что влияние
демпфирования на собственную частоту поперечных колебаний выражается в уменьшении собственной частоты на 0,2–0,4%.
В. Л. Бидерман [13] применил балку Тимошенко для модели эквивалентного бруса с использованием гипотезы о взаимодействии витков пружины с помощью жестких невесомых консолей. Теория поперечных колебаний В. Л. Бидермана нашла отражение в основной учебной литературе [14]. В преобразованном виде [126] формула В. Л. Бидермана для шарнирного опирания пружины имеет вид:
4
p
−
4
p
0
H
2
2
π
R
2
0
(1+μ)1+
2
H
n
2
0
2π2D2
8(2 + μ)
p
p
0
2
+
2
8(1 + μ)
2+μ
2
· n
4
=0. (5.22)
В дальнейшем П. Е. Товстик и М. В. Хвингия предприняли попытку
решения задачи собственных частот на основе модели винтового тонкого
бруса.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]