Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации в пакетах прикладных программ и их применение в решении задач НЛП в системах автоматического управления. Учебно-методическое пособи
.pdf
31
при помощи функции Minimize, так и при помощи блока Given – Minimize, не дает
верного результата. В этом случае полезно использовать функцию Minerr, которая
в блоке решения Given старается дать приближения к решению задачи с
наименьшей среднеквадратической погрешностью. Листинг 5.7 демонстрирует
работу этой функции на примере нахождения минимума функции Розенброка.
Листинг 5.7. Нахождение минимума функции Розенброка
Замечание. Всегда необходимо выполнять проверку, удовлетворяет ли найденный
результат имеющимся ограничениям.
Выполнение работы в Mathcad:
Задание №1. Найти экстремальные точки функции:
1) Запишем эту функцию.
2) Подберем начальные приближения каждой переменной.
3) Запишем ключевое слово Given, определяющее блок решения.
4) И по каждым начальным приближениям ищем с помощью операторов
Minimize и Maximize минимумы и максимумы функций. Если эти операторы
загораются красным после выполнения, то значит либо экстремум не найден
при данном начальном приближении, либо функция не имеет максимума,
минимума или экстремумов вообще.
32
Для данной функции есть только один минимум в точке
Если ввести оператор Minimize, то запись примет следующий вид:
Данная задача является некорректно поставленной, поскольку функция не
ограничена внутри области поиска. Mathcad нашел точку, в которой функция
принимает большие положительные значения и ошибочно проинтерпретировал их
как максимум. Поэтому полученный ответ неверен. На это указывает и малый
показатель степени в ответе. Указанием на ошибку может служить и большой
показатель степени в ответе.
Задание №2. Найти экстремальные точки функции с линейным
ограничением:
Функция:
; Ограничение:
В отличие от предыдущей задачи, в блоке решения после ключевого слова
Given добавляется уравнение линии-ограничителя вида
. Используем
здесь из панели инструментов «Булева алгебра» оператор равно.
33
Для данной функции есть только один минимум в точке
Проверка показывает, что ограничение выполнено в пределах заданной точности.
Замечание: Точность вычислений регулируется встроенной константой
CTOL, по умолчанию равной
.
Задание №3. Найти экстремальные точки функции с нелинейным
ограничением:
Функция: ; Ограничение:
В блоке решения после ключевого слова Given добавляется уравнение линии-
ограничителя вида
. Используем здесь из панели инструментов
«Булева алгебра» оператор меньше или равно чем. Получим результаты:
34
Для данной функции есть четыре минимума в точках:
(-0.575, -0.58, -0.578)
(-0.573, -0.58, -0.58)
(-0.573, -0.58, -0.58)
(-0.575, -0.58, -0.578)
Для данной функции есть четыре максимума в точках:
(0.573, 0.58, 0.58)
(-0.575, 0.58, -0.578)
(-0.575, -0.58, 0.578)
35
(0.575, -0.58, -0.578)
После получения результатов проведем проверку:
Для ответа (-0.575, -0.58, -0.578) вычислим, подставив в ограничения
( это элементы матрицы-столбца ответов):
Проверка показывает, что ограничения выполнены, но на границе точности,
заданной по умолчанию. Для улучшения результата можно уменьшить значение
константы CTOL, но делать это надо с осторожностью, так как при сильном
увеличении точности метод может перестать сходиться.
Условие выполнено. Увеличим еще точность:
36
Mathcad не может определить данную переменную. Численный метод
потерял сходимость.
При выполнении задания следует грамотно выбирать точность вычислений.
Задание №4. Найти экстремальные точки функции с использованием
линейного программирования с заданной начальной точкой:
Функция:
;
Ограничения:
начальная точка
37
Задания к работе:
38
39 40
6. КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ»
В настоящее время для бакалавров и магистров, изучающих теорию
автоматического управления в рамках направления «Управление в
технических системах», наряду с теоретическим обучением
предусматривается изучение САУ на математических моделях, реализуемых
с помощью компьютерных прикладных программ как зарубежных (MATLAB
и др.), так и отечественных программных комплексов (МВТУ). Наиболее
предпочтительным является отечественный программный комплекс
«Моделирование в технических устройствах» (ПК МВТУ), созданный
коллективом ученых МГТУ им. Н.Э. Баумана, позволяющий рассчитывать,
моделировать, оптимизировать различные системы и устройства автоматики
[14].
В работе [14] представлен богатый материал по математическим
моделям систем автоматического регулирования различных устройств,
необходимый справочный материал, варианты индивидуальных заданий для
лабораторных работ, курсового проектирования и многое другое.
Цель проектирования САУ состоит в выполнении технического задания,
содержащего ряд требований, предъявляемых к системе: заданный запас
устойчивости, степень астатизма, перерегулирование, время регулирования,
статическая и динамическая ошибки и т.д.
Задача обеспечения требуемого качества проектируемой САУ в рамках
вышеуказанных показателей может быть сформулирована как задача
нелинейного программирования (НЛП), т. е. для заданной математической
модели объекта в виде передаточной функции либо дифференциальных
уравнений определить параметры корректирующего устройства заданной
структуры, обеспечивающие минимум критерия оптимальности,
характеризующего динамические свойства системы, например, в виде [1]:
(6.1)
где, весовые коэффициенты;
– требуемые динамические показатели САУ;
– значения тех же показателей, получаемые в
результате вариаций параметров корректирующего устройства
В качестве динамических показателей САУ могут выступать не только
перерегулирование и время регулирования
, но и интегральные
квадратичные оценки[21].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]